再探橢圓的一個(gè)定值命題的推廣*

(安徽省滁州中學(xué) 239000)

本文通過對(duì)橢圓的一個(gè)定值命題的推廣過程進(jìn)行反思，揭示這一定值命題的幾何意義，繼而給出能夠推廣的原因：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，其極線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.文[1]對(duì)橢圓中的一個(gè)與焦點(diǎn)弦有關(guān)的定值命題進(jìn)行了探究.該命題為：

圖1

文[1]最終通過分析解析幾何的坐標(biāo)法證明思路，獲得一般化探究的路徑，從而完成對(duì)這一命題的推廣.為了從幾何角度進(jìn)一步解釋文[1]為什么能夠?qū)γ}1進(jìn)行推廣，需要給出一個(gè)能夠揭示命題1幾何意義的證明，即：

圖2

本文討論過程中涉及的線段均指有向線段.

先以命題2為例，說明能夠推廣的原因，然后以此為基礎(chǔ)，指出能夠推廣為命題3的原因.

圖3

證明設(shè)點(diǎn)P，Q的極線與直線PQ分別交于點(diǎn)G，H，直線AB交點(diǎn)P的極線于點(diǎn)M，直線AC交點(diǎn)Q的極線于點(diǎn)N，過點(diǎn)A作極線的平行線交直線PQ于點(diǎn)U．

文[1]提出將點(diǎn)A分裂為兩點(diǎn)A1，A2，得出一個(gè)更為一般性的命題.通過對(duì)命題1能夠推廣為命題2和命題3的原因的分析，接下來給出這一命題的證明，并且給出其推廣命題.觀察文[1]提出的最后一個(gè)命題：

圖4

獲得圓錐曲線的一般性命題并非是圓錐曲線問題的探究終點(diǎn)，更為重要的是探討圓錐曲線命題的幾何意義，從而獲得對(duì)命題的透徹理解.通篇考慮本文對(duì)這一定值結(jié)論的反思?xì)v程，最為關(guān)鍵的一步是獲得能夠揭示命題1的幾何意義的證明，正是從文[1]提出的推廣命題中，看出定值的代數(shù)式的幾何意義，才得出一個(gè)關(guān)鍵判斷：橢圓的這一定值命題極有可能是由焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的關(guān)系(極點(diǎn)極線)生成的，最后形成本文的命題1的新證.