對(duì)解析幾何中定點(diǎn)定值問(wèn)題的一些思考

宗 蕾 (江蘇省常熟市中學(xué) 215500)

解析幾何是高考必考的內(nèi)容，它通過(guò)研究空間與數(shù)量的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)．解析幾何中曲線的性質(zhì)常常以一些定點(diǎn)及定值問(wèn)題的形式出現(xiàn)，比如證明動(dòng)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)或計(jì)算某些量(如向量的數(shù)量積)是定值，在邏輯上體現(xiàn)了“動(dòng)”與“定”的辯證關(guān)系，成為高考的熱點(diǎn)問(wèn)題．同時(shí)，由于這些問(wèn)題一般計(jì)算量大、字母較多、方法靈活多樣，也成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．探索這類(lèi)問(wèn)題的多種解題方法，有助于提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．

1 科學(xué)預(yù)設(shè)方法，提升運(yùn)算效率

解析幾何中“動(dòng)”與“定”的辯證關(guān)系決定了解題的方法具有多樣性.教師在課堂上要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的條件和問(wèn)題本身，設(shè)計(jì)好整個(gè)計(jì)算的方法，然后通過(guò)比較分析各方法的繁簡(jiǎn)，選擇最優(yōu)的方案進(jìn)行求解，這樣往往會(huì)事半功倍．

(1)求橢圓的方程；

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，方法1是利用斜率k為參數(shù)，需要求兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算量比較大，過(guò)程比較復(fù)雜；方法2利用點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為參數(shù)，將一次的直線與兩次的橢圓方程聯(lián)立，只計(jì)算了一次，計(jì)算量小了很多；而方法3是兩個(gè)一次的直線方程聯(lián)立，計(jì)算量最小、效率最高．因此，方法3是本題最好的方法．

2 夯實(shí)常規(guī)技能，避免思維固化

解析幾何的教學(xué)、特別是定點(diǎn)定值問(wèn)題的教學(xué)，要注重常規(guī)經(jīng)典方法的滲透，該“死算”的時(shí)候千萬(wàn)不能取巧走捷徑．但是，事物都有其普遍性和特殊性，教師也要避免學(xué)生出現(xiàn)解法固化、思維固化的情形，即在過(guò)分強(qiáng)化某種解法后，學(xué)生可能出現(xiàn)不管什么問(wèn)題都采用這種解法的情況，想利用一種解法“打遍天下”．這種情況下，一旦出現(xiàn)跟常見(jiàn)的情形不同的陌生情形，學(xué)生思維容易受阻，導(dǎo)致解題不順暢．這應(yīng)是我們?cè)诮馕鰩缀蜗嚓P(guān)教學(xué)中盡量避免的情況．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

3 利用特殊設(shè)定，打開(kāi)思維閘門(mén)

從特殊到一般是重要的數(shù)學(xué)思維方式．解析幾何的定點(diǎn)定值問(wèn)題，在很多時(shí)候可以借助特殊情形來(lái)猜測(cè)答案．比如在證明動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)的時(shí)候，可以將動(dòng)直線中的參數(shù)取兩個(gè)特殊值，然后聯(lián)立起來(lái)，解出的交點(diǎn)就是所求的定點(diǎn)；再比如求定值的問(wèn)題中，可將直線或者圓特殊化，就能經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算得出答案．但是要注意，這樣僅僅代表了一種特殊的情形，依然需要對(duì)此給出證明．

上面的解法就是采用了由特殊情形到一般情形的方法，計(jì)算量較小、易于掌握．

解析幾何的定點(diǎn)定值問(wèn)題作為高考的中檔題，需要一定的計(jì)算能力．教師應(yīng)該做到：(1)在課堂上給學(xué)生足夠的時(shí)間去計(jì)算，避免學(xué)生“看題”代替“算題”，避免計(jì)算時(shí)淺嘗輒止．課后作業(yè)的布置盡量少而精，以便給學(xué)生充裕的時(shí)間去獨(dú)立計(jì)算．(2)加強(qiáng)過(guò)程評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立計(jì)算的精神，并及時(shí)糾正學(xué)生計(jì)算過(guò)程、方法的錯(cuò)誤，對(duì)計(jì)算的關(guān)鍵點(diǎn)適當(dāng)?shù)仄饰觯?3)增加對(duì)作業(yè)中計(jì)算的評(píng)語(yǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生敢于計(jì)算、克服畏難畏繁的心理，增強(qiáng)學(xué)生“頑強(qiáng)計(jì)算”的意志和品格．