熱流溫度場(chǎng)下功能梯度板的熱問(wèn)題研究

劉 超，劉文光

（南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，江西南昌330063）

高超音速飛行器飛行時(shí)會(huì)遇到惡劣的熱環(huán)境。當(dāng)高超音速飛行器以36馬赫（12 250 m/s）的速度返回大氣層時(shí)，其機(jī)翼前緣駐點(diǎn)的溫度高達(dá)11 000 K左右［1］。高溫惡劣環(huán)境會(huì)對(duì)飛行器的可靠性、安全性及整體性能產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。因此，熱防護(hù)系統(tǒng)是高超音速飛行器設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容之一。

為了改善高超音速飛行器的熱防護(hù)性能，選用合理的復(fù)合材料或涂層材料來(lái)設(shè)計(jì)熱防護(hù)系統(tǒng)極為重要［2］。然而，傳統(tǒng)的復(fù)合材料或涂層材料由于內(nèi)部組分不連續(xù)變化，存在明顯的界面失配問(wèn)題。其在宏觀力學(xué)性能上表現(xiàn)為應(yīng)力集中和突變等問(wèn)題。尤其是表層熱防護(hù)材料，當(dāng)氣動(dòng)加熱達(dá)到幾千攝氏度時(shí)，材料內(nèi)部會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的熱應(yīng)力集中等現(xiàn)象，導(dǎo)致表層材料脫落，影響飛行器的飛行安全。功能梯度材料（functionally graded material，F(xiàn)GM）由于材料組分連續(xù)變化，能弱化甚至完全消除不同界面處的失配問(wèn)題，對(duì)緩解結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力集中等問(wèn)題很有效［3］，因此可以應(yīng)用在高超音速飛行器的熱防護(hù)系統(tǒng)中。

針對(duì)FGM結(jié)構(gòu)的力學(xué)問(wèn)題，學(xué)者們開展了大量的研究。Ma等研究了功能梯度梁在熱載荷作用下的非線性力學(xué)行為［4］；Nami等研究了在熱機(jī)械載荷作用下空心FGM圓柱殼的裂紋尺寸、裂紋形狀等對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響［5］；楊歡歡利用線彈性斷裂力學(xué)理論研究了FGM結(jié)構(gòu)在動(dòng)靜態(tài)載荷作用下裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化規(guī)律［6］；Zhou等開發(fā)了虛擬節(jié)點(diǎn)斷裂單元，求解了含裂紋的FGM板的能量釋放率［7］；鄧昊等求得了沿軸向的指數(shù)分布的FGM梁的傳遞矩陣，并推導(dǎo)了在復(fù)雜邊界條件下多跨FGM梁的理論模型［8］；杜長(zhǎng)城等通過(guò)數(shù)值積分和Poincaré映射研究了FGM圓柱殼在非線性自由振動(dòng)時(shí)模態(tài)相互作用和能量交換的現(xiàn)象［9］；劉文光等通過(guò)建立FGM圓柱殼的動(dòng)力學(xué)方程研究了熱應(yīng)力、殼體厚度和材料組分含量對(duì)FGM熱防護(hù)殼振動(dòng)模態(tài)的影響［10］；陳金曉等通過(guò)改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)建立了FGM圓柱殼的振動(dòng)方程，并探討了在彈性邊界條件下殼體尺寸、材料組分的體積分?jǐn)?shù)等對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響［11］。

由于氣動(dòng)加熱會(huì)導(dǎo)致FGM結(jié)構(gòu)表面產(chǎn)生巨大的溫差，嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的正常運(yùn)行，很多學(xué)者對(duì)FGM熱問(wèn)題展開了研究。基于一階剪切變形理論和von‐Karman幾何非線性，Lee等研究了高超音速氣流中FGM板的熱變形，探究了FGM板的熱屈曲行為［12］；Nazargah利用等幾何有限元模型分析了雙向FGM梁的完全耦合熱機(jī)械行為［13］；Duc等研究了在熱環(huán)境下具有溫度依賴性的偏心加筋S‐FGM圓柱殼的非線性靜態(tài)屈曲行為［14］；針對(duì)FGM板的熱傳導(dǎo)問(wèn)題，Zhou等按照給定的目標(biāo)函數(shù)和邊界條件提出了FGM體積分布指數(shù)的優(yōu)化方法［15］；基于平面穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)基本方程，許楊健等探索了FGM板梯度參數(shù)和幾何組成對(duì)溫度場(chǎng)的影響［16］；Bouchafa等研究了溫度梯度對(duì)FGM結(jié)構(gòu)殘余應(yīng)力的影響［17］；Chen等分析了FGM夾芯板在熱環(huán)境中在任意周期載荷作用下的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)區(qū)域［18］。

盡管研究者對(duì)FGM結(jié)構(gòu)的熱機(jī)械行為開展了系統(tǒng)研究，但是很少有學(xué)者深入討論FGM在熱防護(hù)系統(tǒng)中的應(yīng)用，也未見(jiàn)基于結(jié)構(gòu)參數(shù)等的調(diào)控來(lái)提高FGM熱防護(hù)性能的相關(guān)報(bào)道。筆者以FGM板為研究對(duì)象，討論了在線性溫度場(chǎng)、正弦溫度場(chǎng)、熱流溫度場(chǎng)和非線性溫度場(chǎng)下FGM的物理特性，重點(diǎn)分析了板厚、陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和熱流密度等參數(shù)對(duì)FGM板熱傳導(dǎo)、熱變形和熱應(yīng)力的影響，以探究一種基于多參數(shù)調(diào)控的有效緩解結(jié)構(gòu)熱應(yīng)力集中觀象的方法，以促進(jìn)FGM在高超音速飛行器熱防護(hù)系統(tǒng)中的應(yīng)用。

1 FGM板的物理特性

非均質(zhì)矩形截面FGM板如圖1所示。板的長(zhǎng)、寬、厚分別為a、b和h，板的材料屬性只沿厚度方向連續(xù)變化，由底部純鈦合金Ti‐6Al‐4V連續(xù)變化到頂部純陶瓷ZrO2。在FGM板的中性面建立如圖1（a）所示的直角坐標(biāo)系o-xyz。在中性面內(nèi)金屬含量和陶瓷含量相等。

圖1 非均質(zhì)矩形截面FGM板Fig.1 FGM plate with heterogeneous rectangular section

FGM板最大的特點(diǎn)在于其物理特性參數(shù)可視為空間位置（用z表示）和溫度T的連續(xù)函數(shù)。在已有文獻(xiàn)中，研究者對(duì)多種不同的材料物理特性的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了描述［19］。筆者采用常用的冪律分布模型。FGM板的物理特性可表示為［20］：

式中：ξ代表密度ρ、彈性模量E、泊松比v、熱膨脹系數(shù)α和熱傳導(dǎo)系數(shù)β等材料本身的物理特性參數(shù)；下標(biāo)c和m分別代表純陶瓷和純金屬；ηc為陶瓷的體積分?jǐn)?shù)；k為陶瓷的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)，0≤k<∞。

FGM板的物理特性參數(shù)與溫度之間的非線性關(guān)系為：

式中：T=T0+ΔT（z），ΔT（z）為沿厚度方向的溫度梯度，T0為環(huán)境溫度；ψ0、ψ-1、ψ1、ψ2和ψ3均為材料的溫敏特性參數(shù)，其取值見(jiàn)表1［21］。

表1 ZrO2和Ti-6Al-4V的溫敏特性系數(shù)Table 1 Temperature‐dependent coefficients for ZrO2and Ti‐6Al‐4V

2 熱環(huán)境描述

高超音速飛行器的飛行空域是復(fù)雜多變的溫度場(chǎng)，所以探討不同溫度場(chǎng)對(duì)FGM物理特性的影響十分必要。溫度場(chǎng)的描述如下。

2.1 線性溫度場(chǎng)T1和正弦溫度場(chǎng)T2

設(shè)施加在FGM板底部和頂部的溫度載荷分別為Tb和Tt，則沿厚度方向按線性和正弦升高的溫度場(chǎng)可分別表示為：

2.2 熱流溫度場(chǎng)T3

在熱流溫度場(chǎng)下，材料組分之間由溫度不均勻引起的內(nèi)能交換遵循傅里葉定律。設(shè)熱流密度為q，則沿厚度方向的溫度場(chǎng)可表示為：

式中：βcm=βc-βm。

2.3 非線性溫度場(chǎng)T4

在非線性溫度場(chǎng)下，沿厚度方向的溫度場(chǎng)主要由一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程解得。一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程和溫度場(chǎng)可分別表示為：

3 熱環(huán)境對(duì)FGM板物理特性的影響

在討論FGM板的熱傳導(dǎo)、熱變形和熱應(yīng)力之前，先研究在不同溫度場(chǎng)下FGM板的組分含量和彈性模量的變化趨勢(shì)。計(jì)算時(shí)，取T0=300 K；在線性溫度場(chǎng)和非線性溫度場(chǎng)下，取Tb=0 K，Tt=600 K；在正弦溫度場(chǎng)下，取Tb=200 K，Tt=500 K；在熱流溫度場(chǎng)下，取Tb=0 K，q=100 mW/mm2。

FGM板的陶瓷體積分?jǐn)?shù)ηc隨陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k的變化曲線如圖2所示。由圖2可知：ηc隨k的增大而逐漸減?。划?dāng)k=1.0時(shí)，ηc與z/h呈線性遞增關(guān)系；當(dāng)k≥5.0，-0.5≤z/h≤-0.1 時(shí)，ηc的變化很小。因此，用FGM設(shè)計(jì)熱防護(hù)結(jié)構(gòu)時(shí)應(yīng)取k<5.0。

圖2 FGM板的陶瓷體積分?jǐn)?shù)ηc隨陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k的變化曲線Fig.2 Changing curve of ceramic volume fraction ηcof FGM plate with ceramic volume fraction index k

在不同溫度場(chǎng)下FGM板的彈性模量E沿厚度方向的變化規(guī)律如圖3所示。

由圖3可知：k一定時(shí)，溫度場(chǎng)對(duì)E的影響非常明顯；在線性溫度場(chǎng)下，當(dāng)k≥1.0時(shí)，E基本呈線性變化趨勢(shì)；在正弦溫度場(chǎng)下，板底部的E值總是大于板頂部的E值；在熱流溫度場(chǎng)下，當(dāng)k>1.0時(shí)，靠近板底部時(shí)E隨k的增大而減小，而在靠近板頂部時(shí)其變化趨勢(shì)則完全相反；在非線性溫度場(chǎng)下，當(dāng)k≥1.0時(shí)，E近似呈二次函數(shù)變化趨勢(shì)。

圖3表明，熱流溫度場(chǎng)對(duì)E的影響最為顯著。而熱流溫度場(chǎng)最接近工程的實(shí)際狀態(tài)，因此下面主要分析在熱流溫度場(chǎng)下FGM板的熱傳導(dǎo)、熱變形和熱應(yīng)力。

圖3 不同溫度場(chǎng)下FGM板的彈性模量E沿厚度方向的變化規(guī)律Fig.3 Changing rules of elastic modulus E along thickness di‐rection of FGM plate under different temperature fields

4 FGM板熱問(wèn)題的仿真分析

4.1 FGM板有限元模型的建立

取 FGM 板的幾何尺寸為：a×b×h=40 mm×20 mm×1.8 mm。結(jié)合分層建模思想和Python編程，建立如圖4所示的有限元模型。模型分為25層，采用C3D8T六面體單元，共有31 250個(gè)單元。模型邊界條件設(shè)置為一端固支、一端自由。在FGM板的頂部（z/h=0.5）施加0.2 MPa的均勻外載荷。

圖4 FGM板的有限元模型Fig.4 Finite element model of FGM plate

基于所建立的FGM板的有限元模型，分析板厚h、陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k和熱流密度q等參量對(duì)FGM板熱傳導(dǎo)、熱變形和熱應(yīng)力的影響。

4.2 FGM板的熱傳導(dǎo)分析

由于內(nèi)熱源對(duì)FGM板熱傳導(dǎo)的影響比外熱源小，本文只分析外熱源對(duì)FGM板熱傳導(dǎo)的影響。假設(shè)FGM沿厚度方向的比熱c=0.69×103J/（kg?°C），q的變化范圍為5～50 mW/mm2。當(dāng)q=5 mW/mm2時(shí)，F(xiàn)GM板厚h和陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k對(duì)板熱傳導(dǎo)的影響如圖5和圖6所示。

圖6 陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k對(duì)板熱傳導(dǎo)的影響Fig.6 Effect of ceramic volume fraction index k on the heat conduction of plate

由圖5可知：隨著h的增大，F(xiàn)GM板底部溫度降低，板的熱防護(hù)性能增強(qiáng)；特別地，當(dāng)h=7.2，9.0 mm時(shí)，在800 s的工作時(shí)間內(nèi)板底部溫度不超過(guò)450 K，這說(shuō)明適當(dāng)增大h可以提高飛行器內(nèi)部的抗熱性；當(dāng)h從3.6 mm增大到9.0 mm時(shí)，溫度下降率從20%下降到8%，可見(jiàn)，隨著h的逐漸增大，降溫的速率變低。因此，熱防護(hù)材料無(wú)需太厚，選用7.2～9.0 mm厚的FGM板足以起到熱防護(hù)作用，也不會(huì)使板的質(zhì)量過(guò)大。

圖5 FGM板厚h對(duì)板熱傳導(dǎo)的影響Fig.5 Effect of FGM plate thickness h on the heat conduc‐tion of plate

由圖6可知，k對(duì)熱傳導(dǎo)的影響非常小。因此，通過(guò)調(diào)節(jié)k值來(lái)減緩熱傳導(dǎo)并非最佳方案。

綜合圖2、圖5和圖6可知，當(dāng)7.2≤h≤9.0 mm和1.0≤k≤2.5時(shí)，可實(shí)現(xiàn)FGM板的輕質(zhì)和高效隔熱。

當(dāng)h=7.2 mm，k=1.5時(shí)，熱流密度q對(duì)熱傳導(dǎo)的影響如圖7所示。

圖7 熱流密度q對(duì)板熱傳導(dǎo)的影響Fig.7 Effect of heat flux density q on the heat conduction of plate

由圖7可知：FGM板底部溫度隨q的增大而逐漸升高，且隨t的增加呈線性遞增的趨勢(shì)；當(dāng)q=5 mW/mm2，t=800 s時(shí)，板底部溫度為450 K；當(dāng)q=40 mW/mm2，t=800 s時(shí)，板底部溫度為1 800 K。因此，當(dāng)q一定時(shí)，為確保FGM板底部溫度在某個(gè)安全范圍內(nèi)，控制飛行時(shí)間對(duì)飛行器的安全至關(guān)重要。

4.3 FGM板的熱變形分析

當(dāng)k=0.2，q=5 mW/mm2時(shí)，h對(duì)板自由端變形量ε的影響如圖8所示；當(dāng)h=7.2 mm時(shí)，熱流密度q對(duì)板自由端變形量ε的影響如圖9所示。

圖8 FGM板厚h對(duì)板自由端變形量ε的影響Fig.8 Effect of FGM plate thickness h on the deformation of plate free‐end ε

圖9 熱流密度q對(duì)板自由端變形量ε的影響Fig.9 Effect of heat flux density q on the deformation of plate free‐end ε

由圖8可知：隨著t的增加，ε先快速增大后基本保持不變；當(dāng)h=1.8 mm時(shí)，ε約為同一時(shí)刻其他板厚的5倍；當(dāng)h≥5.4 mm時(shí)，隨著t的增加，ε的變化非常小。因此，為控制ε足夠小，保證飛行器長(zhǎng)時(shí)間安全飛行，應(yīng)取h≥5.4 mm。

由圖9可知：當(dāng)q一定時(shí)，k對(duì)ε的影響很??；ε隨q的增大而逐漸增大，當(dāng)q=30 mW/mm2時(shí)，ε約為q=5 mW/mm2時(shí)的5倍。因此，從控制ε的角度出發(fā)，應(yīng)取5≤q≤10 mW/mm2。

4.4 FGM板的熱應(yīng)力分析

按上文建立的FGM板模型的坐標(biāo)系，分析FGM板底部節(jié)點(diǎn)（4 mm，8 mm，-h/2）處的von‐Mises熱應(yīng)力。當(dāng)k=5.0時(shí)，q對(duì)FGM板底部節(jié)點(diǎn)熱應(yīng)力σ的影響如圖10所示；當(dāng)h=7.2 mm時(shí)，k對(duì)FGM板底部節(jié)點(diǎn)熱應(yīng)力σ的影響如圖11所示。

圖10 熱流密度q對(duì)FGM板底部節(jié)點(diǎn)熱應(yīng)力的影響Fig.10 Effect of heat flux density q on thermal stress of FGM plate bottom node

圖11 陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k對(duì)FGM板底部節(jié)點(diǎn)熱應(yīng)力的影響Fig.11 Effect of ceramic volume fraction index k on thermal stress of FGM plate bottom node

由圖10可知：當(dāng)q一定時(shí)，增大h有利于減小σ，當(dāng)h=0.9，7.2 mm時(shí)尤為明顯；當(dāng)h>7.2 mm時(shí)，增加h幾乎不能有效減小σ；當(dāng)h一定時(shí)，增大q會(huì)使σ逐漸增大。因此，為保證飛行器在不同的熱流密度場(chǎng)下安全運(yùn)行，應(yīng)取h>3.6 mm；當(dāng)h<2 mm時(shí)，應(yīng)取q<10 mW/mm2，以保證FGM板的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力小于其抗彎強(qiáng)度1 018 MPa。

由圖11可知：k對(duì)σ的影響非常??；隨著q的增大，σ呈線性遞增的趨勢(shì)。

因此，k對(duì)FGM板的熱傳導(dǎo)、熱變形、熱應(yīng)力的影響較小，而h、q和t對(duì)FGM板熱防護(hù)效果的影響較為明顯。

5 結(jié) 論

在分析熱環(huán)境對(duì)FGM板物理特性影響的基礎(chǔ)上，建立了FGM板的有限元模型，分析了在不同F(xiàn)GM板厚h、陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)k和熱流密度q下FGM板熱傳導(dǎo)、熱變形和熱應(yīng)力的變化規(guī)律。主要結(jié)論如下：

1）當(dāng)k一定時(shí)，溫度場(chǎng)對(duì)FGM彈性模量的影響明顯，且以熱流溫度場(chǎng)的影響最為顯著。

2）增加h有利于增強(qiáng)FGM板的熱防護(hù)性能，但是h不宜太大；當(dāng)飛行器飛行時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，增大h和選擇q較小的區(qū)域有利于減小FGM板溫度的變化；而k對(duì)FGM板熱防護(hù)效果的影響很小，不推薦將改變k值作為減小FGM板溫度變化的方法。

3）為保證飛行器長(zhǎng)時(shí)間安全飛行，應(yīng)取h=7.2 mm，1.0≤k≤2.5，5≤q≤10 mW/mm2，t≤800 s，以使FGM板的熱防護(hù)效果最佳。