2020年山東卷導(dǎo)數(shù)題的探究教學(xué)與教學(xué)建議*

陳香君 趙思林 (四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 641100)

陳 瓊 (四川省資中二中 641200)

1 教學(xué)背景

2020年12月4日，內(nèi)江市數(shù)學(xué)學(xué)會在資中二中組織了兩堂高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)觀摩課．其中一堂的課題為“2020年一道高考數(shù)學(xué)壓軸題的探究”，此課實際上是對2020年全國新高考數(shù)學(xué)試卷(即山東卷)第21題第(2)題的探究教學(xué)．

2020年全國新高考數(shù)學(xué)試卷(山東卷)第21題：已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

該題題干簡明，問題設(shè)計新穎．第(1)小題比較常規(guī)，考生容易解決，著重考查數(shù)學(xué)“雙基”(即導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線方程、三角形的面積等)．第(2)小題雖是考生熟悉的不等式恒成立問題，但有很高的難度，考生會遇到兩個全新的問題：一是函數(shù)中含有兩個超越函數(shù)即ex-1和 lnx，這會讓考生感到陌生甚至無從下手；二是函數(shù)中的參數(shù)a分散在兩處(即aex-1, lna)，且不能直接把參數(shù)a從不等式aex-1-lnx+lna≥1中分離出來，這與平常學(xué)習(xí)的“套路”很不相同，顯然又增加了解決問題的難度．因此，第(2)題主要是考查數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和創(chuàng)新意識．

2 課堂簡錄與教學(xué)特色

2.1 課堂簡錄：解題思路探索

第(1)題相對容易，第(2)題難度高，故該教師只針對第(2)小題實施了探究教學(xué)．課前，其已安排學(xué)生分組討論了此題的解法．課堂上，先以課標(biāo)中對導(dǎo)數(shù)的要求來引入本節(jié)課的內(nèi)容；接著讓各小組展示不同的思路與解法，并輔以課件予以展示；每個小組的學(xué)生代表展示后，教師作簡要總結(jié)及點評．在40分鐘的課堂上教師引導(dǎo)各組分別從以下幾種角度，對本題第(2)題的解題思路進(jìn)行了探討，最后教師對解題方法作了總結(jié)．

思路1 將函數(shù)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最小值問題．

思路2 找關(guān)鍵點或利用極端原則等方法．

注意到兩個超越函數(shù)即ex-1和lnx均較麻煩，一個自然的想法是對x賦一個特殊值，讓它們消失或取值就變得很簡單．事實上，取x=1，就能實現(xiàn)這個想法．若取x=1，則f(1)=a+lna．“f(x)≥1恒成立”的必要條件是f(1)=a+lna≥1．再注意到a+lna在定義域上單調(diào)遞增，則有a≥1．因此，“f(x)≥1恒成立”的必要條件是“a≥1”．至此，剩下的工作是證明“f(x)≥1恒成立”的充分條件是“a≥1”(以下略)．

思路3 對參數(shù)進(jìn)行分類討論．

受思路2的啟發(fā)，對參數(shù)a進(jìn)行分類討論：a≥1，0

思路4 變更主元．

評注到了這一步，教師既沒有展示新的步驟，也沒有作補充說明．易見，思路4存在邏輯差錯(詳見后面對思路4的反思)．

思路5 構(gòu)造同構(gòu)式．

評注構(gòu)造同構(gòu)式的困難在于，學(xué)生對于對數(shù)的運算和不等式的同解變形不夠熟練．

思路6 利用“隱零點”和“設(shè)而不求”．

評注思路6的妙處在于“等價轉(zhuǎn)換”和“設(shè)而不求”．“隱零點”法和“設(shè)而不求”對于學(xué)生思維創(chuàng)新性要求較高，需要運用分類討論、函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)零點等知識對問題作綜合考慮，才能判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否有零點、有幾個零點等問題．

2.2 教學(xué)特色

課后，上課教師對教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了說課，多位教師和專家對本節(jié)課作了點評．大家認(rèn)為，這堂課很成功，有諸多教學(xué)啟示．

·組織團隊教研，教研成果助教學(xué)

組織教學(xué)研究團隊或建立教研共同體，可以克服“單打獨斗”搞教研的精力不足、成果不足、普及不足等問題．上課教師所在的教研團隊擁有多位骨干教師，他們以研促教，每周規(guī)定固定的時間研究高考題解法、課堂教學(xué)等問題．高考剛結(jié)束，此團隊就立刻開展試題研究，短時間內(nèi)研究出了本題的幾種解法，且他們發(fā)現(xiàn)某學(xué)校的測試題經(jīng)過一些變形后與此高考題結(jié)構(gòu)相同．選定課題之后，團隊內(nèi)的教師一起對本堂課的內(nèi)容、學(xué)情、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點、教學(xué)難點等進(jìn)行分析，設(shè)置了比較詳細(xì)的解題思路和探究的教學(xué)環(huán)節(jié)，設(shè)計好的各種解法．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生對于高考壓軸的導(dǎo)數(shù)題不再“恐懼”，能用已學(xué)方法進(jìn)行一些探索．

·感悟思想方法，落實核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個體擁有“數(shù)學(xué)頭腦”的自組織的數(shù)學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)[1]．本題教學(xué)較好體現(xiàn)了小組合作學(xué)習(xí)的自組織和學(xué)生自主探索的自組織，但對于中等水平及以下的學(xué)生來說，要想完全實現(xiàn)“自組織”學(xué)習(xí)和探索是有難度的．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)是學(xué)生已建立起了良好的數(shù)學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)，本題教學(xué)對豐富學(xué)生的思路探索與發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗是成功的．?dāng)?shù)學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)核，而數(shù)學(xué)思想方法又是數(shù)學(xué)經(jīng)驗系統(tǒng)的內(nèi)核．因此，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)核，感悟數(shù)學(xué)思想方法就是在落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．就本題而言，思路1運用了化歸與轉(zhuǎn)化思想；思路2運用了觀察法和特殊化思想；思路3運用了分類討論思想；思路4運用了函數(shù)思想和主元思想；思路5借助對數(shù)的運算對不等式進(jìn)行了多次的同解變形，使問題解答過程顯得自然、連貫、簡潔與巧妙；思路6借助于“隱零點”運用了“設(shè)而不求”的思想方法，體現(xiàn)了多想少算的解題策略．扎實的基礎(chǔ)知識和基本技能僅是順利完成此題第(2)題的必要條件但不是充分條件，順利完成此題第(2)題的解答還需要學(xué)生具有較強的分析問題能力、探究問題能力、轉(zhuǎn)化和簡化問題的能力以及一定的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識，這里的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識主要指解題思路的探索、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新，這些能力和創(chuàng)新意識正是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．因此，本題的教學(xué)能夠比較好地將培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的思想感悟策略和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)策略融入到探究過程之中[2]．

3 教學(xué)建議

3.1 調(diào)整課堂容量，降低教學(xué)起點

本課教學(xué)內(nèi)容較多，讓學(xué)生探索的時間不夠充足，因此建議安排2課時．將課前小組討論解題思路的活動移到課堂上，這樣教師就能看到學(xué)生真實的學(xué)習(xí)狀態(tài)和出現(xiàn)的各種問題，再依據(jù)學(xué)情來精準(zhǔn)施教．

3.2 反思解題經(jīng)驗，培養(yǎng)創(chuàng)新素養(yǎng)

教師引導(dǎo)學(xué)生反思解題經(jīng)驗是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要方法．

(1)對思路2的反思：“找關(guān)鍵點”方法是根據(jù)“充要條件”來證明：f(x)≥1?a≥1．

首先，證明f(x)≥1?a≥1(略)．其次，證明必要性：a≥1?f(x)≥1．當(dāng)a≥1時，可知f(x)≥ex-1-lnx．接著，通過構(gòu)造兩個函數(shù)g(x)=ex-1-x，h(x)=lnx-x+1，最后可以得到ex-1-lnx≥x-(x-1)=1，得證．整個證明過程需要兩次求導(dǎo)．實際上，必要性的證明可以簡化(優(yōu)化)為直接比較ex-1與lnx的大?。毫瞀?x)=ex-1-lnx，通過求導(dǎo)可得φ′(x)=0的解為x=1，于是其最小值為φ(1)=1，所以f(x)≥φ(x)≥1．這里，把原本多次求導(dǎo)化為了一次求導(dǎo)，這種直接比較的方法更貼近學(xué)生的思維過程．

(2)對思路4的反思：批判性思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要路徑．

思路4出現(xiàn)了邏輯差錯．因為還需要驗證0

(3)對思路5的反思：發(fā)散思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要路徑．

思路5另解1：aex-1-lnx+lna≥1?ex-1+ln a≥lnx-lna+1．令t=ex-1+ln a，取對數(shù)，得lnt=x-1+lna①．又eln t≥lnx-lna+1，即t≥lnx-lna+1 ②．

①+②，得lnt+t≥lnx+x．顯然m(x)= lnx+x在(0,+∞)上單調(diào)遞增，因此t≥x．即ex-1+ln a≥x，則lna≥lnx-x+1．(以下從略．)

3.3 洞察問題本質(zhì)，編擬新穎題目

在上面“對思路2的反思”基礎(chǔ)上，對于不等式ex-1-lnx≥1的證明若用教材上的習(xí)題結(jié)論ex≥1+x(當(dāng)x=0時取等號)，則可簡潔明快地獲得．事實上，用教材上的習(xí)題結(jié)論ex≥1+x可得ex-1≥x(當(dāng)x=1時取等號)；再對ex-1≥x取自然對數(shù)，可得lnx≤x-1(x>0)(當(dāng)x=1時取等號)．從而，利用ex-1≥x(當(dāng)x=1時取等號)和lnx≤x-1(當(dāng)x=1時取等號)直接放縮，可得ex-1-lnx≥x-lnx≥x-(x-1)=1．

不難看出，利用教材上習(xí)題結(jié)論及推論，即直接用ex-1≥x和lnx≤x-1(x>0)便可解決問題，真可謂直擊問題本質(zhì)，并欣賞到數(shù)學(xué)解題的簡單美．由此筆者猜測，本題的設(shè)計背景很可能就是依據(jù)ex-1≥x和lnx≤x-1(x>0)進(jìn)行反向構(gòu)造出來的．事實上，由這兩個不等式相減，即有ex-1-lnx≥1； 然后兩次穿上參數(shù)a的“馬甲”，令a≥1，則得到aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1．

編擬練習(xí)題是數(shù)學(xué)教師的基本功．在洞察問題本質(zhì)后，就不難編擬一些新穎題目，例如：

(1)已知apex-1-lnx+qlna≥1恒成立，p,q均為正整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

(2)已知aex-1-lnx+lna+a3≥2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．