超越直覺 展開推理
——《軸對稱圖形》教學(xué)案例

文|黃 建

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版四年級下冊第64 頁。

【教學(xué)過程】

一、生活情境，初步感知軸對稱圖形

1.游戲?qū)搿?/p>

出示游戲規(guī)則：請你用A4 紙擺出或者折出相應(yīng)的圖形即為穿墻成功。

2.對比提煉。

出示圖片：它們有什么共同的特點？

追問：如果我們把這些圖案畫在紙上，你打算怎樣來驗證它們是對稱的呢？

生：（演示）我把這張紙對折，兩邊是一樣的。

生：兩邊還要重合，就是一點也沒有多出來的部分。

小結(jié)：我們把這種現(xiàn)象稱為完全重合。展開后留下一條折痕，為了讓大家看得更清楚，我們把折痕畫下來。剩下的這些圖形中，你們也能找到那條折痕，使得對折后兩邊能夠完全重合嗎？

3.初步推理。

師：對于正方形，你能找到幾條這樣的折痕呢？

生：正方形的折痕有四條，分別是橫豎各一條、斜著兩條。

師：剛才你們都說到了下圖這條折痕。不對折，你怎么說明對折后兩邊能夠完全重合？

生：左邊是8 格，右邊是8格。面是一樣大的。

生：AD 與BC 都是4 格，邊與邊能夠完全重合。角B 與角A 是直角，角與角能夠完全重合。

生：點A、B 到對稱軸的距離都是2 格，A 與B 能夠完全重合。

師：像這樣的點還有嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)這樣的點有無數(shù)個。

師：（動畫演示）剛才我們從面、邊、角、點來說明。如果現(xiàn)在想讓AB 邊與DC 邊完全重合，你覺得折痕在哪里？

4.得出概念。

師：通過剛才的研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：它們都能找到一條折痕，使得圖形沿著這條折痕對折后兩邊能夠完全重合。

師：像這樣，對折后兩邊能夠完全重合的圖形，就叫做軸對稱圖形。我們將這條折痕所在的直線叫做這個圖形的對稱軸。

【設(shè)計意圖：學(xué)生識別軸對稱圖形并不難，但能真正理解和概括軸對稱圖形的概念本質(zhì)卻需要教師指導(dǎo)、交流。通過游戲、操作、驗證、對比四個環(huán)節(jié)，督促思維層層遞進，逐級抽象，生成概念性理解。注重從學(xué)生的實際情況起步，從生活走向數(shù)學(xué)，從圖案走向圖形，從直覺走向論證。學(xué)生的回答分別從數(shù)學(xué)的“面、邊、角、點”來切入，正體現(xiàn)出從整體知覺到要素分析的思維進程，為進一步深入研究做好準備?！?/p>

二、合作探究，判斷中理解軸對稱圖形

1.任務(wù)驅(qū)動：除了正方形，其他平面圖形如：長方形、平行四邊形、三角形是軸對稱圖形嗎？

2.合作要求。

（1）組間討論：每組選擇一類圖形。

（2）獨立思考：先畫出圖形，并且判斷；如果是軸對稱圖形，畫出它的對稱軸。

（3）組內(nèi)交流：我研究的是___________________________，我認為它____軸對稱圖形，它有______________條對稱軸。

我的依據(jù)是_____________。

3.全班交流。

（1）長方形——從操作走向推理。

生：我們小組研究的是長方形，我們認為它是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，當長方形是正方形的時候，有四條對稱軸。

生：我認為所有的長方形都有四條對稱軸。斜著的兩條也可以。角A 和角C 能夠完全重合，它們都是90 度。

生：雖然角的大小是一樣的，不代表它們能夠完全重合，你們看我們小組用紙折了一下。

生：AB 和BC 這兩條邊都不一樣長，AB 是4 格，BC 是6 格，對折后邊與邊不可能完全重合。

生：雖然B 與D 到對稱軸的距離是相等的，但是垂線不在一條直線上。

生：看來，沿著AC 對折，角D與角B 雖然一樣大，但是D 與B不能完全重合。（2）平行四邊形——在想象中推理。

生：我們組研究的是平行四邊形，我們認為平行四邊形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸。

①重點突破。

生：我畫了一個圖形。對邊是相等的，上下對折就可以了。

生：我覺得不對。這樣對折，角A 是銳角，角D 是鈍角，角A與角D 不能完全重合。上下對折，A 點應(yīng)該在D 點左邊一格。

②同類推理。

師：還有一些同學(xué)是這樣想的，你覺得有道理嗎？選擇一幅圖來說說看。

生：我認為左右對折不可以，左右對折角C 是銳角、角D 是鈍角，點C 與點D 也不能完全重合。

生：我覺得沿著AC 對折兩邊是可以的，兩邊一樣大。

生：這樣對折兩個角不能完全重合。角是一樣大的，如果它是對稱軸，那么BC 邊應(yīng)與DC 邊完全重合。我量了一下，CD 是3.7 厘米，BC 是3 厘米，不一樣長。

生：完全重合不僅對應(yīng)的邊一樣長、對應(yīng)的對角也要一樣大。

生：我還有其他想法，過點B與點D 作垂線，雖然距離是一樣的，但是不在一條直線上，對折后兩個點就不能完全重合。

③小結(jié)反思。

師：那現(xiàn)在我們是不是可以說平行四邊形不是軸對稱圖形？

生：我覺得我們還可以再找找折痕，如果找不到就不是軸對稱圖形。

生：我有補充，我覺得有些平行四邊形是軸對稱圖形。

生：我想到了一個，只要四條邊一樣長就可以了。

師：你們能想象出他說的平行四邊形嗎？像這樣特殊的平行四邊形它有幾條對稱軸？

生：銳角與銳角完全重合，鈍角與鈍角完全重合。有兩條對稱軸。

（3）四邊形——在對比中推理。

師：剛才我們研究了這些四邊形。從這些例子中，你覺得對稱軸的條數(shù)與什么有關(guān)？

生：與邊的長短有關(guān)。正方形和長方形的四個角都是90 度，但是長方形只能長和長或者寬和寬完全重合。正方形四條邊都相等，它就有四條對稱軸。

生：我覺得還和角的大小有關(guān)。菱形和正方形都是四條邊相等，菱形只能是銳角（鈍角）和銳角（鈍角）完全重合，而正方形四個角都是直角。所以我覺得正方形很特殊，它有四條對稱軸。

（4）三角形——在變化中推理。

師：四邊形對稱軸的條數(shù)與它的邊與角有關(guān)，那三角形呢？黃老師還收集到一些作品，你能讀懂它們嗎？

生：等邊三角形很特殊，三條邊和三個角都相等，它有三條對稱軸。

生：等腰三角形的兩條腰是相等的，它有一條對稱軸。但是一般的三角形邊、角都不相等，對折后兩邊不能完全重合。

師：他們說的意思你們同意嗎？你看這是一個正三角形，指一指它的對稱軸。如果它的形狀變一變，對稱軸發(fā)生了什么變化？

生：我發(fā)現(xiàn)三角形在變化過程中邊與角發(fā)生了變化，對稱軸的條數(shù)也就發(fā)生了變化。

師：看來，我們判斷一個圖形是否對稱，可以從邊、角來考慮。

師：如果讓你繼續(xù)研究，你還打算研究什么？

【設(shè)計意圖：以長方形、平行四邊形、三角形為對象，層層遞進地開展研究。長方形，先判斷，再操作驗證，結(jié)合視覺形象反思對稱要素：點的位置、邊的長度、角的大??；平行四邊形上升到表象操作，抓住點、邊、角想象對折后的情況，并盡量用數(shù)學(xué)的語言表述空間推理的過程；三角形更是從靜態(tài)走向動態(tài)，想象圖形變化時邊與角的變化對其對稱性的影響。學(xué)生在操作、想象、變化等情境中提升對軸對稱概念的理解和掌握水平，發(fā)展空間觀念和說理能力?！?/p>

三、創(chuàng)造圖形，內(nèi)化軸對稱圖形

1.出示要求。

師：接下來，我們利用學(xué)過的知識來創(chuàng)造一個軸對稱圖形。

2.全班交流。

生：（交流第一幅圖）每一個點我都找到了它對稱的那個點，連起來就可以了。

師：這些圖形來源于我們的生活，猜猜分別是什么？

【設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。在畫圖形的過程中進一步強化概念理解，思考對應(yīng)面重合、對應(yīng)邊及對應(yīng)角重合，以及對應(yīng)點重合之間的關(guān)聯(lián)，突出對稱概念的本質(zhì)?！?/p>

四、總結(jié)（略）