基于互協(xié)方差稀疏重構(gòu)的MIMO雷達(dá)低仰角估計(jì)算法

張子鑫, 胡國(guó)平, 周 豪, 占成宏,2

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051; 2. 空軍工程大學(xué)研究生院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

多輸入多輸出(multi-input and multi-output,MIMO)雷達(dá)具有多個(gè)輸入和輸出陣元,各個(gè)陣元發(fā)射相互正交的信號(hào),具有波形分集、空間分集的能力,是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。針對(duì)低空目標(biāo)多徑效應(yīng)問(wèn)題,引入MIMO雷達(dá)[1-2]能夠有效解決多徑效應(yīng)對(duì)目標(biāo)估計(jì)帶來(lái)的不利影響[3-6],但MIMO雷達(dá)低空目標(biāo)角度估計(jì)仍然是目前亟待解決的難點(diǎn)之一。

傳統(tǒng)的波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)算法主要有基于特征分解的多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[7]和子空間旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)參數(shù)(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)算法[8]等。針對(duì)低空目標(biāo),廣義多重信號(hào)分類算法[9-11]是將直射回波信號(hào)和多徑反射回波信號(hào)合起來(lái)看作一個(gè)信號(hào)來(lái)進(jìn)行特征分解求解信號(hào)子空間和噪聲子空間,進(jìn)而對(duì)直射回波信號(hào)和多徑反射回波信號(hào)的DOA進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)。有學(xué)者提出了一種基于波束空間的MIMO雷達(dá)低空目標(biāo)DOA算法[12],該算法將MIMO雷達(dá)虛擬域與廣義MUSIC算法結(jié)合共同用于低空目標(biāo)DOA估計(jì),在保證估計(jì)精度的同時(shí)降低了復(fù)雜度。文獻(xiàn)[13] 提出了一種雙基地MIMO雷達(dá)聯(lián)合波離方向(direction of departure, DOD)DOA估計(jì)的新方法,該算法將ESPRIT和MUSIC聯(lián)合,在將二維測(cè)向分解為雙一維測(cè)向的基礎(chǔ)上,利用ESPRIT方法估計(jì)DOD,并利用Root-MUSIC進(jìn)行DOA估計(jì),同時(shí)保證了算法的精度和復(fù)雜度。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于單基地MIMO雷達(dá)的降維(reduced dimension, RD) ESPRIT算法,在低信噪比的條件下,該算法在保證估計(jì)精度的同時(shí)降低了算法復(fù)雜度。

近年來(lái),壓縮感知理論[15-18]的提出,突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理。在壓縮感知理論中對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)只需要少量的觀測(cè)數(shù)據(jù),同時(shí)利用信號(hào)在空域中的稀疏性就可以實(shí)現(xiàn),并且在相干信源的情況下,相比于傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法有著更好的性能。文獻(xiàn)[19]開(kāi)創(chuàng)性地實(shí)現(xiàn)了對(duì)陣列輸出數(shù)據(jù)的稀疏表示,并結(jié)合奇異值分解(singular value decomposition, SVD),提出了L1-SVD算法,通過(guò)SVD減小數(shù)據(jù)矩陣的規(guī)模來(lái)降低算法復(fù)雜度,但需要預(yù)知信源個(gè)數(shù)。文獻(xiàn)[20]利用陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的誤差滿足漸近正態(tài)分布,提出了一種無(wú)需知曉信源個(gè)數(shù)就能對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)的L1-SRACV算法,但其運(yùn)算量較大。對(duì)此有學(xué)者將KR(Khatri-Rao)積變換引入到L1-SRACV算法當(dāng)中進(jìn)行DOA估計(jì)[21],降低了算法的運(yùn)算量, 但是無(wú)法對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行有效估計(jì)。針對(duì)相干目標(biāo),空域平滑稀疏表示DOA估計(jì)算法[22]首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行解相干,再利用L1-SRACV算法進(jìn)行估計(jì),有效提高了算法精度。Salama根據(jù)最小方差失真響應(yīng)原理提出一種改進(jìn)的自適應(yīng)LASSO算法[23],該方法無(wú)需SVD且可檢測(cè)更多目標(biāo),相比于傳統(tǒng)LASSO方法具有更高的估計(jì)性能。文獻(xiàn)[24]研究了利用原子范數(shù)最小化法估計(jì)線性陣列波束空間DOA的方法,減小了運(yùn)算量。文獻(xiàn)[25]提出了一種互協(xié)方差矩陣壓縮感知DOA估計(jì)算法,利用多快拍數(shù)互協(xié)方差矩陣的特點(diǎn)降低了噪聲的影響。本文將壓縮感知與MIMO雷達(dá)相結(jié)合,引入KR積變換,并利用多快拍數(shù)據(jù)中互協(xié)方差矩陣噪聲不相關(guān)的特性,減小了噪聲的影響,然后構(gòu)造冗余字典,將角度估計(jì)轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題,最后利用CVX等凸優(yōu)化工具包進(jìn)行求解。

1 MIMO雷達(dá)多徑信號(hào)模型

以相參型收發(fā)共置MIMO雷達(dá)為基礎(chǔ),圖1為MIMO雷達(dá)低空目標(biāo)多徑信號(hào)模型,圖1中發(fā)射信號(hào)的傳輸路徑為虛線部分,接收信號(hào)的傳輸路徑為實(shí)線部分,由圖1可得,MIMO雷達(dá)低空目標(biāo)多徑信號(hào)在收發(fā)過(guò)程中一共有4條傳輸路徑,分別為雷達(dá)直射到目標(biāo),再由目標(biāo)直射到雷達(dá);雷達(dá)直射到目標(biāo),再由目標(biāo)通過(guò)地面反射到雷達(dá);雷達(dá)通過(guò)地面反射到目標(biāo),再由目標(biāo)直射到雷達(dá);雷達(dá)通過(guò)地面反射到目標(biāo),再由目標(biāo)通過(guò)地面反射到雷達(dá)。

圖1 多徑情況下MIMO雷達(dá)收發(fā)信號(hào)示意圖

假設(shè)單基地MIMO雷達(dá)為M個(gè)全向陣元組成的均勻線陣,陣元間隔為半波長(zhǎng)d,陣列均置于y軸。空域中低空目標(biāo)為K個(gè),θdk和θrk分別為第k個(gè)目標(biāo)的直射信號(hào)DOA和多徑反射信號(hào)DOA。MIMO雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的M個(gè)陣元發(fā)射矩陣為

SF(t)=[sF1(t),sF2(t), …,sFM(t)]T

(1)

式中,sFm(t)表示第m個(gè)陣元的發(fā)射信號(hào)。

根據(jù)MIMO雷達(dá)的特性,其M個(gè)陣元發(fā)射的信號(hào)是一組相互正交的信號(hào),即發(fā)射信號(hào)需滿足

(2)

K個(gè)目標(biāo)接收到的信號(hào)為

(3)

式中,A(θ)為方向矩陣,可表示為

A(θ)=[a(θd1),a(θr1),a(θd2),a(θr2),…,a(θdK),a(θrK)]

(4)

其中,a(θdk)=[1， e-jβdk， …， e-j(M-1)βdk]T表示第k個(gè)目標(biāo)直達(dá)波的導(dǎo)向矢量,其中βdk=2πdsinθdk/λ,a(θrk)同理為第k個(gè)目標(biāo)反射波的導(dǎo)向矢量;εk=ρkej2πΔRk/λ為第k個(gè)目標(biāo)的總反射系數(shù),其中ρk為復(fù)反射系數(shù),2πΔRk/λ為目標(biāo)直射信號(hào)和多徑反射信號(hào)的路程差引起的相位差。

為了便于表示,設(shè):

(5)

則MIMO雷達(dá)接收回波時(shí)信號(hào)矩陣可表示為

X(t)=A(θ)ωαST(t)+N(t)=A(θ)ωαωTA(θ)HSF(t)+N(t)

(6)

已知發(fā)射矩陣為SF(t),對(duì)單基地MIMO雷達(dá)的多徑回波信號(hào)進(jìn)行廣義匹配濾波可得

Y(l)=E[X(t)SF(t)H]=A(θ)ωωTA(θ)H+V(l)

(7)

根據(jù)式(7),將單基地MIMO雷達(dá)多徑回波信號(hào)廣義匹配濾波后的虛擬矩陣向量化,可進(jìn)一步增大單基地MIMO雷達(dá)的虛擬孔徑:

Yv(l)=vec(Y(l))=(A(θ)°A(θ))Λ+vec(V)=(A(θ)°A(θ))Λ+v

(8)

A(θ)°A(θ)=[a(θd1)?a(θd1),a(θr1)?a(θr1),…,a(θdK)?a(θdK),a(θrK)?a(θrK)]

(9)

式中,?表示Kronecker積。

2 基于互協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)低仰角估計(jì)算法

2.1 降維變換

(10)

由導(dǎo)向矢量的表達(dá)式,能夠發(fā)現(xiàn)如下關(guān)系:

a(θd1)?a(θd1)=Gb(θd1)

(11)

(12)

定義WGHG=diag(1,2…,M-1,M,M-1…,1),其中diag(·)為對(duì)角矩陣,其對(duì)角線元素分別對(duì)應(yīng)括號(hào)中的元素,其余位置元素為0。對(duì)MIMO雷達(dá)多徑回波接收信號(hào)進(jìn)行左乘降維變換,可得

(13)

降維變換前后的數(shù)據(jù)信噪比分別為

(14)

(15)

式中,tr(·)為矩陣的跡。

(16)

由式(16)可以看出,通過(guò)降維變換處理能夠增大信噪比,進(jìn)而提高算法估計(jì)精度。

2.2 互協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)低仰角估計(jì)算法

(17)

(18)

(19)

(20)

式中,Q(h,∶)表示Q矩陣的第h行；01×(2M-1)表示1×(2M-1)的零矩陣。所以互協(xié)方差可以表示為

R21=W1/2ΘQ

(21)

(22)

(23)

至此,可以將基于互協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)的MIMO雷達(dá)低仰角估計(jì)算法的步驟總結(jié)如下:

步驟 1根據(jù)第1節(jié)將MIMO雷達(dá)多徑信號(hào)模型進(jìn)行廣義匹配濾波,計(jì)算虛擬矩陣Y(l),并進(jìn)行向量化得到更大的虛擬孔徑Y(jié)v(l),按一定的快拍數(shù)采樣;

步驟 4根據(jù)式(21)構(gòu)建冗余字典Θ和稀疏矩陣Q;

3 仿真結(jié)果

在仿真實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)單基地MIMO雷達(dá)與常規(guī)陣列雷達(dá)均為全向陣元組成的均勻線陣,陣元間隔為信號(hào)波長(zhǎng)的1/2,陣列均置于y軸,陣元數(shù)M=12,且MIMO雷達(dá)各個(gè)陣元發(fā)射的信號(hào)相互正交。低空目標(biāo)個(gè)數(shù)為1個(gè),其直射信號(hào)DOA和多徑反射信號(hào)DOA分別為θd=2°和θr=-2°,總反射系數(shù)ε=0.9ej120/180π;快拍數(shù)L為300次,信噪比為10 dB。通過(guò)實(shí)驗(yàn)將本文算法、L1-SRACV算法和L1-SVD算法的估計(jì)性能進(jìn)行對(duì)比,檢驗(yàn)了本文算法在多徑效應(yīng)下對(duì)低空目標(biāo)的角度估計(jì)性能。

圖2為3種算法的歸一化空間譜。從圖2中可以看出3種重構(gòu)算法的空間譜呈現(xiàn)針狀,具有較高的角度分辨率,但本文算法相比于其他兩種算法能夠更精準(zhǔn)地估計(jì)出目標(biāo)直達(dá)波與反射波的來(lái)波方向,對(duì)多徑信號(hào)測(cè)角性能更好。

圖2 3種算法的空間譜

圖3為快拍數(shù)L=300,信噪比由-14～14 dB變化,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200時(shí),不同信噪比條件下3種算法的均方根誤差(root mean square error,RMSE)。

圖3 不同信噪比下3種算法的RMSE

定義RMSE為

(24)

圖4為快拍數(shù)L=300,信噪比由-14～14 dB變化,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200時(shí),不同信噪比條件下3種算法的發(fā)現(xiàn)概率。估計(jì)不成功時(shí)RMSE記為2°。

圖4 不同信噪比下3種算法的發(fā)現(xiàn)概率

由圖3和圖4分析可以看出,在處理多徑效應(yīng)下低空目標(biāo)DOA估計(jì)中,3種算法的RMSE均隨著信噪比的增大而逐漸減小,成功估計(jì)目標(biāo)的概率均隨著信噪比的增大而逐漸增大。說(shuō)明隨著信噪比的增大,3種算法的估計(jì)性能均有所提高。通過(guò)對(duì)比3種算法能夠看出,L1-SRACV算法即使在高信噪比條件下也不能很好地估計(jì)出信號(hào)來(lái)波方向,算法性能較差;L1-SVD算法只有在高信噪比條件下才能表現(xiàn)出較好的性能,但不如本文算法;本文算法在低信噪比條件下也具有較好的性能,對(duì)低空目標(biāo)的DOA估計(jì)性能明顯優(yōu)于其他算法。

圖5為信噪比為10 dB,快拍數(shù)L從100到500變化,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200時(shí),3種算法在不同快拍數(shù)下的RMSE。

圖5 不同快拍數(shù)下3種算法的RMSE

圖6為信噪比為10 dB,快拍數(shù)L從100到500變化,蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)為200時(shí),3種算法在不同快拍數(shù)下的成功估計(jì)概率。估計(jì)不成功時(shí)RMSE記為2°。

圖6 不同快拍數(shù)下3種算法的發(fā)現(xiàn)概率

由圖5和圖6分析可以看出,在處理多徑效應(yīng)下目標(biāo)來(lái)波方向估計(jì)中,隨著快拍數(shù)的增加,3種算法的RMSE均逐漸減小,成功估計(jì)目標(biāo)的概率逐漸增大。說(shuō)明隨著快拍數(shù)的增加,3種算法的估計(jì)性能均有所提高。通過(guò)對(duì)比3種算法能夠看出,L1-SRACV算法隨著快拍數(shù)的不斷增加對(duì)多徑信號(hào)來(lái)波方向的估計(jì)性能的提升較小;L1-SVD算法的估計(jì)能力略有提升,但性能一般;本文算法在低快拍條件下也具有較好的性能,對(duì)低空目標(biāo)的DOA估計(jì)性能明顯優(yōu)于其他算法。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)MIMO雷達(dá)多徑接收信號(hào)廣義匹配濾波后的虛擬矩陣向量化處理,得到虛擬孔徑擴(kuò)展,并且利用多快拍數(shù)互協(xié)方差矩陣中噪聲互不相關(guān)的優(yōu)點(diǎn),有效降低了噪聲的影響;針對(duì)虛擬矩陣向量化后運(yùn)算量增大的問(wèn)題,算法在利用互協(xié)方差矩陣之前先進(jìn)行了降維處理,降低信號(hào)的維度,減小計(jì)算量,同時(shí)提高了信噪比;然后,利用稀疏重構(gòu)算法能夠省去解相干過(guò)程,無(wú)需信源數(shù)目的先驗(yàn)知識(shí)能對(duì)多徑信號(hào)進(jìn)行DOA估計(jì)。另外,本文算法雖然對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行了降維處理,但是算法復(fù)雜度上仍然比L1-SVD算法大,在信源數(shù)較少時(shí),算法復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)的DOA估計(jì)算法,但本文算法無(wú)需信源數(shù)目的先驗(yàn)知識(shí)以及低信噪比條件下仍然有較高的估計(jì)性能的優(yōu)點(diǎn)是其他算法不能達(dá)到的。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。