基于Gamma和混合Copula的元動作單元性能可靠性分析

張根?！埗w　冉琰　應(yīng)廣祺

摘 ? 要：針對機電產(chǎn)品（系統(tǒng)）性能可靠性建模和分析困難的問題，提出一種基于非線性Gamma隨機過程和混合Copula函數(shù)的元動作單元性能可靠性分析通用模型. 分析性能退化過程特點建立產(chǎn)品性能退化與其實現(xiàn)的特定功能之間的聯(lián)系，利用“功能（Function）-運動（Motion）-動作（Action）”的功能運動分解方法將機電產(chǎn)品分解成一系列最小運動單元——元動作單元，將機電產(chǎn)品性能可靠性問題轉(zhuǎn)化為實現(xiàn)特定功能的元動作單元性能可靠性問題. 非線性Gamma隨機退化過程描述單元內(nèi)關(guān)鍵零件磨損的退化過程，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合Copula函數(shù)考慮元動作單元內(nèi)部零件和結(jié)構(gòu)的依賴耦合關(guān)系，提出一種元動作單元的性能可靠性分析方法. 為了更準(zhǔn)確地評估元動作單元的性能可靠性，采用描述相關(guān)關(guān)系更優(yōu)的混合Copula函數(shù)建立元動作單元的性能可靠性分析模型，并利用改進(jìn)的遺傳算法，在適應(yīng)度函數(shù)中加入懲罰項，實現(xiàn)混合Copula函數(shù)的最優(yōu)參數(shù)估計，最后結(jié)合串聯(lián)系統(tǒng)概念得到考慮內(nèi)部結(jié)構(gòu)依賴耦合的元動作單元的性能可靠度表達(dá)式. 以某托盤交換架分解得到的不同元動作單元為例進(jìn)行分析，并通過實驗對比驗證了該模型的可行性和有效性.

關(guān)鍵詞：機電產(chǎn)品;元動作單元;可靠性分析;隨機過程;Copula函數(shù)

中圖分類號：TB114.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Performance Reliability Analysis of Meta-action Unit Based

on Gamma Process and Hybrid Copula Function

ZHANG Genbao，ZHANG Dingfei，RAN Yan，YING Guangqi

（College of Mechanical Engineering，Chongqing University，Chongqing 400044，China）

Abstract：Motivated by the difficulty of the electromechanical product （system） performance reliability analysis and modeling， an general analysis method is developed for meta action unit performance reliability based on hybrid copula. The characteristics of performance degradation process are analyzed to establish the relationship between the product performance degradation and the realized specific functions. Using the functional motion decomposition method of "Function-Motion-Action"， the electromechanical products are decomposed into a series of meta action units via linking functions with their performance. The components performance reliability analysis model is constructed that we consider it obeys the nonlinear gamma random degradation process is used to describe the degradation process of key parts in the unit. Considering the coupling relation of meta action unit internal parts and structure， a performance reliability model of the meta action unit is constructed based on the hybrid copula function. In order to more accurately evaluate the performance reliability of meta-action unit， ?the optimal Copula Functions having is selected to develop the performance reliability model of meta-action unit. The unknown parameter estimation of hybrid copula function is realized by improved genetic algorithm， which adds penalty term to fitness function. Combining the hybrid copula mathematical expression and the concept of a series system， the performance reliability expression of meta action unit considering the coupling dependence is obtained. The feasibility and effectiveness of the method are verified by an example.

Key words：electromechanical products;meta action unit;reliability analysis;random process;copula function

隨著高新技術(shù)不斷發(fā)展和應(yīng)用，產(chǎn)品（或系統(tǒng)）的高度集成化、高度智能化和復(fù)雜性不斷提高，并廣泛應(yīng)用于航空航天、核電廠設(shè)備和大型工業(yè)機器當(dāng)中，復(fù)雜機電產(chǎn)品的可靠性研究逐漸成為可靠性工程領(lǐng)域的關(guān)鍵問題[1-2]. 性能可靠性研究是產(chǎn)品質(zhì)量特性研究的一個重要內(nèi)容，可靠性的優(yōu)劣直接決定了產(chǎn)品的性能和市場接受程度，因此利用科學(xué)合理的評估方法進(jìn)行可靠性分析在很大程度上可以有效指導(dǎo)產(chǎn)品的設(shè)計、開發(fā)、制造和維護(hù)策略優(yōu)化等，從而保障和提高產(chǎn)品質(zhì)量. 針對故障信息、性能退化數(shù)據(jù)和工藝數(shù)據(jù)等的可靠性分析是如今可靠性研究的主要研究方向[3]. 基于性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性分析是目前廣泛使用的方法之一. 產(chǎn)品性能在退化過程中包含著大量與壽命有關(guān)的關(guān)鍵信息，所以從產(chǎn)品性能指標(biāo)變化著手，對性能指標(biāo)進(jìn)行連續(xù)測量得到相應(yīng)的退化數(shù)據(jù)，就可對產(chǎn)品性能的退化過程進(jìn)行分析，進(jìn)而評估產(chǎn)品可靠性.

目前，國內(nèi)外學(xué)者針對產(chǎn)品的性能退化過程和可靠性分析方面進(jìn)行了大量研究工作. 在產(chǎn)品性能退化方面，Kim[4]等為了解決產(chǎn)品實時可靠性預(yù)測問題，于1992年首次提出了性能可靠性的概念. Wiener過程由于其簡單的結(jié)構(gòu)和直觀的數(shù)學(xué)表達(dá)式而受到廣泛應(yīng)用，已然成為性能退化建模中最為廣泛的一種模型. 如王璽[5]等針對航空發(fā)動機性能衰減過程具有的非線性和不確定性特點，利用非線性Wiener過程建立同時考慮二者特點的性能衰減模型，進(jìn)而推導(dǎo)剩余壽命分布. 張雄健[6]等利用廣義Wiener過程，提出了一種雙時間尺度函數(shù)模型來描述航空航天設(shè)備常用的組件激光器的退化過程. Zhang[7]等針對復(fù)雜系統(tǒng)退化過程中的非線性和隨機性，提出了一個與年齡和狀態(tài)有關(guān)的通用非線性退化模型，利用具有與年齡和狀態(tài)相關(guān)的非線性漂移和揮發(fā)性系數(shù)的擴(kuò)散過程來表征軸承退化過程的動態(tài)性和非線性. 其它性能退化模型也有大量的研究，如Wang[8]等假設(shè)一個產(chǎn)品具有兩種性能特征，兩種性能特征相互依賴，依賴關(guān)系通過一個Copula函數(shù)來表征，同時每種性能特征的退化遵循非平穩(wěn)的伽馬退化過程，利用貝葉斯方法實時更新隨機效應(yīng)來描述性能退化過程. Duan[9]等針對設(shè)備退化數(shù)據(jù)實際組成特點，提出一種面向不同類型小樣本數(shù)據(jù)的可靠性評估方法，引入最小二乘支持向量機（LS-SVM）回歸算法分析設(shè)備性能退化過程，實現(xiàn)系統(tǒng)性能聯(lián)合可靠性的計算，并將其應(yīng)用于特定類型的CNC機床. 在可靠性研究方面，主要涉及可靠性分析方法與建模. 周偉[10]等針對元動作單元之間的相互作用所引起的性能依賴會給多態(tài)系統(tǒng)可靠性造成影響，給出了非齊次馬爾可夫模型，分析并確定了元動作單元的多狀態(tài)演變過程以及多態(tài)單元處于各狀態(tài)的概率，利用向量通用發(fā)生函數(shù)建立了可靠性分析模型. 鞠萍華[11]等為解決可靠性研究中分析數(shù)據(jù)不足的問題，提出一種基于模糊物元法的相似元動作單元提取方法，利用相似元動作單元為元動作單元的可靠性分析提供充分的壽命失效數(shù)據(jù)，最后通過三參數(shù)威布爾分布進(jìn)行建模和可靠性分析. 張根保[12]等在元動作理論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出元動作鏈理論，將產(chǎn)品微觀失效原因和運行信息納入考慮，構(gòu)建宏觀系統(tǒng)可靠度與微觀元動作運行失效之間的聯(lián)系，準(zhǔn)確應(yīng)用于機床的故障模式分析，消除了傳統(tǒng)可靠性建模過程不確定性問題. Chai[13]等針對機械零件疲勞可靠性分析中存在樣本計算量大且忽略概率密度函數(shù)信息的問題，利用Kriging模型構(gòu)建了學(xué)習(xí)函數(shù)，結(jié)合蒙特卡洛模擬，開發(fā)了一種新的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法. An[14]等針對機械系統(tǒng)中存在復(fù)雜相互關(guān)系的問題，利用Copula函數(shù)來解決相關(guān)性問題，詳細(xì)研究并建立了串并聯(lián)機械系統(tǒng)的可靠性模型，得到它們的可靠性函數(shù). 以上研究對復(fù)雜機電產(chǎn)品的性能退化和可靠性建模、評估、預(yù)測起到了重要作用.

然而，復(fù)雜機電產(chǎn)品是一個多子系統(tǒng)交叉耦合的整體，其性能退化和可靠性問題涉及內(nèi)部眾多子系統(tǒng)及其零部件和其它影響因素，導(dǎo)致性能退化建模和可靠性分析過程的計算量和復(fù)雜程度大大提升，建模工作難以實施[15]. 機電產(chǎn)品的性能好壞一般體現(xiàn)在其是否能實現(xiàn)所要完成的某一特定功能，因此對實現(xiàn)某一特定功能的元動作單元進(jìn)行退化建模和可靠性分析，既可以有針對性地對機電產(chǎn)品實施模塊化建模，同時也可以降低分析和計算的復(fù)雜程度.

為此，本文分析機電產(chǎn)品性能退化過程特點時將其性能與特定功能聯(lián)系起來，簡化其性能退化和可靠性建模分析過程，以實現(xiàn)特定功能的元動作單元的退化過程為分析對象，提出元動作單元的性能可靠性分析通用模型及其建立方法，并以某加工中心的托盤交換架為例，驗證所提出的性能可靠性分析通用模型的可行性和有效性.

1 ? 元動作單元和非線性Gamma隨機過程

1.1 ? 性能退化與功能的關(guān)系

系統(tǒng)（產(chǎn)品）的性能退化是指性能參數(shù)隨時間發(fā)生的物理或化學(xué)變化，性能退化一般過程如圖1所示.

性能退化到閾值Xfc后，則認(rèn)為系統(tǒng)失效，功能無法實現(xiàn). 即在性能閾值內(nèi)，屬于性能問題，超過閾值則屬于功能問題. 復(fù)雜機電產(chǎn)品存在多種子系統(tǒng)耦合現(xiàn)象，單純的進(jìn)行性能可靠性分析固然是困難的. 然而產(chǎn)品是以實現(xiàn)其各種功能為目的而存在的，不同功能對應(yīng)不同的子系統(tǒng)去完成，因此，我們可以將產(chǎn)品性能可靠性研究問題轉(zhuǎn)化為研究實現(xiàn)特定功能的對象的性能可靠性，進(jìn)而簡化性能可靠性建模和分析過程.

1.2 ? 元動作和元動作單元

對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的產(chǎn)品而言，根據(jù)文獻(xiàn)[16-17]的研究方法，可以利用功能（Function）-運動（Motion）-動作（Action）的功能運動層次分解方法將其功能映射為部件的運動，部件的運動又可以繼續(xù)分解為實現(xiàn)該運動所需的動作，即實現(xiàn)產(chǎn)品功能的最小運動單元——元動作（Meta-Action，MA），F(xiàn)MA分解使得可靠性建模和分析過程得到簡化.

FMA分解過程可以總結(jié)為：首先研究系統(tǒng)要實現(xiàn)的功能，然后將功能分解為各個子系統(tǒng)（部件）的運動，最后將子系統(tǒng)的運動再分解成動作，即為元動作，如圖2所示.

元動作單元的所有相關(guān)零件（動力輸入件、動力輸出件、中間件、支撐件、緊固件）按照裝配關(guān)系構(gòu)成的整體稱為元動作單元. 元動作單元包括移動元動作單元和轉(zhuǎn)動元動作單元兩類，移動元動作單元實現(xiàn)最基本的移動功能（直線移動），如油缸中活塞移動單元、齒條移動單元等;轉(zhuǎn)動類單元實現(xiàn)最基本的轉(zhuǎn)動功能（定軸轉(zhuǎn)動），如齒輪轉(zhuǎn)動單元、絲杠轉(zhuǎn)動單元等. 元動作鏈?zhǔn)侵赴凑漳撤N運動流組合在一起的、用以完成某一預(yù)定運動的元動作序列. 其建立對象是一個單一的運動傳遞關(guān)系，如圖2中實現(xiàn)運動M221的動作層A中的元動作M2211向M221t傳遞的路徑.

1.3 ? 單個零件性能退化及非線性Gamma隨機過程

往往一件產(chǎn)品可以分解得到多種元動作單元，從而將產(chǎn)品的性能退化映射為元動作單元的性能退化. 然而并不是所有元動作單元都會產(chǎn)生性能退化趨勢，對于存在性能退化趨勢的元動作單元而言，主要考慮其內(nèi)部單個零件受到磨損、腐蝕、疲勞、老化等形式的物理劣化，其性能退化量不斷累積. 然而維納過程并不能很好地描述磨損和累積損傷，因此我們使用具有單調(diào)性質(zhì)的Gamma過程建立隨機退化模型來描述單元中的零件性能退化過程[18]，趨勢如圖1所示.

單個零件的退化也是一個多維性能指標(biāo)共同作用表征的結(jié)果，因此在分析之前，給出單個零件的多維性能退化指標(biāo)轉(zhuǎn)化為一維的性能退化指標(biāo)的數(shù)據(jù)融合公式[19]，即性能退化量. 融合公式為

式中：xi（t）為第 i個零件的性能退化量;xik（t）為第 i個零件在 t時刻第 k維性能指標(biāo)退化值;xikf為零件 i的第k維性能指標(biāo)獨立發(fā)生失效時的退化值;ikf為零件i的k維性能指標(biāo)獨立發(fā)生失效時的退化平均值.

非線性Gamma過程對磨損過程具有良好的分析能力，假設(shè)單個零件的性能退化服從非線性Gamma分布，記隨機變量服從形狀參數(shù)為α > 0，尺度參數(shù)β > 0的非線性Gamma分布，則其概率密度函數(shù)為：

式中：fG（x（t）|α，β為伽馬概率密度函數(shù)，α和β分別為分布的形狀和尺度參數(shù)，Γ（α）=xα-1 exp（-x）dx為Gamma函數(shù).

上述Gamma過程具有如下性質(zhì)：

1）對于任意時刻，x（t+Δt）-x（t）～Ga[αΔt，β]成立;

2）退化速率是平穩(wěn)的，x（t）具有獨立的增量;

3）在t=0時，x（t）的退化被認(rèn)為是零.

形狀參數(shù)α描述的是外部環(huán)境等因素對元動作單元性能水平的影響，而尺度參數(shù)β描述的是隨機性因素（振動、沖擊）對元動作單元性能水平的影響. 為了方便研究，本文在建立退化模型時不對隨機因素的影響進(jìn)行考慮，因此，我們假設(shè)形狀參數(shù)與時間相關(guān)，即α = at. 則x（t）在時間t處的均值和方差可以分別表示為：

則性能退化量x（t）的概率密度函數(shù)表示為：

fG（x（t）|at，β）=β at（x（t））αt-1 exp（-βx（t））/Γ（αt）

（5）

x（t）的累積分布fG（x（t）|at，β）可以使用不完整的伽瑪函數(shù)進(jìn)行評估. 根據(jù)圖1中單個零件的失效時間T為x（t）首次達(dá)到或超過Xfc的時間，即

1.4 ? 模型參數(shù)的點估計

本文采用矩估計法對非線性Gamma隨機過程模型進(jìn)行參數(shù)估計. 復(fù)雜產(chǎn)品往往具有高可靠和長壽命的特點. 因此，實際中一般采用離散、長間隔且非周期性的狀態(tài)監(jiān)測方法，造成單元中每個零件的監(jiān)測次數(shù)非常有限. 為了能獲取足夠的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計，我們假設(shè)同類單元內(nèi)相同類型零件表現(xiàn)出相似的性能退化機理. 因此，可利用多個同類單元中同類型零件的性能退化數(shù)據(jù)用于參數(shù)估計.

假設(shè)系統(tǒng)有N個同類型零件，在時刻t1，t2，…，tm分別對各零件進(jìn)行m次監(jiān)測，記對第i個同類零件進(jìn)行第j次監(jiān)測的時刻為ti， j，監(jiān)測值轉(zhuǎn)化后的性能退化量為X（ti， j），得到第i個同類型零件的性能退化量矩陣為：

利用數(shù)值計算方法求解式（12）和（16）構(gòu)成的方程組，即可得到參數(shù)a和β的估計值.

2 ? 基于Copula函數(shù)的元動作單元性能可靠

性建模

2.1 ? 元動作單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其性能水平

在復(fù)雜產(chǎn)品中，任何一個單獨的零件都不能孤立地完成一個動作，即單個零件本身是沒有功能的. 任何一個元動作的實現(xiàn)都需要其他零件的協(xié)助，即一個元動作單元完成其動作是由其內(nèi)部所有零件共同完成的，這些零件共同構(gòu)成一個最基本的結(jié)構(gòu)單元，共同實現(xiàn)一個元動作. 根據(jù)元動作單元的結(jié)構(gòu)組成要素及裝配關(guān)系，給出其概念示意圖及內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系，如圖 3所示.

組成元動作單元的五大要素定義分別如下[20]：

輸入件：為元動作件提供運動和動力或接收上游元動作單元輸出的運動和動力的零件.

輸出件：元動作單元中，向下游元動作單元輸出運動和動力的零件.

中間件：元動作單元中，起傳遞運動和動力作用，并使輸入件和輸出件保持正確位置的零件.

緊固件：元動作單元中，起固定、防松和密封作用、或用來連接多個零件、且相互間沒有相對運動的零件.

支撐件：元動作單元中，用來作為其他零件安裝基準(zhǔn)的零件.

元動作單元的性能水平定義為完成某一預(yù)定動作的元動作單元在服役過程中內(nèi)部結(jié)構(gòu)零件發(fā)生依賴耦合后所表征的整體性能退化量. 元動作單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的依賴耦合關(guān)系，其性能退化量一定存在著復(fù)雜的非線性變化. 假設(shè)一個元動作單元含有m個必要零件，y1（t），y2（t），…，ym（t）表示t時刻內(nèi)部各零件的性能退化量，F(xiàn)1（y1），F(xiàn)2（y2），…，F(xiàn)m（ym）表示對應(yīng)零件的累積失效分布函數(shù). 定義元動作單元性能的累積分布函數(shù)FMA，他們應(yīng)具有如下關(guān)系，即存在某一函數(shù)關(guān)系使得下式成立.

FMA = f（F1（y1），F(xiàn)2（y2），…，F(xiàn)m（ym）） ? ?（17）

其中f（·）是未知的函數(shù)關(guān)系.

2.2 ? Copula函數(shù)

設(shè)有隨機變量X = （x1，x2，…，xn），其聯(lián)合分布F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)n（xn），且當(dāng)F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)n（xn）連續(xù)時，對于n維隨機變量存在唯一的n維Copula函數(shù)，使得下式成立

F=（x1，x2，…，xn）=C（F1（x1），F(xiàn)2（x2），…，F(xiàn)n（xn））

（18）

可以看出，n維隨機變量x的聯(lián)合分布函數(shù)可以用一個Copula函數(shù)表示，其中所有的一維邊際分布函數(shù)Fi（xi）都是其變量. 也就是說，不同隨機變量的相關(guān)關(guān)系，根據(jù)它們的邊際分布函數(shù)，可以通過一個Copula函數(shù)來體現(xiàn).

Copula 函數(shù)包括正態(tài) Copula 函數(shù)、T-Copula 函數(shù)以及阿基米德Copula函數(shù). 其中阿基米德Copula函數(shù)包含常用的Gumbel-Copula、Clayton-Copula、Frank-Copula三種函數(shù).

2.3 ? 基于Copula的元動作單元可靠性模型

Copula函數(shù)可用于表征一組隨機變量與邊際分布函數(shù)的依存關(guān)系，在簡化具有依存關(guān)系結(jié)構(gòu)的聯(lián)合概率分布的分配方面具有很好的表現(xiàn)[21]. ?因此本文通過Copula函數(shù)考慮元動作單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)的依賴耦合關(guān)系. 類似地，在元動作單元的性能可靠性分析中，包含相同隨機退化過程的不同類型零件之間的依賴耦合關(guān)系也可以通過Copula函數(shù)來體現(xiàn). 在本文研究中，Copula函數(shù)中討論的隨機變量xi（或時間t的隨機過程xi（t））表示元動作單元內(nèi)部第i個類型零件的性能退化量（或第i個類型零件的連續(xù)磨損，疲勞等）或者是累積失效分布函數(shù).

這里引入串聯(lián)系統(tǒng)的概念[22]，當(dāng)系統(tǒng)中任一構(gòu)件失效而造成系統(tǒng)失效則為串聯(lián)系統(tǒng)，反之則為并聯(lián)系統(tǒng). 元動作單元內(nèi)部只要存在一個必要零件發(fā)生失效，則認(rèn)為元動作單元功能不能正常發(fā)揮，因此本文認(rèn)為元動作單元屬于串聯(lián)系統(tǒng)的一種形式.

假設(shè)元動作單元內(nèi)第i個必要零件的累積分布函數(shù)為FGi，則元動作單元的累積失效分布函數(shù)為

式中：FMA是元動作單元的累積失效分布函數(shù);C2（·），C3（·），…，Cm（·）是Copula函數(shù)，表示元動作單元內(nèi)部同時有（2，3，…，m）個零件發(fā)生依賴耦合退化.

則考慮依賴耦合的元動作單元可靠度為

RMA = 1 - FMA ? ? ? ? ? ?（20）

3 ? 基于混合Copula函數(shù)的元動作單元性能

可靠性建模

3.1 ? 混合Copula函數(shù)

元動作單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間依賴關(guān)系造成其性能退化量存在著更為復(fù)雜的非線性變化，單一的Copula函數(shù)只能反映某一種特定的非線性變量之間的相關(guān)性或非對稱結(jié)構(gòu). 研究表明混合Copula函數(shù)比單一的Copula函數(shù)更能準(zhǔn)確的反映非線性變量之間的相關(guān)性與非對稱結(jié)構(gòu)[23].

混合Copula函數(shù)是利用多種 Copula函數(shù)乘以權(quán)重系數(shù)進(jìn)行疊加，因此能夠更加全面的表征隨機變量的分布特性. 其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中：C1（·θ1）、C2（·θ2）、C3（·θ3）分別為提取出的3種最優(yōu)Copula函數(shù);θ1、θ2、θ3分別為對應(yīng)的相關(guān)參數(shù)，反映了各變量間的相關(guān)程度;εi為權(quán)重系數(shù)，描述了各變量間的相關(guān)模式，且有：ε1 + ε2 + … + εn = 1，可以通過改變權(quán)重系數(shù)εi，使得混合Copula 函數(shù)能夠更好地表征變量之間的對稱性與非對稱性結(jié)構(gòu).

3.2 ? 混合Copula函數(shù)相關(guān)性度量指標(biāo)及最優(yōu)選擇

我們選擇應(yīng)用較為廣泛的二元Copula函數(shù)進(jìn)行簡單特征分析并結(jié)合其他模型判斷準(zhǔn)則，給出三步方法提取出幾種最優(yōu)的Copula函數(shù)構(gòu)造混合Copula函數(shù)用于元動作單元的性能可靠性建模.

假設(shè)二元Copula函數(shù)為C=C（m，n），m=F（x1），n =F（x2），相關(guān)性度量指標(biāo)及函數(shù)選擇具體方法如下：

1）散點圖法：通過繪制任意兩組原始數(shù)據(jù)的散點圖，觀察退化數(shù)據(jù)是否成對稱分布，以及上尾部和下尾部的變化情況. 同時對比幾種常用Copula函數(shù)的特征可以大致選擇一種或幾種合適的Copula函數(shù).

上下尾部的變化情況可由尾部相關(guān)系數(shù)進(jìn)行度量. 假設(shè)任意兩個隨機變量x1、x2對應(yīng)的邊緣分布函數(shù)分別為m=F（x1）和n=F（x2），兩隨機變量的上下尾部相關(guān)系數(shù)分別定義為[24]：

λup = limm→1-P [x2>G-1（m）|x1>F -1（m）] ? ?（23）

λlow = limm→0+P [x2≤G-1（m）|x1>F -1（m）] ? （24）

若λup∈（0，1]，則稱兩隨機變量x1、x2為上尾部相關(guān)，若λup = 0，則稱為上尾部獨立;反之，λlow∈（0，1]，則稱兩隨機變量x1、x2為上尾部相關(guān)，若λlow = 0，則稱為下尾部獨立.

根據(jù)二元Copula函數(shù)的性質(zhì)，尾部相關(guān)系數(shù)可以通過Copula函數(shù)進(jìn)行表示.

2）秩相關(guān)系數(shù)檢驗法：原始退化量之間的相關(guān)系數(shù)，并不能很好地表現(xiàn)單調(diào)不變性，因此選用Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ來彌補相關(guān)系數(shù)的不足，再通過與常用Copula函數(shù)的Kendall秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對比，選擇更接近的Copula函數(shù).

Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ與各Copula函數(shù)之間存在一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可通過散點圖的繪制分析得出或計算Copula函數(shù)參數(shù)得到，轉(zhuǎn)換關(guān)系如表1所示.

3）赤池信息準(zhǔn)則（AIC）：AIC準(zhǔn)則適用于通過極大似然估計法得到的參數(shù)估計模型.

AIC = -2log（MLE） + 2k ? ? ?（26）

式中：k表示Copula模型中參數(shù)個數(shù)，log（MLE）是整體對數(shù)似然函數(shù)值. 如果計算的AIC值越小，說明模型的擬合程度更高，并且在似然函數(shù)差異性不顯著時，模型的復(fù)雜度越低.

若對于統(tǒng)計樣本是離散型的，則可以將赤池信息準(zhǔn)則進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到式（28）.

AIC = 2k + nln（RSS/n） ? ? ? ? ?（27）

式中：n代表觀察樣本數(shù)量，RSS為剩余平方和.

通過上述三步法可以合理選出最優(yōu)Copula函數(shù)用來構(gòu)造混合Copula函數(shù).

3.3 ? 混合Copula函數(shù)參數(shù)估計

參數(shù)估計的方法主要有極大似然估計法（MLE），最大期望值（EM）、貝葉斯線性回歸和兩步參數(shù)估計法. 考慮數(shù)據(jù)處理的精確性并防止過擬合現(xiàn)象，本文采用蒙特卡羅方法產(chǎn)生隨機樣本數(shù)據(jù)，并基于最小偏差平方準(zhǔn)則，通過改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化求解混合Copula函數(shù)的未知參數(shù)估計問題.

采用蒙特卡洛模擬方法，對系統(tǒng)中每個零件的隨機變量進(jìn)行采樣. 將采樣的隨機數(shù)據(jù)代入對應(yīng)于各零件失效退化的函數(shù)中. 每個函數(shù)生成與采樣數(shù)據(jù)對應(yīng)的性能退化量序列x（t）. 將每個性能退化量序列x（t）轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的累積分布函數(shù)FG（x（t））.

遺傳算法作為一種自適應(yīng)型全局優(yōu)化搜索算法，具有很強的適應(yīng)性，在組合優(yōu)化等方面得到了廣泛的應(yīng)用. 遺傳算法的基本思想為：從問題的潛在解集的其中任意一個種群開始，種群則由二進(jìn)制編碼形式構(gòu)成的一定數(shù)目的個體組成. 父代由初代種群組成，計算每個個體的適應(yīng)度值，并保留m個精英個體，進(jìn)行選擇、父代交叉、個體變異操作后，判斷是否滿足適應(yīng)度條件，若不滿足則繼續(xù)執(zhí)行交叉、變異操作，判斷子代種群是否滿足算法結(jié)束要求，不滿足，則以新的種群作為父代，重復(fù)上述步驟，直到滿足計算要求為止. 本文利用改進(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法對混合Copula函數(shù)的未知參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，具體步驟及流程圖如圖4所示.

1）編碼、參數(shù)初始化

使用二進(jìn)制編碼將采樣數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制串形式

am am-1…a2 a1 .bn bn-1…b2 b1

式中：am am-1…a2 a1代表實數(shù)的整數(shù)部分，bn bn-1…b2 b1代表實數(shù)的小數(shù)部分.

參數(shù)包括種群規(guī)模N、交叉概率Pc、變異概率PM、進(jìn)化代數(shù)T，編碼精度R. 當(dāng)種群規(guī)模N太小時，會出現(xiàn)近親交配，產(chǎn)生病態(tài)基因;種群規(guī)模較大，難以收斂，穩(wěn)健性下降. 一般取0～100. 交叉概率Pc是更新種群的重要方式，交配概率太大破壞已有的有利模式，隨機性增大，容易錯失最優(yōu)個體;交配概率太小不能有效更新種群，一般取0.4～0.99. 變異概率PM太小時，種群的多樣性下降太快，導(dǎo)致有效基因的迅速丟失且不容易修補;當(dāng)變異概率太大時，高階模式被破壞的概率隨之增大. 一般取0.000 1～2. 進(jìn)化代數(shù)T太小，算法不容易收斂，種群還沒有成熟;代數(shù)太大，進(jìn)化沒有意義，浪費時間和資源. 一般取100～500. 編碼精度R為遺傳算法的停止準(zhǔn)則.

2）遺傳算子

包括選擇、交叉、變異. 選擇操作的任務(wù)就是按某種方法從父代群體中選取一些個體，遺傳到下一代群體. 這里使用比例選擇算子，即各個個體被選中的概率與其適應(yīng)度函數(shù)值大小成正比. 設(shè)群體大小為n，個體i的適應(yīng)度為Fi，則個體i被選中遺傳到下一代群體的概率為：

每個概率值組成一個區(qū)域，全部概率值之和為1;最后再產(chǎn)生一個0～1之間的隨機數(shù)，依據(jù)該隨機數(shù)出現(xiàn)在上述哪一個概率區(qū)域內(nèi)來確定各個個體被選中的次數(shù). 交叉操作以某一概率相互交換隨機搭配的某兩個個體之間的部分二進(jìn)制串，包括單點交叉、兩點/多點交叉，部分序列交叉等，本文采用多點交叉. 變異操作是對個體的某一個或某一些二進(jìn)制串按某一較小的概率進(jìn)行取反操作，本文采用兩點變異.

3）改進(jìn)的適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度是遺傳算法終止的停止準(zhǔn)則. 本文采用在均方根誤差公式的基礎(chǔ)上加入懲罰項作為混合Copula函數(shù)未知參數(shù)估計優(yōu)化求解的適應(yīng)度函數(shù). RMSE公式如下：

式中：FMA（F ki1，F(xiàn) ki2，…，F(xiàn) kim）為累積分布函數(shù)序列F kij，C（F ki1，F(xiàn) ki2，…，F(xiàn) kim）是混合Copula函數(shù)，γ為懲罰因子. 當(dāng)適應(yīng)度滿足編碼精度的條件時，則輸出對應(yīng)的二進(jìn)制串，最后通過解碼公式得出十進(jìn)制的混合Copula的未知參數(shù)

式中：Ζ代表實數(shù);L、K分別代表未知參數(shù)定義域區(qū)間的兩個端點.

這種方法可以使搜索區(qū)域分布在整個搜索空間，提高種群的遍歷性，可以更好地跳出局部最優(yōu)解.

將求解出的參數(shù)代入式（20）（21）和（23）即可得到基于混合Copula的元動作單元性能可靠度表達(dá)式.

4 ? 應(yīng)用實例

以某加工中心切削輔助功能中的托盤交換架交換工件運動為例，首先按FMA分解托盤交換架，得到動作層各個元動作，如圖5所示.

提取交換架回轉(zhuǎn)運動M112中的齒輪轉(zhuǎn)動元動作單元A1124作為本次實例分析的對象，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖如圖6所示.

在齒輪轉(zhuǎn)動元動作單元的五大組成要素零件上安裝多類傳感器，其中輸入件、輸出件和中間件均屬于轉(zhuǎn)動零件，選用加速度傳感器，溫度傳感器，支撐件和緊固件均屬于固定型零件，選用位移傳感器，設(shè)定間隔時間并進(jìn)行性能指標(biāo)數(shù)據(jù)監(jiān)測，監(jiān)測的性能指標(biāo)主要包括振動信號，磨損量，重復(fù)定位精度，工作溫度等，分析得到齒輪轉(zhuǎn)動元動作單元內(nèi)部每個組成要素零件的多組性能退化數(shù)據(jù). 利用式（1）將多維性能退化數(shù)據(jù)融合為單個零件的性能退化量，再將其與設(shè)定的間隔時間代入式（10）（12）和（16），求得元動作單元內(nèi)部各類型零件的Gamma參數(shù)估計值，如表2所示.

聯(lián)合各參數(shù)估計值和式（7）（8）推導(dǎo)出元動作單元內(nèi)每個類型零件的可靠度曲線，如圖7所示.

從圖7可以看出，元動作單元內(nèi)部各零件的可靠度曲線隨元動作單元服役時間的延長，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的擠壓、摩擦不斷作用各組成要素，導(dǎo)致各零件不斷出現(xiàn)磨損、蠕變和疲勞等退化現(xiàn)象，性能退化量不斷增大，可靠度不斷下降. 這也標(biāo)志著元動作單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)老化程度逐漸增加. 各類零件的可靠度曲線的平滑程度不一，即在同樣的時刻下，各零件的可靠度水平不同，如果選用最弱環(huán)節(jié)理論來評估元動作單元的可靠性則會高估元動作單元的性能可靠性水平，若認(rèn)為元動作單元內(nèi)各類型零件退化過程獨立，則會低估元動作單元的性能可靠性水平.

因此通過考慮元動作單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)的依賴耦合分析元動作單元的性能可靠性水平，利用本文所述的3種方法提取3種最優(yōu)的Copula函數(shù)構(gòu)造混合Copula函數(shù)，采用10個齒輪轉(zhuǎn)動元動作單元的10個觀測時刻對應(yīng)下的各組成要素的多種性能指標(biāo)樣本值，利用公式（1）計算分別得到對應(yīng)時刻下各同類組成要素共100個性能退化量數(shù)值，其中元動作單元內(nèi)的動力輸入件和動力輸出件的退化量失效閾值為14，中間件、緊固件和支撐件的退化量失效閾值為20，挑選任意兩種類型零件構(gòu)造一系列二維散點圖，結(jié)果如圖8所示.

同時計算各零件性能退化量的Kendall相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)矩陣結(jié)果如表3所示.

各類Copula函數(shù)的相關(guān)系數(shù)如表4所示.

結(jié)合樣本數(shù)據(jù)和上述計算時得到的極大似然函數(shù)估計值，獲得各Copula函數(shù)對應(yīng)的AIC值如表5所示.

通過二維散點圖特征可以發(fā)現(xiàn)，元動作單元內(nèi)部各組成要素零件的性能退化量基本上存在對稱分布和下尾部相依關(guān)系，上尾部相依關(guān)系表現(xiàn)不太明顯，表4中顯示除了Gumbel，其余Copula 函數(shù)的Kendall ?與五大件之間的Kendall ?較為接近，進(jìn)一步證實了散點圖表現(xiàn)出的對稱和下尾部相依關(guān)系. 根據(jù)AIC選擇理論，F(xiàn)rank、Clayton和T-Copula對應(yīng)的AIC值相對較小，說明該3種Copula函數(shù)用于描述樣本數(shù)據(jù)可以獲得更為準(zhǔn)確的結(jié)果，因此將它們作為3種最優(yōu)Copula函數(shù)用于構(gòu)造混合Copula函數(shù).

最后利用本文提出的改進(jìn)的遺傳算法優(yōu)化求解混合Copula參數(shù)估計，結(jié)果如表6所示

將參數(shù)估計結(jié)果代入式（19），結(jié)合（20）和（22），得到混合Copula函數(shù)的可靠度表達(dá)式，下面選取元動作單元內(nèi)部兩種類型零件并通過混合Copula函數(shù)考慮兩者之間的依賴耦合關(guān)系，得到的元動作單元性能可靠度曲線，如圖9所示.

從圖9中可以看出通過混合Copula函數(shù)得到的齒輪轉(zhuǎn)動元動作單元的可靠度曲線介于最弱理論和獨立假設(shè)之間，可以得出較為科學(xué)、準(zhǔn)確的可靠度變化結(jié)果，具有良好的適用性，也證明了本文方法用于分析元動作單元性能可靠性水平的有效性.

考慮產(chǎn)品功能的實現(xiàn)可能與多個有關(guān)的元動作單元有關(guān)，科學(xué)合理的估計產(chǎn)品的可靠性水平，需要同時對多個元動作單元進(jìn)行可靠性分析，于是我們再次提取交換架回轉(zhuǎn)運動M112中的齒條移動元動作單元A1123作為分析對象，按照相同的操作流程，繪制得到齒條移動元動作單元的可靠度曲線，如圖10所示.

從圖10中可以看出通過混合Copula函數(shù)得到的齒條移動元動作單元的可靠度曲線仍介于最弱理論和獨立假設(shè)之間，與圖9中齒輪轉(zhuǎn)動元動作單元的可靠度曲線對比可以發(fā)現(xiàn)，兩種元動作單元的可靠度變化存在明顯差異，因此對實現(xiàn)同一運動功能的不同元動作單元進(jìn)行可靠性分析才能科學(xué)準(zhǔn)確地評價產(chǎn)品的可靠性水平.

5 ? 結(jié) ? 論

針對機電產(chǎn)品性能可靠性建模和分析困難的問題，本文將系統(tǒng)性能與其功能聯(lián)系起來，從系統(tǒng)完成其功能的角度出發(fā)，將復(fù)雜機電產(chǎn)品分解成一系列元動作單元，元動作單元性能可靠性水平對于復(fù)雜機電產(chǎn)品性能可靠性的保證具有重要意義，因此對元動作單元的性能可靠性進(jìn)行了分析研究.

1）采用了功能-運動-動作的FMA結(jié)構(gòu)化分解方法，分解機電產(chǎn)品可以得到元動作分解樹以及一系列元動作單元，并給出元動作單元的結(jié)構(gòu)模型及其必要組成零件類型.

2）分析描述了元動作單元內(nèi)部每一類型零件的性能退化滿足Gamma隨機過程的性質(zhì)，得到服從Gamma分布的累積失效分布函數(shù)和性能可靠度，同時考慮元動作單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間的依賴耦合，結(jié)合具有簡化依存關(guān)系結(jié)構(gòu)良好分析能力的混合Copula函數(shù)對元動作單元的性能可靠性進(jìn)行分析.

3）給出實例，分別采用兩種不同元動作單元作為本次實驗的分析對象，通過Gamma過程分析計算得到不同元動作單元的不同假設(shè)情況下可靠度曲線與結(jié)合混合Copula函數(shù)得到的性能可靠度曲線進(jìn)行對比，有效地彌補了最弱理論和獨立退化假設(shè)進(jìn)行性能可靠性分析的不足，證明了該方法得到性能可靠度曲線的可行性和有效性.

4）實施元動作單元的性能可靠性分析，對于評估和保障機電產(chǎn)品性能可靠性具有重要意義. 針對產(chǎn)品完成其功能是由一系列元動作單元共同完成的，因此元動作鏈的性能可靠性分析問題是下一步有待研究的工作.

參考文獻(xiàn)

[1] ? ?LI S，CHEN Z Y，LIU Q B，et al. Modeling and analysis of performance degradation data for reliability assessment：a review [J]. IEEE Access，2020，8：74648—74678.

[2] ? ?MENG D B，ZHANG H，HUANG T. A concurrent reliability optimization procedure in the earlier design phases of complex engineering systems under epistemic uncertainties [J]. Advances in Mechanical Engineering，2016，8（10）：1—8.

[3] ? ?夏爽.基于維納過程的機電裝備性能退化建模與健康狀態(tài)評估[D]. 武漢：華中科技大學(xué)，2016：1—8.

XIA S. Performance degradation modeling and health assessment for mechanical and electrical equipment based on wiener process[D]. Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2016：1—8. （In Chinese）

[4] ? ?KIM Y S，KOLARIK W J. Real-time conditional reliability prediction from online tool performance data [J]. International Journal of Production Research，1992，30（8）：1831—1844.

[5] ? ?王璽，胡昌華，任子強，等. 基于非線性Wiener過程的航空發(fā)動機性能衰減建模與剩余壽命預(yù)測[J]. 航空學(xué)報，2020，41（2）：195—205.

WANG X，HU C H，REN Z Q，et al. Performance degradation modeling and remaining useful life prediction for aero engine based on nonlinear Wiener process[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2020，41（2）：195—205. （In Chinese）

[6] ? ?張雄健，王治華，肖強，等. 一種雙時間尺度函數(shù)Wiener過程性能退化模型[J].航空動力學(xué)報，2018，33（9）：2235—2241.

ZHANG X J，WANG Z H，XIAO Q，et al. A two time scale function Wiener process performance degradation model[J]. Journal of Aeronautical Dynamics，2018，33 （9）：2235—2241. （In Chinese）

[7] ? ?ZHANG Z X，SI X S，HU C H. An age- and state-dependent nonlinear prognostic model for degrading systems[J]. IEEE Transactions on Reliability，2015，64（4）：1214—1228.

[8] ? ?WANG X L，BALAKRISHNAN N，GUO B，et al. Residual life estimation based on bivariate non-stationary gamma degradation process[J]. Journal of Statistical Computation and Simulation，2015，85（2）：405—421.

[9] ? ?DUAN C Q，DENG C，LI N. Reliability assessment for CNC equipment based on degradation data [J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2019，100（1/4）：421—434.

[10] ?周偉，朱曉，冉琰，等. 考慮性能依賴的元動作單元多態(tài)可靠性分析[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2020，52（0）：62—68.

ZHOU W，ZHU X，RAN Y，et al. Reliability analysis of meta action unit polymorphism considering performance dependence[J]. Journal of Harbin University of Technology，2020，52 （1）：62—68. （In Chinese）

[11] ?鞠萍華，胡曉波，冉琰，等. 模糊物元在元動作單元可靠性分析中的應(yīng)用[J]. 機械科學(xué)與技術(shù)，2021，40（1）：76—83.

JU P H，HU X B，RAN Y，et al. Application of fuzzy matter element in reliability analysis of meta-action unit[J]. Mechanical Science and Technology，2021，40（1）：76—83. （In Chinese）

[12] ?張根保，王揚. 基于元動作鏈理論的數(shù)控機床故障分析[J].中國機械工程，2019，30（16）：1950—1958.

ZHANG G B，WANG Y. Fault analysis of CNC machine tools based on meta-action chain theory[J]. China Mechanical Engineering，2019，30（16）：1950—1958. （In Chinese）

[13] ?CHAI X D，SUN Z L，WANG J，et al. A new kriging-based learning function for reliability analysis and its application to fatigue crack reliability[J]. IEEE Access，2019，7：122811—122819.

[14] ?AN H，YIN H，HE F K. Analysis and application of mechanical system reliability model based on copula function[J]. Polish Maritime Research，2016，23：187—191.

[15] ?ZHANG Y J，MA Y Z，OUYANG L H，et al. A novel reliability model for multi-component systems subject to multiple dependent competing risks with degradation rate acceleration[J]. Eksploatacja I Niezawodnosc-Maintenance and Reliability，2018，20（4）;579—589.

[16] ?鞠萍華，柯磊，冉琰，等. 基于動作單元的機電產(chǎn)品故障溯源診斷方法[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2020，47（2）：60—66.

JU P H，KE L，RAN Y，et al. Method of fault root causes tracing analysis for electro-mechanical products based on action unit[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2020，47（2）：60—66. （In Chinese）

[17] ?LI Y L，ZHANG X G，RAN Y，et al. Research on meta-action decomposition and meta-action unit modeling technology for electromechanical product[J]. Quality and Reliability Engineering International，2019，36（1）：268—284.

[18] ?GAO H D，CUI L R，QIU Q A. Reliability modeling for degradation-shock dependence systems with multiple species of shocks [J]. Reliability Engineering & System Safety，2019，185：133—143.

[19] ?張彬. 數(shù)據(jù)驅(qū)動的機械設(shè)備性能退化建模與剩余壽命預(yù)測研究[D]. 北京：北京科技大學(xué)，2016：79—88.

ZHANG B. Data-driven mechanical equipment performance degradation modeling and remaining life prediction research[D]. Beijing：University of Science and Technology Beijing，2016：79—88. （In Chinese）

[20] ?李宇龍，張根保，王勇勤，等. 數(shù)控機床基于元動作的FMEA分析技術(shù)研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2019，46（10）：64—75.

LI Y L，ZHANG G B，WANG Y Q，et al. Research on FMEA analysis technology based on meta-action for numerical control machine tool[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2019，46（10）：64—75.（In Chinese）

[21] ?DAS G K，HAZRA B，GARG A，et al. Stochastic hydro-mechanical stability of vegetated slopes：An integrated copula based framework [J]. Catena，2018，160：124—133.

[22] ?KABADURMUS O，SMITH A E. Evaluating reliability/survivability of capacitated wireless networks [J]. IEEE Transactions on Reliability，2018，67（1）：26—40.

[23] ?SUN Y T，LUO L F，ZHANG Q，et al. Reliability analysis of stochastic structure with multi-failure modes based on mixed Copula[J]. Engineering Failure Analysis，2019，105：930—944.

[24] ?PAN X Y，CAI G H，CHEN Q L. Construction and application of mixed copula model[J]. Journal of Advance Computational Intelligence and Intelligent Informatics，2018，22（4）：457—464.

收稿日期：2020-06-30

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（51835001），National Natural Science Foundation of China（51835001）;國家“高檔數(shù)控機床與基礎(chǔ)制造裝備”科技重大專項（2018ZX04032-001），National Major Scientific and Technological Special Project for“High-grade CNC and Basic Manufacturing Equipment”（2018ZX04032-001）

作者簡介：張根保（1953—），男，山西新絳人，重慶大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，博士

通信聯(lián)系人，E-mail：ranyan@cqu.edu.cn