• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    線性空間結(jié)構(gòu)的研究途徑

    2021-05-06 16:30:05趙云平
    關(guān)鍵詞:角度途徑結(jié)構(gòu)

    趙云平

    【摘要】本文從多個(gè)角度介紹了線性空間結(jié)構(gòu)的研究途徑,其結(jié)果對(duì)我們把握整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)是很有用的.

    【關(guān)鍵詞】線性空間;結(jié)構(gòu);角度;途徑

    高等代數(shù)一般包括兩個(gè)部分:線性代數(shù)初步及多項(xiàng)式代數(shù).而線性空間是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象,也是線性代數(shù)最基本的概念之一,它是向量空間概念的抽象和推廣,線性空間的知識(shí)在高等代數(shù)中處于核心地位.簡(jiǎn)單的說(shuō),線性空間就是這樣一種集合,其中任意兩個(gè)元素的和構(gòu)成集合的另一個(gè)元素,任意元素與任意數(shù)相乘后得到集合的另一個(gè)元素.線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的,它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象,內(nèi)涵極其豐富.它是數(shù)域上的一個(gè)特殊的代數(shù)系統(tǒng),有著許多特殊的結(jié)構(gòu)和性質(zhì),這些結(jié)構(gòu)和性質(zhì)是一般代數(shù)系統(tǒng)沒(méi)有的,因此深入研究線性空間的結(jié)構(gòu)很有必要.

    1 從基的角度

    線性空間的基是線性空間的一個(gè)基本屬性,是我們認(rèn)識(shí)線性空間的一個(gè)重要信息.如何把線性空間的全體元素表示出來(lái)?線性空間的構(gòu)造如何?借用幾何的語(yǔ)言,把線性空間元素叫作向量,而向量有加法運(yùn)算和數(shù)量乘法運(yùn)算,由此引出了基的概念.

    定義1 設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,V中的向量組α1,α2,…,αr如果滿足下述兩個(gè)條件:

    ①α1,α2,…,αr線性無(wú)關(guān);

    ②V中的每一個(gè)向量都可由α1,α2,…,αr線性表出,則稱α1,α2,…,αr是V的一個(gè)基.

    有了基的概念之后,利用基,只要求出線性空間的一個(gè)基,那么線性空間V中的每一個(gè)向量都可以由這個(gè)基線性表示出,而且表示方法是唯一的,因?yàn)閂中的每一個(gè)向量都清楚了,因此整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)就把握了.

    例如,向量組e1=100,e2=010,e3=001是K3的一個(gè)基,則K3中任何一個(gè)向量都可由它線性表出,若α=3-25,則α=3e1-2e2+5e3.n維線性空間V的基是不唯一的,V中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都是V的一組基;任意兩組基向量是等價(jià)的,就是兩個(gè)向量組可以相互線性表出,即第一個(gè)向量組中的每個(gè)向量都能表示成第二個(gè)向量組的向量的線性組合,且第二個(gè)向量組中的每個(gè)向量都能表示成第一個(gè)向量組的向量的線性組合.

    不僅如此,基的概念還解決了線性方程組有無(wú)解的判定及解集的結(jié)構(gòu)問(wèn)題.

    2 從子空間的角度

    在許多問(wèn)題中,我們所研究的線性空間往往由某個(gè)更大的線性空間的一個(gè)適當(dāng)大小的非空子集構(gòu)成,即所謂的子空間.線性子空間(或向量子空間)在線性代數(shù)和相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是很重要的.線性子空間是線性空間這一抽象概念生發(fā)出的重要知識(shí)點(diǎn).

    子空間有兩種運(yùn)算,一個(gè)是子空間的交,一個(gè)是子空間的和,和里面的一種重要的特殊類型叫作直和.線性子空間的直和是線性子空間之間的一種特殊運(yùn)算,直和是一種要求更高的和,子空間的直和是子空間和的一種強(qiáng)調(diào)形式.當(dāng)我們對(duì)元素分解不唯一時(shí),有些問(wèn)題不好處理,因此引出直和的概念.直和的意義在于每一個(gè)元素分解的唯一性.

    上述定義、定理表明,如果線性空間V等于它的子空間V1,V2,…,Vm的直和,那么V的每一個(gè)向量就可以表示成V1的一個(gè)向量加V2的一個(gè)向量……加Vm的一個(gè)向量,這種表示方法是唯一的,并且V1的一個(gè)基、V2的一個(gè)基……Vm的一個(gè)基合(并)起來(lái)就是整個(gè)空間V的一個(gè)基.也就告訴我們,如果能把整個(gè)線性空間做直和分解,把可能很大的線性空間分解成若干比較小的或特殊的子空間,那么線性空間V的結(jié)構(gòu)就通過(guò)它的子空間的結(jié)構(gòu)構(gòu)建起來(lái),因?yàn)樾〉淖涌臻g的基比較容易找,把它們合起來(lái)就是整個(gè)線性空間的基,而且線性空間V的每個(gè)向量表示成這些子空間向量的和,且表示方法唯一.實(shí)際上,每一個(gè)有限維線性空間都有直和分解,又因?yàn)榫€性空間的基不唯一,所以線性空間的直和分解也不唯一.

    例如,過(guò)點(diǎn)O的平面V1與過(guò)點(diǎn)O的直線V2,這兩個(gè)子空間也有和,即V1+V2=V,V1和V2的和就等于整個(gè)幾何空間,而V1+V2中的每個(gè)向量α可唯一分解成α1+α2,其中α1∈V1,α2∈V2(也就說(shuō)以α為對(duì)角線的平行四邊形有且僅有一個(gè)).可見整個(gè)幾何空間可以做直和分解,那么整個(gè)幾何空間的結(jié)構(gòu)自然就清楚了.線性空間的直和分解思想是研究線性空間結(jié)構(gòu)的核心工具,將線性空間分解為其子空間的直和是一種重要的研究途徑.

    3 從同構(gòu)的角度

    同構(gòu)是高等代數(shù)中的一個(gè)重要工具.同構(gòu)概念是對(duì)于線性空間而言的,是描述不同對(duì)象集合之間結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)概念,借助同構(gòu)思想可以讓復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.線性空間的同構(gòu)就是將數(shù)域K上所有線性空間進(jìn)行分類,把本質(zhì)上有相同結(jié)構(gòu)的線性空間歸為一類,在這一類中挑選一個(gè)比較簡(jiǎn)單的具體的線性空間來(lái)研究它的性質(zhì),則跟它同一類的其他線性空間也有同樣的性質(zhì).利用同構(gòu)概念可以對(duì)性質(zhì)相同的一類線性空間進(jìn)行整體研究,可以由此知彼,減少工作量,為研究線性空間結(jié)構(gòu)提供新的途徑.

    同一個(gè)數(shù)域K上的兩個(gè)線性空間本質(zhì)上有相同的結(jié)構(gòu),從集合的角度來(lái)講,就是它們?cè)刂g有一個(gè)雙射,這是起碼的條件,有了雙射還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,因?yàn)榫€性空間有加法、數(shù)量乘法兩種運(yùn)算,所以還要求σ保持加法,保持?jǐn)?shù)量乘法.這里有一個(gè)重要的充要條件,同一數(shù)域上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)維數(shù)相等,說(shuō)明維數(shù)相等一定同構(gòu),維數(shù)不等一定不同構(gòu).

    同構(gòu)的意義在于,在線性空間的抽象討論中,無(wú)論構(gòu)成線性空間的元素是什么,其中的運(yùn)算是如何定義的,我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì).從這個(gè)意義上說(shuō),同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的,而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù).維數(shù)相同的各線性空間的差異僅在于它們向量的表現(xiàn)形式有所不同,而這種向量表現(xiàn)形式的不同對(duì)線性空間結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)沒(méi)有任何實(shí)質(zhì)性的影響.這樣,我們就可以利用線性空間的同構(gòu)把數(shù)域K上的所有線性空間進(jìn)行分類來(lái)研究線性空間的結(jié)構(gòu).

    例如,數(shù)域K上的任一個(gè)n維線性空間V與Kn是同構(gòu)的.可見同構(gòu)類完全被維數(shù)決定,維數(shù)相同的正好在一個(gè)類里面,有0維、1維……n維,也就是自然數(shù)組成的集合與線性空間的同構(gòu)類組成的集合建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,自然數(shù)0對(duì)應(yīng)0維同構(gòu)類……這個(gè)同構(gòu)類能被自然數(shù)決定,有一個(gè)自然數(shù)就有一個(gè)同構(gòu)類,整個(gè)線性空間被維數(shù)分得如此干凈利落.如果要研究n維線性空間V的結(jié)構(gòu),那就找它的代表Kn去研究,Kn的結(jié)構(gòu)清楚了,那么n維線性空間V的結(jié)構(gòu)自然就清楚了,因?yàn)榫S數(shù)相同的線性空間在一個(gè)同構(gòu)類里面,它們有相同的性質(zhì).同構(gòu)的線性空間有著緊密的聯(lián)系,結(jié)構(gòu)相同,并且由一個(gè)線性空間的性質(zhì)可以推得與之同構(gòu)的另一個(gè)線性空間的很多性質(zhì).這就是研究線性空間結(jié)構(gòu)的第三條途徑——線性空間的同構(gòu).

    4 從商空間的角度

    為了方便研究線性空間V的結(jié)構(gòu),給出V的一個(gè)劃分,即在V中建立一個(gè)二元關(guān)系(是一個(gè)等價(jià)關(guān)系),此時(shí),所有等價(jià)類(V的一個(gè)子集)組成的集合給出了V的一個(gè)劃分,把一個(gè)等價(jià)類看成一個(gè)元素,從而引出商空間的概念.

    定理3表明,只要知道商空間是有限維的,而且知道它的一個(gè)基,那么把基里面的陪集代表生成一個(gè)子空間U,那V就可以做這樣的直和分解,等于子空間W和這個(gè)U的直和.這就體現(xiàn)了用商空間研究線性空間的結(jié)構(gòu),有一個(gè)直和分解,那V的結(jié)構(gòu)就比較清楚了.在這里V和W沒(méi)說(shuō)是有限維的,因此這個(gè)定理中的V和W可以是有限維,也可以是無(wú)限維,但是要求商空間V/W是有限維.

    5 結(jié)語(yǔ)

    本文總結(jié)并分析了研究線性空間結(jié)構(gòu)的不同途徑,這對(duì)線性空間結(jié)構(gòu)的細(xì)化分析具有指導(dǎo)意義.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]丘維聲.高等代數(shù):第三版:上冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,2015.

    [2]丘維聲.高等代數(shù):第三版:下冊(cè)[M].北京:高等教育出版社,2015.

    [3]左連翠.高等代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2017.

    [4]陳小松.高等代數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2014.

    [5]莊瓦金.高等代數(shù)教程[M].北京:科學(xué)出版社,2014.

    猜你喜歡
    角度途徑結(jié)構(gòu)
    《形而上學(xué)》△卷的結(jié)構(gòu)和位置
    構(gòu)造等腰三角形的途徑
    論結(jié)構(gòu)
    換一種角度看待春天
    一個(gè)涉及角度和的幾何不等式鏈的改進(jìn)
    多種途徑理解集合語(yǔ)言
    減少運(yùn)算量的途徑
    角度不同
    37°女人(2017年8期)2017-08-12 11:20:48
    人啊
    滇池(2017年7期)2017-07-18 19:32:42
    論《日出》的結(jié)構(gòu)
    亚洲一级一片aⅴ在线观看| 久久这里有精品视频免费| 老司机影院成人| 亚洲成人手机| 成人国产麻豆网| 国产在线免费精品| 午夜视频国产福利| 日韩亚洲欧美综合| 少妇的逼好多水| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 下体分泌物呈黄色| 综合色丁香网| 搡女人真爽免费视频火全软件| 日日啪夜夜爽| 嫩草影院入口| 草草在线视频免费看| 亚洲在久久综合| 午夜精品国产一区二区电影| 插阴视频在线观看视频| 最近最新中文字幕免费大全7| 欧美日韩综合久久久久久| 99热这里只有精品一区| 99久久综合免费| 一区二区av电影网| 国产熟女欧美一区二区| 一区二区日韩欧美中文字幕 | 久久精品国产亚洲av涩爱| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 毛片一级片免费看久久久久| 国产男人的电影天堂91| 久久免费观看电影| 麻豆成人av视频| 97在线人人人人妻| 热99国产精品久久久久久7| 伦理电影免费视频| 在线观看免费日韩欧美大片 | 亚洲成色77777| 乱码一卡2卡4卡精品| 精品久久久精品久久久| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 制服丝袜香蕉在线| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 精品久久久久久电影网| 日韩av不卡免费在线播放| 91精品三级在线观看| 极品少妇高潮喷水抽搐| 亚洲av不卡在线观看| 成年人午夜在线观看视频| 日日爽夜夜爽网站| 五月玫瑰六月丁香| 国产黄频视频在线观看| 久久久久久久久久成人| 国产一区有黄有色的免费视频| 久久青草综合色| 国产成人91sexporn| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 亚洲精品久久午夜乱码| 国产乱人偷精品视频| 久久国内精品自在自线图片| 各种免费的搞黄视频| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 欧美最新免费一区二区三区| 亚洲精品久久成人aⅴ小说 | 在现免费观看毛片| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图 | av国产精品久久久久影院| 18禁在线播放成人免费| 91久久精品国产一区二区三区| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 国产国语露脸激情在线看| 又大又黄又爽视频免费| 日本av免费视频播放| 日本午夜av视频| av播播在线观看一区| 亚洲av中文av极速乱| 我的老师免费观看完整版| 成人亚洲精品一区在线观看| 九九在线视频观看精品| 亚洲中文av在线| 日本欧美视频一区| 久久精品国产亚洲av天美| 国产亚洲一区二区精品| 美女cb高潮喷水在线观看| 一级二级三级毛片免费看| 国精品久久久久久国模美| 日日爽夜夜爽网站| 免费大片18禁| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 精品少妇久久久久久888优播| 3wmmmm亚洲av在线观看| 3wmmmm亚洲av在线观看| 日韩制服骚丝袜av| 成人国产av品久久久| 欧美成人精品欧美一级黄| 99热6这里只有精品| 在现免费观看毛片| 国产亚洲精品久久久com| 中国国产av一级| 伦理电影免费视频| 青青草视频在线视频观看| 中国国产av一级| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 日本午夜av视频| 蜜臀久久99精品久久宅男| 这个男人来自地球电影免费观看 | 人妻制服诱惑在线中文字幕| 欧美激情极品国产一区二区三区 | 中文字幕免费在线视频6| 国产 精品1| a级毛片黄视频| 最近手机中文字幕大全| 久久久久精品性色| 国产日韩欧美视频二区| 日韩 亚洲 欧美在线| 日本欧美国产在线视频| 精品一区二区三区视频在线| 五月天丁香电影| 啦啦啦啦在线视频资源| 三级国产精品片| 老司机影院成人| 亚洲成人手机| 久久久久网色| 在线免费观看不下载黄p国产| 国产高清三级在线| 亚洲av综合色区一区| 妹子高潮喷水视频| 九九爱精品视频在线观看| 精品久久久噜噜| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 在线观看www视频免费| 国产精品久久久久久精品电影小说| 免费人妻精品一区二区三区视频| 欧美精品亚洲一区二区| 国内精品宾馆在线| 最近手机中文字幕大全| 韩国av在线不卡| 免费看av在线观看网站| 97精品久久久久久久久久精品| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 九色亚洲精品在线播放| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 高清av免费在线| 高清av免费在线| 国产成人精品婷婷| 男女高潮啪啪啪动态图| a级毛片免费高清观看在线播放| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 最近最新中文字幕免费大全7| 国产成人精品婷婷| 我的女老师完整版在线观看| 亚洲精品日韩av片在线观看| 欧美日韩精品成人综合77777| 欧美人与性动交α欧美精品济南到 | 中文字幕免费在线视频6| 亚洲av在线观看美女高潮| tube8黄色片| 亚洲无线观看免费| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线| 日本黄大片高清| 妹子高潮喷水视频| 99热全是精品| 另类精品久久| 日日啪夜夜爽| av视频免费观看在线观看| 国产精品99久久久久久久久| 黄色配什么色好看| 国产精品一区二区在线观看99| 岛国毛片在线播放| 大话2 男鬼变身卡| 国产一区二区三区av在线| 国产精品人妻久久久影院| 欧美性感艳星| 天堂8中文在线网| 亚洲成人手机| a级毛片黄视频| 亚洲精品乱码久久久v下载方式| 国产深夜福利视频在线观看| 国产淫语在线视频| 国产精品.久久久| 这个男人来自地球电影免费观看 | 一区二区三区精品91| 99热网站在线观看| 黑人高潮一二区| 多毛熟女@视频| 久久韩国三级中文字幕| 九色亚洲精品在线播放| 午夜精品国产一区二区电影| 日本欧美视频一区| 国产在线免费精品| 日韩一本色道免费dvd| 精品一区二区免费观看| 中文字幕最新亚洲高清| 国产免费一区二区三区四区乱码| 99久国产av精品国产电影| 飞空精品影院首页| 亚洲av成人精品一区久久| 国产一区二区三区综合在线观看 | 国产精品人妻久久久久久| 国产欧美亚洲国产| 男女边摸边吃奶| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 男女高潮啪啪啪动态图| 性色avwww在线观看| 丰满饥渴人妻一区二区三| 99久久人妻综合| 国产成人一区二区在线| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 免费观看a级毛片全部| 777米奇影视久久| 久久久久久久精品精品| 久久97久久精品| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 涩涩av久久男人的天堂| 亚洲性久久影院| www.av在线官网国产| 中文天堂在线官网| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 各种免费的搞黄视频| 亚洲高清免费不卡视频| 建设人人有责人人尽责人人享有的| 亚洲精品国产av蜜桃| 成人午夜精彩视频在线观看| 最近中文字幕2019免费版| 国产黄色免费在线视频| 国产精品蜜桃在线观看| 国产色爽女视频免费观看| 国产伦理片在线播放av一区| 日本黄大片高清| 十分钟在线观看高清视频www| 成人漫画全彩无遮挡| 美女cb高潮喷水在线观看| 国产乱人偷精品视频| 国产av精品麻豆| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕 | 九草在线视频观看| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 午夜激情久久久久久久| 好男人视频免费观看在线| 18禁动态无遮挡网站| 亚洲欧美成人精品一区二区| 在线看a的网站| 成人国语在线视频| 美女内射精品一级片tv| 午夜精品国产一区二区电影| av视频免费观看在线观看| 我的老师免费观看完整版| 桃花免费在线播放| 91精品国产国语对白视频| 天堂俺去俺来也www色官网| 久久毛片免费看一区二区三区| 成人亚洲精品一区在线观看| 日韩中字成人| 校园人妻丝袜中文字幕| a级毛色黄片| 美女中出高潮动态图| 国产成人精品久久久久久| 爱豆传媒免费全集在线观看| 国产在视频线精品| 久久久久久久国产电影| 国产在线免费精品| 国产黄频视频在线观看| 国产视频首页在线观看| 九色亚洲精品在线播放| 在线观看免费视频网站a站| 亚洲国产精品一区二区三区在线| 五月伊人婷婷丁香| 久久影院123| 麻豆乱淫一区二区| 80岁老熟妇乱子伦牲交| 两个人的视频大全免费| xxx大片免费视频| 国模一区二区三区四区视频| 午夜精品国产一区二区电影| 不卡视频在线观看欧美| 一区二区三区精品91| 久久综合国产亚洲精品| 99热全是精品| 少妇的逼水好多| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 免费黄网站久久成人精品| 日韩av不卡免费在线播放| 性色avwww在线观看| a级片在线免费高清观看视频| 免费观看性生交大片5| 久久久久久久精品精品| a 毛片基地| 日韩在线高清观看一区二区三区| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 婷婷成人精品国产| 亚洲,欧美,日韩| 观看av在线不卡| 丝袜美足系列| 国产色爽女视频免费观看| 满18在线观看网站| 久久人人爽人人爽人人片va| 免费观看的影片在线观看| 精品亚洲成a人片在线观看| 人体艺术视频欧美日本| xxx大片免费视频| 亚洲国产色片| 日韩电影二区| 天天操日日干夜夜撸| 男女高潮啪啪啪动态图| 人妻系列 视频| 国产精品不卡视频一区二区| 免费人妻精品一区二区三区视频| 一级a做视频免费观看| 午夜激情福利司机影院| 日日摸夜夜添夜夜添av毛片| 成人手机av| 人人妻人人添人人爽欧美一区卜| 午夜福利视频精品| 中文字幕免费在线视频6| videosex国产| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 久久婷婷青草| 国产一区二区三区av在线| 日日爽夜夜爽网站| 欧美成人午夜免费资源| 成人免费观看视频高清| 日韩大片免费观看网站| 久久久久网色| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 交换朋友夫妻互换小说| 搡老乐熟女国产| 18禁动态无遮挡网站| 国产男女超爽视频在线观看| 97超视频在线观看视频| av不卡在线播放| 蜜桃在线观看..| 婷婷色综合大香蕉| 午夜91福利影院| 亚洲第一av免费看| 久久久亚洲精品成人影院| 国产精品女同一区二区软件| 午夜精品国产一区二区电影| 在线天堂最新版资源| 国产成人精品婷婷| 欧美精品亚洲一区二区| 中国美白少妇内射xxxbb| 国产精品成人在线| 最近中文字幕高清免费大全6| 少妇熟女欧美另类| 在线精品无人区一区二区三| 成人黄色视频免费在线看| 国产成人a∨麻豆精品| 中文字幕精品免费在线观看视频 | 在线观看www视频免费| 亚洲性久久影院| 91aial.com中文字幕在线观看| 天美传媒精品一区二区| 纯流量卡能插随身wifi吗| 在线天堂最新版资源| 久久久国产一区二区| 亚洲五月色婷婷综合| 国产不卡av网站在线观看| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 国产高清有码在线观看视频| 中文字幕免费在线视频6| 中文字幕人妻丝袜制服| 免费av中文字幕在线| 蜜桃国产av成人99| 久久久久国产网址| 搡女人真爽免费视频火全软件| av在线播放精品| 亚洲美女搞黄在线观看| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 少妇精品久久久久久久| 日本-黄色视频高清免费观看| 在线观看三级黄色| 国产日韩欧美视频二区| 免费大片黄手机在线观看| 日日撸夜夜添| 97精品久久久久久久久久精品| 久久久欧美国产精品| 日本午夜av视频| av不卡在线播放| 国产探花极品一区二区| 黑人高潮一二区| 另类精品久久| 久久精品国产亚洲av涩爱| 少妇人妻 视频| 热99国产精品久久久久久7| 国产又色又爽无遮挡免| 观看av在线不卡| 亚洲综合精品二区| 日韩一区二区视频免费看| 日本与韩国留学比较| 好男人视频免费观看在线| 久久毛片免费看一区二区三区| 午夜日本视频在线| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 亚洲少妇的诱惑av| 国产女主播在线喷水免费视频网站| 色哟哟·www| 国产日韩欧美视频二区| 国产探花极品一区二区| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 人妻少妇偷人精品九色| 国产av一区二区精品久久| 久久精品国产自在天天线| av不卡在线播放| av有码第一页| 一级a做视频免费观看| 内地一区二区视频在线| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 午夜久久久在线观看| 午夜激情av网站| 91精品三级在线观看| 十分钟在线观看高清视频www| 亚洲四区av| 欧美人与善性xxx| 爱豆传媒免费全集在线观看| 国产日韩欧美视频二区| 成人亚洲欧美一区二区av| 97在线视频观看| 国产日韩欧美亚洲二区| 亚洲av中文av极速乱| 精品卡一卡二卡四卡免费| 少妇被粗大的猛进出69影院 | 性高湖久久久久久久久免费观看| 日本vs欧美在线观看视频| 少妇人妻精品综合一区二区| 亚洲国产日韩一区二区| 黑人高潮一二区| 蜜桃国产av成人99| 欧美xxⅹ黑人| 午夜免费鲁丝| 成年av动漫网址| 亚洲av欧美aⅴ国产| 久久久久久久精品精品| 欧美精品高潮呻吟av久久| 久久99精品国语久久久| 国产在视频线精品| 亚洲性久久影院| 精品久久久久久电影网| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 国产男女超爽视频在线观看| 男女边吃奶边做爰视频| 亚洲av不卡在线观看| 伊人亚洲综合成人网| 免费观看无遮挡的男女| 男人添女人高潮全过程视频| 国产黄频视频在线观看| 免费观看的影片在线观看| 亚洲精品美女久久av网站| av又黄又爽大尺度在线免费看| 99久国产av精品国产电影| 亚洲久久久国产精品| 97超视频在线观看视频| 性色av一级| 三级国产精品欧美在线观看| 久久ye,这里只有精品| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 欧美日本中文国产一区发布| 亚洲国产欧美在线一区| 欧美 日韩 精品 国产| 91精品国产国语对白视频| 亚洲精品456在线播放app| 久久久久久久久久人人人人人人| 亚洲av.av天堂| 亚洲国产精品成人久久小说| 亚洲av二区三区四区| 综合色丁香网| 少妇被粗大的猛进出69影院 | 国产精品不卡视频一区二区| 搡女人真爽免费视频火全软件| 99久国产av精品国产电影| 色94色欧美一区二区| 国产精品女同一区二区软件| 国产日韩欧美在线精品| 日韩中字成人| 少妇 在线观看| 大陆偷拍与自拍| 亚洲色图综合在线观看| 欧美变态另类bdsm刘玥| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 秋霞在线观看毛片| 亚洲欧美精品自产自拍| 免费观看性生交大片5| 免费看不卡的av| 大码成人一级视频| 99久久人妻综合| 观看av在线不卡| 韩国av在线不卡| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 国产精品一区二区在线观看99| 美女主播在线视频| 久久国内精品自在自线图片| 国产精品.久久久| 精品少妇久久久久久888优播| 欧美一级a爱片免费观看看| 少妇人妻 视频| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 亚洲精品自拍成人| 亚洲国产最新在线播放| 日本黄色日本黄色录像| 伦理电影免费视频| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 99热国产这里只有精品6| 久久久精品区二区三区| 91午夜精品亚洲一区二区三区| 国产成人免费无遮挡视频| 十八禁网站网址无遮挡| 搡老乐熟女国产| 午夜免费男女啪啪视频观看| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 亚洲人成网站在线播| 69精品国产乱码久久久| 久久精品夜色国产| 寂寞人妻少妇视频99o| 免费观看无遮挡的男女| 久久这里有精品视频免费| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 一个人免费看片子| 精品国产乱码久久久久久小说| 水蜜桃什么品种好| 日本-黄色视频高清免费观看| 男男h啪啪无遮挡| 精品少妇黑人巨大在线播放| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久 | 91久久精品电影网| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 有码 亚洲区| 国产免费又黄又爽又色| 97超视频在线观看视频| 三上悠亚av全集在线观看| 国产av码专区亚洲av| 久久韩国三级中文字幕| 看免费成人av毛片| 黄片播放在线免费| 一本一本久久a久久精品综合妖精 国产伦在线观看视频一区 | 嫩草影院入口| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 精品久久国产蜜桃| 亚洲丝袜综合中文字幕| 国产成人精品婷婷| av在线老鸭窝| 在线观看三级黄色| 亚洲三级黄色毛片| 777米奇影视久久| 亚洲三级黄色毛片| 五月玫瑰六月丁香| 日本欧美视频一区| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 九九爱精品视频在线观看| 亚洲欧洲国产日韩| 纯流量卡能插随身wifi吗| 3wmmmm亚洲av在线观看| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 久久99蜜桃精品久久| 少妇 在线观看| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 少妇人妻精品综合一区二区| 婷婷色麻豆天堂久久| 韩国av在线不卡| 亚洲精品,欧美精品| 另类精品久久| 日本午夜av视频| 欧美成人午夜免费资源| 少妇被粗大猛烈的视频| 亚洲av不卡在线观看| 极品人妻少妇av视频| 国产亚洲精品第一综合不卡 | 哪个播放器可以免费观看大片| 99热6这里只有精品| 蜜臀久久99精品久久宅男| 国产亚洲一区二区精品| 午夜av观看不卡| 久久久久久久大尺度免费视频| 日韩av在线免费看完整版不卡| av国产久精品久网站免费入址| 国产毛片在线视频| 日日爽夜夜爽网站| 夫妻性生交免费视频一级片| 人妻人人澡人人爽人人| 欧美三级亚洲精品| 美女国产高潮福利片在线看| 日韩人妻高清精品专区| 青春草国产在线视频| 一区二区三区精品91| 女的被弄到高潮叫床怎么办| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 热re99久久精品国产66热6| 国产极品粉嫩免费观看在线 | 国产日韩欧美在线精品| 我的女老师完整版在线观看| tube8黄色片| 国产精品三级大全| av视频免费观看在线观看| 一级二级三级毛片免费看| 久久鲁丝午夜福利片| 成人无遮挡网站| 国产精品久久久久久久电影| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 美女大奶头黄色视频| 日韩一区二区三区影片| 欧美人与性动交α欧美精品济南到 | 99热6这里只有精品| 久久女婷五月综合色啪小说| 午夜老司机福利剧场| 国产成人精品久久久久久| 精品一区二区三区视频在线| 欧美亚洲 丝袜 人妻 在线| 特大巨黑吊av在线直播| 99热网站在线观看| 夜夜爽夜夜爽视频| 黑人猛操日本美女一级片| 国产精品99久久久久久久久| 国产成人a∨麻豆精品| 在线天堂最新版资源|