BL-代數(shù)的反猶豫模糊子代數(shù)

姜 曼

(西安交通工程學(xué)院 公共課部， 陜西 西安 710300)

0 引言

1965年，Zadeh[1]提出了模糊集，而后模糊集在理論和應(yīng)用兩方面取得了很大的進(jìn)展.比如，在模糊集理論的基礎(chǔ)上提出了直覺模糊集，基于正規(guī)形式的區(qū)間值模糊集以及區(qū)間值直覺模糊集，并把這些理論應(yīng)用于不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，得到了很多重要的結(jié)論[2-4].作為模糊集的又一個重要的拓展，Torra[5]又提出了猶豫模糊集概念，由于每個猶豫模糊元素是由很多個不確定的元素構(gòu)成，因此猶豫模糊集能更好的描述人類在思考問題時的不確定、瞻前顧后、以及研究問題時猶豫不定性.在不同代數(shù)中研究濾子的猶豫模糊性，現(xiàn)階段已經(jīng)取得了一些研究成果.比如，彭家寅[6-7]在BL-代數(shù)中研究猶豫模糊濾子，證明了各個猶豫模糊濾子之間相互等價需要具備的條件，并且拓展了剩余格中的n-重濾子理論，獲得了幾類猶豫模糊n-重濾子與其對應(yīng)的n-重剩余格以及其商n-重剩余格之間的等價描述.劉春輝等[8-9]分別在FI代數(shù)和Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)研究猶豫模糊濾子和猶豫模糊同余關(guān)系，討論它們的相互關(guān)系，取得了一些有意義的研究成果.

為了更好地證明基本邏輯的完備性定理，1998年，Hájek[10]提出了BL-代數(shù)，其中MV代數(shù)、格蘊(yùn)含代數(shù)、Godel代數(shù)和積代數(shù)等邏輯代數(shù)都可以看成是BL代數(shù)的特例.因此，研究BL代數(shù)是對這些代數(shù)結(jié)構(gòu)共同特征的發(fā)掘，有非常重要的意義[11-14].尤其是近年來，房衛(wèi)平[15]研究BL代數(shù)中的直覺模糊濾子，得出直覺模糊濾子的代數(shù)結(jié)構(gòu)；彭家寅[16]根據(jù)區(qū)間值直覺模糊集的理論，研究了各個區(qū)間值直覺模糊濾子之間等價的條件；朱翔等[17]研究了模糊子BL代數(shù)的程度，得到了模糊子BL代數(shù)度之間的等價刻畫.這些研究對于BL-代數(shù)理論有很大的促進(jìn)作用.但是，迄今為止，關(guān)于反猶豫模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究尚無公開成果.在上述相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，本文將猶豫模糊集與BL代數(shù)子代數(shù)理論相結(jié)合，給出了BL-代數(shù)的反猶豫模糊子代數(shù)的概念，引入反直積及投影的定義，得到了一些有意義的結(jié)論，進(jìn)一步豐富和拓展了猶豫模糊集和BL-代數(shù)的理論研究.

1 預(yù)備知識

以下將介紹本文所需的BL-代數(shù)、BL-同態(tài)、水平集以及模糊直積等基本概念.

定義1[5]設(shè)X是一個非空經(jīng)典集合，一個X上的猶豫模糊集F的定義如下：

F:={(x,hF(x))|x∈X},

其中，hF(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個不同值構(gòu)成的集合，表示X中的元素x屬于集合F的若干種可能隸屬度.

設(shè)F為X中的猶豫模糊集，P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集.稱集合

X(F,γ):={x∈X|γ?hF(x)}

為F的猶豫水平集，其中，γ?P([0,1]).

定義2[5]設(shè)X是一個非空經(jīng)典集合，F(xiàn)和G是X上的猶豫模糊集，且具有如下形式：

F:={(x,hF(x))|x∈X},

G:={(x,hG(x))|x∈X},

規(guī)定如下運(yùn)算：

(1)補(bǔ)：對于F,它的補(bǔ)元Fc定義為：

補(bǔ)運(yùn)算滿足對合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F和G的并F∪G定義為：

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)=

{h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF(x),hG(x))}.

(3)交：F和G的交F∩G定義為：

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)=

{h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF(x),hG(x))}.

定義3[10]有界格(L，∨，∧，*，→，0，1)叫BL-代數(shù).若?x,y∈L,有下列條件成立：

(BL1)(L，*，1)是以1為單位的交換半群；

(BL2)(*，→)是L上的伴隨對；

(BL3)x∧y=x*(x→y);

(BL4)x→y=x*(x→y).

為了敘述方便，以下L均指BL-代數(shù).

命題1[14]設(shè)(L，∨，∧，*，→，0，1)是BL-代數(shù)，則?x,y∈L,有

(BL5)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x)；

(BL6)x≤y?x→y=1,特別x→x=1.

定義4[17]設(shè)A：={(x,hA(x))|x∈X}是X的猶豫模糊子集，?ε?[0，1],則稱

定義5[17]設(shè)L1是BL-代數(shù)L的非空子集.若L1在L中的運(yùn)算下仍構(gòu)成一個BL-代數(shù)，那么稱L1是BL代數(shù)L的子代數(shù)，或稱L1是L的子BL-代數(shù).

定義6[17]L的模糊集A稱為L的一個模糊子BL-代數(shù).如果?x,y∈L,滿足下列條件：

(1)A(x)≤A(0);

(2)A(x)∧A(y)≤A(x∨y);

(3)A(x)∧A(y)≤A(x∧y);

(4)A(x)∧A(y)≤A(x*y);

(5)A(x)∧A(y)≤A(x→y).

定義7[17]設(shè)L1,L2是BL-代數(shù)，映射f:L1→L2稱為BL-同態(tài)，如果?x,y∈L1,滿足下列條件：

(1)f(x∨y)=f(x)∨f(y);

(2)f(x∧y)=f(x)∧f(y);

(3)f(x*y)=f(x)*f(y);

(4)f(x→y)=f(x)→f(y).

若f是滿射，則稱f是BL-滿同態(tài)；若f是單射，則稱f是BL-單同態(tài)；若f是雙射，則稱f是BL同構(gòu).

命題2[17]設(shè)L1是L的一個非空子集，則L1是L的子BL-代數(shù)的充要條件是：

(1)0∈L1；

(2)?x,y∈L1,有x*y,x→y∈L1.

命題3[17]設(shè)L1,L2是BL-代數(shù)，映射f:L1→L2稱為BL-同態(tài)，如果?x,y∈L1,滿足下列條件：

(1)f(x*y)=f(x)*f(y);

(2)f(x→y)=f(x)→f(y).

命題4[17]設(shè)L1,L2是BL-代數(shù)，1L和1M分別是L1和L2的最大元，0L和0M分別是L1和L2的最小元.

(1)若f:L1→L2是BL同態(tài)，則f(1L)=1M;

(2)若f:L1→L2是BL滿同態(tài)，則f(0L)=0M.

定義8[18](反擴(kuò)張?jiān)?設(shè)X,Y是兩個集合，f：X→Y是一個映射.A:={(x,hA(x))|x∈X}和B:={(y,hB(y))|y∈Y}是兩個分別定義在X,Y的猶豫模糊子集.x∈X,?y∈Y,定義Y的猶豫模糊子集f(A)如下：

?x∈X,定義X的猶豫模糊子集f-1(B)如下：

hf-1(B)(x)=hB(f(x)).

定義9[18]設(shè)A，B分別是非空集合X,Y的猶豫模糊子集，?(x,y)∈X×Y,定義X×Y的子集A×B：

A×B:X×Y→P[0,1],
hA×B(x,y)=hA(x)∪hB(y)，

則A×B是X×Y的猶豫模糊子集，并稱A×B為A，B的反直積.

定義10[18]若A×B是X×Y的猶豫模糊子集，則定義X的猶豫模糊子集A1：

則稱A1為A×B在X中的反猶豫模糊投影.

(x∨y)(i)=x(i)∨y(i)=xi∨yi;
(x∧y)(i)=x(i)∧y(i)=xi∧yi;
(x*y)(i)=x(i)*y(i)=xi*yi;
(x→y)(i)=x(i)→y(i)=xi→yi;

命題5[19]設(shè)a,ai∈[0,1],i∈I(I為任意指標(biāo)集)，則：

定義13[20]設(shè)映射I:[0,1]×[0,1]→[0,1],若?a,b,c∈[0,1]滿足條件：

(1)a≤b?I(a,c)≥I(b,c);

(2)b≤c?I(a,b)≥I(a,c);

(3)I(1,0)=0,I(0,0)=I(1,1)=1.

則稱映射I為一個模糊蘊(yùn)含算子.

蘊(yùn)含算子及取大、取小運(yùn)算具有如下性質(zhì)：

2 BL-代數(shù)的反猶豫模糊子代數(shù)與反直積

為了敘述方便，下文中的猶豫模糊子集A：{(x,hA(x))|x∈A}均用A表示.

定義14設(shè)A是L的猶豫模糊子集，則稱A是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，如果?x,y∈L,滿足下列條件：

(1)hA(0)?hA(x);

(2)hA(x∨y)?hA(x)∪hA(y);

(3)hA(x∧y)?hA(x)∪hA(y);

(4)hA(x*y)?hA(x)∪hA(y);

(5)hA(x→y)?hA(x)∪hA(y).

定理1設(shè)A是L的一個模糊子集，則A是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)的充要條件是：?x,y∈L,

(1)hA(0)?hA(x);

(2)hA(x*y)?hA(x)∪hA(y);

(3)hA(x→y)?hA(x)∪hA(y).

證明必要性顯然.

充分性：若?x,y∈L,條件(1)～(3)成立，只需證明定義14中的(2)和(3)成立.

由(BL3)和條件(2)、(3)可得hA(x∧y)=hA(x*(x→y))?hA(x)∪hA(x→y)?hA(x)∪hA(x)∪hA(y)=hA(x)∪hA(y),由hA(x∧y)?hA(x)∪hA(y)、(BL5)及條件(2)和(3)可得

hA(x∨y)=hA(((x→y)→y)∪((y→
x)→x))?hA((x→y)→y)∪hA((y→x)→
x)?hA(x→y)∪hA(y)∪hA(y→
x)∪hA(x)?hA(x)∪hA(y)∪hA(y)∪hA(y)∪
hA(x)∪hA(x)=hA(x)∪hA(y).

在上述定理1中，容易證明條件(2)和(3)等價于hA(x)∪hA(y)?hA(x*y)∪hA(x→y),從而有如下推論：

推論1設(shè)A是L的一個猶豫模糊子集，則A是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)的充要條件是，如果?x,y∈L,

(1)hA(x)?hA(0);

(2)hA(x)∪hA(y)?hA(x*y)∪hA(x→y).

定理2設(shè)A是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則

(1)hA(1)=hA(0);

(2)?x∈L,hA(x)?hA(x→0),hA(x)?hA(x*0).

證明(1)根據(jù)定義14(1)知，hA(1)?hA(0),下面只需證明hA(0)?hA(1)即可.

根據(jù)(BL6)知，0→0=1,再由定義14(5)可得：hA(1)=hA(0→0)?hA(0)∪hA(0)=hA(0).所以hA(1)=hA(0).

(2)由定義14，?x∈L,hA(x)=hA(x)∪hA(0)?hA(x→0),hA(x)=hA(x)∪hA(0)?hA(x*0).

定理3設(shè)A是L的一個猶豫模糊子集，則A是L的反猶豫模糊子BL代數(shù)的充要條件是：?x,y∈L,

(1)hA(0)=hA(1);

(2)hA(x)∪hA(y)?hA(x*y);

(3)hA(x)∪hA(y)?hA(x→y).

證明必要性：由定理1和定理2可得.

充分性：若條件(1)～(3)成立.由定理1知，只需證明?x∈L,hA(x)?hA(0).事實(shí)上，由條件(1)，(3)及(BL6)可得hA(x)=hA(x)∪hA(x)?hA(x→x)=hA(1)=hA(0).

下面利用水平集給出BL代數(shù)的猶豫模糊子BL代數(shù)與其子BL代數(shù)之間的相互誘導(dǎo)關(guān)系.

定理4設(shè)A是L的一個非空猶豫模糊子集，則A是L的反猶豫模糊子BL代數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?ε?[0,1],L(A;ε)：={hA(x)?ε|x∈L}(≠φ)是L的子BL代數(shù).

證明必要性：設(shè)A是L的反猶豫模糊子BL代數(shù)，若?ε?[0,1],L(A;ε)(≠φ),則?x∈L(A;ε),從而有hA(x)?ε.因?yàn)锳是L的反猶豫模糊子BL代數(shù)，由定義14(1)可知，hA(0)?hA(x)?ε,因此0∈L(A;ε).若?x,y∈L(A;ε),則hA(x)?ε,hA(y)?ε.因此hA(x*y)?hA(x)∪hA(y)?ε∪ε=ε,即x*y∈L(A;ε)；

又由于hA(x→y)?hA(x)∪hA(y)?ε∪ε=ε,即x→y∈L(A;ε)；由命題2知L(A;ε)(≠φ)是L的子BL代數(shù).

充分性：?ε?[0，1],L(A;ε)(≠φ)是L的子BL代數(shù).?x∈L,令ε=hA(x),則有x∈L(A;ε).L(A;ε)(≠φ)是L的子BL代數(shù)，故0∈L(A;ε),因此有hA(0)?ε=hA(x).?x，y∈L,令hA(x*y)∪hA(x→y)=ε,則hA(x*y)?ε且hA(x→y)?ε.從而有x*y∈L(A;ε)且x→y∈L(A;ε).即hA(x*y)?ε=hA(x*y)∪hA(x→y),hA(x→y)?ε=hA(x*y)∪hA(x→y).由定理1可知A是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

推論2設(shè)A是L的一個非空猶豫模糊子集，則A是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

是L的子BL-代數(shù).

定理5若A是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則稱B={x∈L|hA(x)=hA(0)}是L的子BL-代數(shù).

證明令ε=hA(0),一方面，?x∈B,有hA(x)=hA(0)=ε,所以x∈L(A;ε),即B?L(A;ε).另一方面，?x∈L(A;ε),hA(x)?ε=hA(0),又因?yàn)閔A(x)?hA(0),所以hA(x)=hA(0).因此x∈B,即L(A;ε)?B.綜上B=L(A;ε).再根據(jù)定理4知，B=L(A;ε)是L的子BL代數(shù).

L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)在交和并運(yùn)算下是否仍為反猶豫模糊子BL-代數(shù)？下面定理6和定理7給出了回答.

定理6設(shè)A和B是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則A∩B仍是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

證明因?yàn)锳和B是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，?x，y∈L,則有

hA∩B(0)=hA(0)∩hB(0)?
hA(x)∩hB(x)=hA∩B(x),
hA∩B(x*y)=hA(x*y)∩hB(x*y)?
(hA(x)∪hA(y))∩(hB(x)∪hB(y))=
(hA(x)∩hB(x))∪(hA(y)∩hB(y))=
hA∩B(x)∪hA∩B(y).

同理可證，hA∩B(x→y)?hA∩B(x)∪hA∩B(y).因此，由定理1可得A∩B是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

定理7設(shè)A和B是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則A∪B仍是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

證明?x，y∈L,因?yàn)锳和B是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，于是

hA∪B(x)=hA(x)∪hB(x)?
hA(0)∪hB(0)=hA∪B(0),
hA∪B(x*y)=hA(x*y)∪hB(x*y)?
(hA(x)∪hA(y))∪(hB(x)∪hB(y))=
(hA(x)∪hB(x))∪(hA(y)∪hB(y))=
hA∪B(x)∪hA∪B(y).

同理可證，hA∪B(x→y)?hA∪B(x)∪hA∪B(y).因此，由定理1可得A∪B是L的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

定理8設(shè)L1和L2是BL-代數(shù)，f：L1→L2是BL-同態(tài)映射，A和B分別是L1和L2的猶豫模糊子集，且f(0)=0,則：

(1)若A是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則f(A)是L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù);

(2)若B是L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則f-1(B)是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

證明因f是BL-同態(tài)，則由命題4(1)知f(1)=1.

(1)若A是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，由定義14和定理2知，?x∈L1,hA(x)?hA(0)=hA(1).又f(0)=0,從而由反擴(kuò)張?jiān)淼茫?/p>

下面只需證明?y1,y2∈L2,

hf(A)(y1*y2)?hf(A)(y1)∪hf(A)(y2)和hf(A)(y1→y2)?hf(A)(y1)∪hf(A)(y2)成立.

事實(shí)上，若存在y1,y2∈L2,使

hf(A)(y1*y2)?hf(A)(y1)∪hf(A)(y2),

那么

于是存在x1,x2∈L1,使得f(x1)=y1,f(x2)=y2,且

hf(A)(y1*y2)?hA(x1),hf(A)(y1*y2)?hA(x2).

因?yàn)閒是BL-同態(tài)，故f(x1*x2)=f(x1)*f(x2)=y1*y2,則

這與A是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù)矛盾.從而有

hf(A)(y1*y2)?hf(A)(y1)∪hf(A)(y2).

類似可證：

hf(A)(y1→y2)?hf(A)(y1)∪hf(A)(y2).

由定理3可知f(A)是L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

(2)由反擴(kuò)張?jiān)?、定?(1)及f(0)=0可得，

hf-1(B)(1)=hB(f(1))=hB(1)=
hB(0)=hB(f(0))=hf-1(B)(0),

又B是L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)且f是BL-同態(tài)映射，故對?x1，x2∈L1,

hf-1(B)(x1*x2)=hB(f(x1*x2))=
hB((f(x1))*(f(x2)))?
hB(f(x1))∪hB(f(x2))=
hf-1(B)(x1)∪hf-1(B)(x2).

同理可證，hf-1(B)(x1→x2)?hf-1(B)(x1)∪hf-1(B)(x2).所以，f-1(B)是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

由命題4(2)知，若f是BL-滿同態(tài)，則f(0)=0.于是有如下推論：

推論3設(shè)映射f：L1→L2是BL-滿同態(tài)，A和B分別是L1和L2的猶豫模糊子集，則：

(1)若A是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則f(A)是L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)；

(2)若B是L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則f-1(B)是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

證明

其中xi,yi∈Li,因?yàn)锳i為Li的反猶豫模糊子BL代數(shù)，所以，

又

定理10若A，B分別是BL-代數(shù)L1,L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則A×B是L1×L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

證明若A,B分別是BL-代數(shù)L1,L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，則?x∈L1,?y∈L2,hA(x)?hA(0),hB(y)?hB(0),從而hA×B(x,y)=hA(x)∪hB(y)?hA(0)∪hB(0)=hA×B(0,0).

?(x1,y1),(x2,y2)∈L1×L2,

hA×B(x1,y1)∪hA×B(x2,y2)=
hA(x1)∪hB(y1)∪hA(x2)∪hB(y2)=
(hA(x1)∪hA(x2))∪(hB(y1)∪hB(y2)) ?
hA(x1*x2)∪hB(y1*y2)=
hA×B((x1*x2),(y1*y2)).
hA×B(x1,y1)∪hA×B(x2,y2)=
hA(x1)∪hB(y1)∪hA(x2)∪hB(y2)=
(hA(x1)∪hA(x2))∪(hB(y1)∪hB(y2)) ?
hA(x1→x2)∪hB(y1→y2)=
hA×B((x1→x2),(y1→y2)).

綜上可得A×B是L1×L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

定理11若A×B是BL-直積L1×L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，分別定義L1和L2的反猶豫模糊子集為：

則A1、B1分別是L1和L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

證明?x∈L1,因?yàn)锳×B是L1×L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù)，所以

?x，y∈L1,

又

從而

?hA1(x*y).

同理可證，

hA1(x)∪hA1(y)?hA1(x→y),

故A1是L1的反猶豫模糊子BL-代數(shù).類似地可證明B1是L2的反猶豫模糊子BL-代數(shù).

3 結(jié)論

將猶豫模糊集理論與BL-代數(shù)中的子代數(shù)理論相結(jié)合，提出并研究了反猶豫模糊子代數(shù)的概念，得到了一些有意義的結(jié)論.這些結(jié)論更加豐富了猶豫模糊集的理論研究，今后，將繼續(xù)研究其它的反猶豫模糊代數(shù)結(jié)構(gòu).