教學生“帶得走”的數(shù)學知識
——兼評兩則《圓的面積》教學設(shè)計

文|周衛(wèi)東（特級教師）

“圓的面積”是“圖形與幾何”領(lǐng)域中最后一個求平面圖形面積的內(nèi)容。其教學目標一般定位于：了解圓面積的概念，理解和掌握圓面積的計算公式，能正確計算圓的面積；通過剪圓、拼圓等動手操作過程，讓學生的直觀想象、動手操作、抽象概括能力得到發(fā)展；深入理解圓的面積公式，體會圖形變化中無限逼近的極限數(shù)學思想；了解歷史上數(shù)學家推導圓面積公式的方法，體會數(shù)學知識背后的數(shù)學文化，體現(xiàn)數(shù)學的應(yīng)用價值。

仔細閱讀兩位教師的教學設(shè)計，收獲頗多。難能可貴的是，方芳老師的設(shè)計——《在數(shù)學史中啟迪數(shù)學思想》與王小波老師的設(shè)計——《聚焦本質(zhì)，多元探索》，都能在上述基礎(chǔ)性目標達成的前提下，還能著眼學生未來成長的需要，教學生“帶得走”的數(shù)學知識，盡可能地讓基礎(chǔ)性目標“增值”。

一、主動學習，享學習“過程”之樂

數(shù)學是系統(tǒng)化了的常識（弗賴登塔爾語）。小學數(shù)學中很多概念所蘊涵的數(shù)學思想是樸素的，基本上都來源于學生的生活經(jīng)驗，有豐富的“生活概念”。理論上說，學生對這些樸素思想的認識應(yīng)該很容易接受，但為什么學生學習“課本上的數(shù)學”就有很多困難呢？一方面，這是由數(shù)學的“學科定義”導致的，數(shù)學的學科定義高度概括、抽象，不符合小學生的思維水平與認知特點；另一方面是由于教師不恰當?shù)慕虒W設(shè)計（例如沒有“過程”的教學，不顧及學生的已有“經(jīng)驗”和認知發(fā)展水平的教學）導致的。

難能可貴的是，這兩則教學設(shè)計都能在教學的“過程”上下功夫。

1.經(jīng)驗積累的過程。

“新知識的建構(gòu)必須來源于已有知識，對這一教學觀的合理引申就是教師需要關(guān)注學習者在學習給定主題時隨之帶來的不完整理解、錯誤觀念和對概念的天真解釋。教師還需要依據(jù)這些概念來幫助每個學生達到更成熟的理解。如果忽視學生的初始概念、觀點，他們獲得的理解可能與教師預(yù)期的想法大相徑庭?！保ā度耸侨绾螌W習的》〔美〕約翰·D·布蘭思福特）“圓的面積”這一內(nèi)容相對于平行四邊形、三角形、梯形等圖形的面積而言，小學生會感到更為抽象、更加難以理解，因此，教學中必須要面向?qū)W生的生活實際和理解水平，為他們的經(jīng)驗世界抹上一定的“底色”。兩則教學設(shè)計都很好地體現(xiàn)了這一點。王小波老師在教學中安排了一個前置性學習，讓學生圍繞“你能想辦法求出圓的面積嗎？把你的方法記錄下來”“在嘗試的過程中，你遇到了什么困難？”兩個問題先行嘗試和思考，課前學習為課中的交流與分享厚積了寶貴的經(jīng)驗。而方芳老師則在課始設(shè)計了一個“感受”性學習環(huán)節(jié)，出示了半徑是4、5、8 的三個圓，請學生數(shù)一數(shù)、填一填，求出圓的面積大約是正方形面積的幾倍，初步形成“圓的面積是正方形面積的3 倍與4 倍之間”的認識，為進一步推導圓面積的公式做好了知識上和思想上的準備。

2.知識理解的過程。

讓學生知道“圓的面積”是怎么來的、為什么用πr 來計算，這是本節(jié)課的“概念性水平”，是對概念本質(zhì)的把握。這種理解與把握不是教師告知的，而是在沖突的狀態(tài)下，因迫切需要產(chǎn)生一種新的方法而形成的。王小波老師在教學中，引導學生在大量的“前經(jīng)驗”的基礎(chǔ)上提煉出許多有價值的問題，而這些問題恰恰使學生對概念的本質(zhì)理解帶來了可以依托的“抓手”。“我想到了轉(zhuǎn)化成長方形，因為平行四邊形、三角形等圖形的面積都是轉(zhuǎn)化成長方形的”“我發(fā)現(xiàn)圓是曲線圖形，外面的部分沒法數(shù)。所以我就想，怎么把圓轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形呢？”“我們分得份數(shù)越多，就會越接近一個平行四邊形。那這個平行四邊形的面積要怎么求呢？底和高分別是什么？”這些核心問題的追問和研究，讓圓面積公式的推導“呼之欲出”。方芳老師的教學設(shè)計則更加關(guān)注了公式的推導過程，讓學生在嚴密的推理過程中領(lǐng)會公式的由來。圍繞“轉(zhuǎn)化前的圖形和轉(zhuǎn)化后的圖形之間有什么聯(lián)系？”“長為什么等于圓周長的一半？寬為什么是圓的半徑？”“長方形的面積用長乘寬計算，那圓的面積該怎么計算呢？”等問題的討論，將圓面積公式的來龍去脈層層導出，真正使學生既知其然，又知其所以然。

3.知識應(yīng)用的過程。

在社會對數(shù)學的需求越來越強烈的背景下，數(shù)學課程改革重視數(shù)學應(yīng)用的教育，勢在必行。數(shù)學的應(yīng)用包括內(nèi)部應(yīng)用和外部應(yīng)用，數(shù)學的內(nèi)部應(yīng)用即運用數(shù)學解決本理論或自身在某一領(lǐng)域內(nèi)的問題；數(shù)學的外部應(yīng)用即應(yīng)用數(shù)學解決生活、生產(chǎn)、科研等方面的實際問題。兩則案例都能加強數(shù)學的應(yīng)用。王小波老師的設(shè)計加強了數(shù)學的外部應(yīng)用。在課末的練習中，設(shè)計了“兩個半徑1 分米的披薩換一個半徑2 分米的披薩合理嗎？”引導學生理解“半徑擴大2 倍，并不意味著面積就擴大2 倍”這一特殊的規(guī)律；而方芳老師則在教學中強化了數(shù)學內(nèi)部的應(yīng)用，設(shè)計了一道選擇題：“將一個圓沿半徑剪開，平均分成若干個完全相同的小扇形，割拼成近似的長方形”，圍繞周長與面積兩個維度，讓學生對轉(zhuǎn)化后的長方形和圓相比，體會其中“變與不變”的規(guī)律。

二、逐漸感悟，品數(shù)學“思想”之美

弗利德曼認為，“數(shù)學的邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和最重要的要素就是數(shù)學思想，整個數(shù)學科學就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來的……數(shù)學的各種方法是數(shù)學最重要的部分。”顯性的知識技能，終究會被慢慢淡忘，而隱性的數(shù)學活動經(jīng)驗、數(shù)學思想方法，更易于促進終身受益的素養(yǎng)的形成。所以，我們的數(shù)學教學要努力從“雙基”走向“四基”。而數(shù)學思想是對數(shù)學知識和數(shù)學方法更為精華的概括。

1.有所思考：核心思想的分析。

兩位執(zhí)教者都深諳其道。就圓的面積的計算來說，無論是阿基米德的窮竭法，還是劉徽的割圓，以及開普勒的無限分割，都在設(shè)法逼近圓的共同特點，這幾個方法間沒有質(zhì)的區(qū)別，都把握了圓的面積是以圓半徑為邊長的正方形面積的3 倍多，有區(qū)別的是得到面積計算辦法的思考過程?？v觀數(shù)學發(fā)展史，圓的面積計算公式至今沒有發(fā)生本質(zhì)的變化，不斷變化的是圓面積計算公式的推導方法，從有限分割到無限分割，再到利用定積分的方法。在割裂的歷史片斷中，每種方法都曾經(jīng)在一定的歷史時期得到推崇，體現(xiàn)出其存在的價值，但在完整的歷史長河中，在數(shù)學科學豐富發(fā)展的大背景中，我們看清“無限分割，化曲為直”才是對后續(xù)數(shù)學學習最具有價值的，也是我們教學中最應(yīng)該鋪墊的。

2.有所側(cè)重：極限思想的滲透。

在不同的階段面對不同的學習內(nèi)容，對同一種數(shù)學思想的感悟應(yīng)該有不同的側(cè)重。圓面積的探索過程可謂是一個思想的“富礦”，蘊含了很多的數(shù)學思想方法，比如轉(zhuǎn)化思想、極限思想、化曲為直等等。就平面圖形面積計算方法的推導而言，從教學平行四邊形面積的計算方法時就提轉(zhuǎn)化，到三角形和梯形的面積計算方法的推導時又提轉(zhuǎn)化，那到圓面積計算，其核心的思想還是轉(zhuǎn)化嗎？顯然不是。無論是方芳老師的設(shè)計還是王小波老師的設(shè)計，教學的邏輯主線顯然都沒有放在圓面積的計算方法，而在于曲邊圖形向直邊圖形的轉(zhuǎn)化，教學的重點都放在了體會“隨著分割次數(shù)的增加、由面變線、由曲化直的數(shù)學過程”。都能讓學生認識到，無論是把圓轉(zhuǎn)化為平行四邊形，還是三角形或梯形，都要體現(xiàn)“把彎曲的部分變成直的”，到“折著折著，弧度就有點變直了”，再到“分的份數(shù)越多，每個圖形越來越像一條線段，是線的話就沒有弧度了”，根據(jù)不斷細分后拼成圖形的變化趨勢去想象它們的終極狀態(tài)，這個無限圖形序列的終極狀態(tài)，也就是無窮系列的極限。

3.有所延展：不同方法的感受。

學生的數(shù)學思想與數(shù)學思維需要教師適時的“點撥”，兩則教學設(shè)計都用到了數(shù)學史中數(shù)學家探索圓面積的故事。特別是方芳老師的設(shè)計，別出心裁地用三個數(shù)學故事串起了整節(jié)課，三則小故事分別對應(yīng)三個數(shù)學家對于圓面積的計算方法的推導過程。劉徽的故事引導學生去探索圓面積和圓周率之間的關(guān)系，再在兩次實踐操作中深入思考劉徽割圓術(shù)的原理和可行性，真正調(diào)動學生數(shù)學思考的能力，發(fā)展學生的想象能力；開普勒的“分割變形法”，引導學生從分割變形的角度去進行深入的數(shù)學思考，自主探索不同的“變形”方法，讓學生的數(shù)學思考能力更上一個臺階；最后阿基米德的方法再次激起學生的思考，不斷地創(chuàng)新方法，提升思維。每一個數(shù)學家的方法中都有明顯的數(shù)學思想方法痕跡，學生循著這些痕跡進行再想象、再探索，特別是極限思想的貫穿，讓所有的學生都能徜徉在極限思想的海洋里，充分想象和創(chuàng)造，深入體會極限思想方法的價值和應(yīng)用，讓學生在對極限思想認識的寬度和深度上都得到拓展。