借助幾何直觀，促進(jìn)有效建模

孫麗麗

【摘要】模型素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成，幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象.如果學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)能夠借助幾何直觀，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的模型，那么學(xué)生就能將遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題在思想上進(jìn)行整體的把握、理解，學(xué)會(huì)通過(guò)模型將抽象的問(wèn)題直觀化.本文旨在探索如何借助幾何直觀促進(jìn)知識(shí)建模的策略研究，繼而提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】幾何直觀;建模;課例

一、問(wèn)題的提出

筆者通過(guò)查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)雖然對(duì)“如何培養(yǎng)小學(xué)生的幾何直觀能力”“如何培養(yǎng)學(xué)生的模型思想”有不少的研究，這些研究或闡述了幾何直觀能力的培養(yǎng)方法，或介紹如何培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，但都沒(méi)有從借助幾何直觀方面，對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的建模思想進(jìn)行探討.

從兒童認(rèn)知發(fā)展的角度講，由于小學(xué)中高年段的學(xué)生還處在形象思維向抽象思維過(guò)渡階段，而數(shù)學(xué)建模又是比較抽象和復(fù)雜的，為了解決小學(xué)中高年段數(shù)學(xué)建模吃力的現(xiàn)象，教師可以通過(guò)觀察、操作、推理、歸納，借助幾何直觀將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，并培養(yǎng)學(xué)生的立體感、空間感，以及空間建模思維.

二、相關(guān)概念的界定

曹培英在《跨越斷層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的解讀與實(shí)踐研究》這本書(shū)中這樣給“模型”下定義：數(shù)學(xué)模型乃是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量的相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表達(dá)出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中模型思想是十大核心概念之一.它是這樣描述的：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》一書(shū)中說(shuō)道，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型，通過(guò)抽象在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過(guò)推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過(guò)建模建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系.

綜上所述，并通過(guò)筆者長(zhǎng)期在一線教學(xué)對(duì)模型課例的探索研究，在小學(xué)階段應(yīng)該重視模型思想的建構(gòu).為了探索模型教學(xué)課例的特點(diǎn)，筆者將小學(xué)中高年段相關(guān)課例進(jìn)行了梳理，小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型包括計(jì)算型模型、概念型模型和應(yīng)用型模型等.用模型思想研究小學(xué)數(shù)學(xué)，不僅是為了獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，而是讓學(xué)生從模型的視角去認(rèn)識(shí)、描述、把握數(shù)學(xué)問(wèn)題.

三、北師版中高年段關(guān)于建模的課例分析

針對(duì)教師關(guān)于模型課例的實(shí)踐探索，筆者對(duì)本校28位數(shù)學(xué)教師對(duì)模型的課例進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查.通過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)92%的教師都是在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)，借助幾何直觀促進(jìn)學(xué)生有效建模，90%的教師從教具、學(xué)具的使用上和學(xué)生的活動(dòng)實(shí)踐入手，幫助學(xué)生建構(gòu)模型思想.

四、課例研究及教學(xué)策略

小學(xué)中高年段的建模教學(xué)最為核心的就是讓學(xué)生借助幾何直觀，通過(guò)觀察、分析等方式真正經(jīng)歷建模過(guò)程.根據(jù)小學(xué)生的思維特點(diǎn)，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要關(guān)注表象的作用，引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象的過(guò)渡，幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)的本質(zhì).

（一）引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，幫助學(xué)生建模

大家都知道，當(dāng)面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，若能借助直觀圖分析數(shù)量關(guān)系，問(wèn)題往往能輕松得到解決.通過(guò)畫(huà)圖，能把抽象問(wèn)題具體化、直觀化，從而幫助學(xué)生厘清思路，找到數(shù)量之間的關(guān)系，并在畫(huà)圖中逐漸形成模型思想，在數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

“里程表（一）”是北師版三年級(jí)上冊(cè)第三單元的內(nèi)容，對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，里程表的內(nèi)容比較抽象，所以本節(jié)課可運(yùn)用直觀圖和線段圖幫助學(xué)生理解.

師：為了更簡(jiǎn)潔一點(diǎn)，我們還可以這樣畫(huà).先畫(huà)一點(diǎn)，表示北京的位置，用直尺往右畫(huà)一條稍長(zhǎng)的線，表示一段里程，走到這里是石家莊的位置.

師：它們之間還有一個(gè)城市，是哪里呢？（板書(shū)：保定）為了方便大家觀察，我們把里程277千米標(biāo)在上面，（化弧線，標(biāo)277千米）146千米表示到哪里的距離呢？（保定）

師：像這樣在一條線段上表示里程之間關(guān)系的，我們叫它線段圖.

在低年段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)有了初步的讀圖能力和借助畫(huà)圖的方法解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).但對(duì)于里程表的問(wèn)題，信息量大，需要考慮的問(wèn)題和相關(guān)因素比較多，使學(xué)生的學(xué)習(xí)難度增大了很多.在課堂上指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)直觀圖和線段圖，可使學(xué)生充分理解圖中所表示出的數(shù)量關(guān)系，并在圖表的比較中直觀地理解減法的模型，就是總路程中去掉一部分，求另外一部分路程是多少.

本節(jié)課是學(xué)生初步認(rèn)識(shí)線段圖、理解直觀圖的起始課.學(xué)生在初步感知后，體驗(yàn)到了用線段圖表示數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)捷.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)，如分?jǐn)?shù)問(wèn)題、路程問(wèn)題等建模內(nèi)容做好了鋪墊.在日后的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)線段圖分析較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生建立直觀模型.

（二）關(guān)注教具的使用，輔助學(xué)生建模

張奠宙先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)模型，是指將一類事物或運(yùn)動(dòng)過(guò)程，用數(shù)學(xué)概念、公式以及邏輯關(guān)系從數(shù)量上加以描述，使人們能更深刻、更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)其數(shù)量關(guān)系，把握其特征，幾何學(xué)則是物體外形的數(shù)學(xué)模型.”小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有它的特殊性，它需要更多地依靠生活經(jīng)驗(yàn)與幾何直觀幫助學(xué)生建立模型.

在四年級(jí)上冊(cè)“圖形中的規(guī)律”一課中，我們通過(guò)拼擺教具，幫助學(xué)生建立小棒根數(shù)等于2n+1，3+2（n-1），3n-（n-1）的幾何模型.本節(jié)課的內(nèi)容比較抽象，個(gè)別學(xué)生并不能充分理解，于是我們通過(guò)粉、黃、白三種顏色的小棒進(jìn)行板書(shū).

以下是教學(xué)中的具體片段.

師：如果把每個(gè)三角形都按2根小棒計(jì)算的話，擺一個(gè)三角形需要2根小棒，擺3個(gè)三角形就需要3×2根小棒，擺4個(gè)三角形就需要4×2根小棒，擺幾個(gè)三角形就需要幾乘以2根小棒，但是第一個(gè)三角形用了3根小棒，多用了1根小棒，就加1，為了讓大家看清楚，我重新擺一下小棒（1粉2黃2白2黃2白2黃）.

師：誰(shuí)能用算式表示？

生：2n+1.

接下來(lái)，3+2（n-1），3n-（n-1）的幾何模型同樣讓學(xué)生動(dòng)手操作，并用三種顏色的磁力小棒進(jìn)行擺放，讓學(xué)生直觀深刻地理解不同計(jì)算公式的含義.在教學(xué)中，我們要借助教具的展示，讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

（三）關(guān)注學(xué)具的使用，強(qiáng)化學(xué)生建模

總路程、時(shí)間與速度之間的關(guān)系是小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系，也是乘法的模型.教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生用折一折紙條的辦法理解這個(gè)模型.教材在這一節(jié)用兩個(gè)特殊長(zhǎng)度的紙條來(lái)表示松鼠和小兔所走的路程，非常直觀，為后面學(xué)生能順利使用線段示意圖做鋪墊.用紙條表示兩個(gè)小動(dòng)物走的路程，以此啟發(fā)學(xué)生用折一折的方法理解題意，松鼠用了4分鐘，就啟發(fā)學(xué)生平均折成4段，兔子用了3分鐘，就平均折成3段，再比一比一段的長(zhǎng)度，建立“速度=路程÷時(shí)間”的幾何直觀模型.再通過(guò)畫(huà)對(duì)應(yīng)的線段圖，引導(dǎo)學(xué)生將紙條的表示形式抽象成線段，升華了直觀圖.把速度具體化、直觀化，深化了速度、路程和時(shí)間之間的模型結(jié)構(gòu).

（四）借助立體圖形，建立數(shù)學(xué)模型

立體圖形不像其他的數(shù)學(xué)概念、公式等，需要大量數(shù)據(jù)來(lái)描述支撐，而是具有其獨(dú)有的特征——立體圖形本身就是極好的模型.

以“長(zhǎng)、正方體表面積”一課為例，其主要教學(xué)思路就是讓學(xué)生在腦海中建立這樣的立體圖形模型，并構(gòu)建出這個(gè)立體圖形的平面直觀圖，進(jìn)而形成具備邏輯關(guān)系的公式，從而解決類似的實(shí)際問(wèn)題.

在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了正方體的11種平面展開(kāi)圖，因正方體的特殊性，六個(gè)面是完全一樣的正方形，因此，本節(jié)課的重點(diǎn)是會(huì)計(jì)算長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖.課前，教師準(zhǔn)備了一個(gè)大的長(zhǎng)方體模型教具，旨在讓學(xué)生建立形象直觀的模型.幾乎所有學(xué)生都能通過(guò)長(zhǎng)方體的特征，通過(guò)直觀演示法，給出求長(zhǎng)方體表面積的方法：因?yàn)殚L(zhǎng)方體相對(duì)面的面積相等，則可以求出其中三個(gè)面的面積之和再乘2.但是在自己求解的過(guò)程中，對(duì)于求哪三個(gè)面的面積以及如何求這三個(gè)面的面積，部分同學(xué)出現(xiàn)了問(wèn)題.于是，教師給出了長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖，進(jìn)一步通過(guò)直觀演示，找到了對(duì)應(yīng)的六個(gè)面，并總結(jié)出了相應(yīng)的計(jì)算公式.

常規(guī)的教學(xué)到這即可結(jié)束，但教師仍在繼續(xù)拓展：請(qǐng)學(xué)生思考是否還有其他的求解方法.有學(xué)生表示，可以用轉(zhuǎn)化法，把長(zhǎng)方體的表面積轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的側(cè)面和上下兩個(gè)底面積之和，再次將圖形回歸至立體.但是很明顯，這種方法因不少同學(xué)想象力不足，無(wú)法在頭腦中構(gòu)建出這個(gè)模型.但是到這已足夠，了解這些，可為六年級(jí)學(xué)習(xí)圓柱表面積做鋪墊.

本節(jié)課的主要教學(xué)思想就是構(gòu)造一個(gè)由立體圖形到立體圖形中的平面圖形，再到立體圖形這樣的循序漸進(jìn)的過(guò)程，逐步構(gòu)建長(zhǎng)方體表面積計(jì)算的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生初步的空間想象能力.

利用幾何直觀能讓學(xué)生將直觀的圖形語(yǔ)言和抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使形象思維和抽象思維結(jié)合起來(lái)，充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn).通過(guò)圖形的直觀性質(zhì)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，能將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化、相互滲透，為學(xué)生數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)開(kāi)辟了一個(gè)重要的途徑.

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