并聯(lián)機器人正運動學(xué)與NURBS 軌跡規(guī)劃

張皓宇，劉曉偉，任 川，趙 彬

（1.遼寧省氣象信息中心，遼寧 沈陽 110168；2.沈陽新松系統(tǒng)自動化股份有限公司，遼寧 沈陽 110168；3.東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110819）

1 引言

并聯(lián)機構(gòu)學(xué)理論研究蓬勃發(fā)展，并聯(lián)機器人的運動學(xué)理論也不斷得到豐富[1-3]。并聯(lián)機器人是一種具有高載荷自重比的封閉式運動結(jié)構(gòu)，適用于制造、飛行仿真系統(tǒng)和醫(yī)療機器人等領(lǐng)域。機械手是一組運動連桿或鏈條的集合，這些連桿或鏈條連接在一起形成一個能夠完成特定任務(wù)的機構(gòu)[4]。典型的任務(wù)包括取放操作、模仿人類動作和在危險區(qū)域操作。機器人具有兩種基本設(shè)計，串聯(lián)和并聯(lián)，在運動學(xué)上是不同的。串聯(lián)式機械手是由一系列端到端的運動環(huán)節(jié)連接而成的開環(huán)結(jié)構(gòu)，代表了當(dāng)今大多數(shù)結(jié)構(gòu)類似于人類手臂的機器人機械手[5]。并聯(lián)機器人又稱并聯(lián)機器人、并聯(lián)機器人是一種閉環(huán)運動結(jié)構(gòu)。一般來說串聯(lián)機器人正運動學(xué)求解容易，逆運動學(xué)相對較難。雖然串行機械手由于其開環(huán)運動結(jié)構(gòu)，易于理解，但不適用于快速分揀、小范圍搬運等場合。并聯(lián)機器人逆運動學(xué)求解容易，正運動學(xué)處理很難有通用解決辦法。機械上，并聯(lián)機器人由帶有末端執(zhí)行器的移動平臺組成，末端執(zhí)行器通過三個或更多的鉸接鏈接連接到基座，每個鏈路在鏈路基座附近都有一個線性驅(qū)動器。并聯(lián)機器人都很適合這些快速高自重比的應(yīng)用，在最終定位的末端執(zhí)行器提供了更高的精度。

任何串行或并聯(lián)機器人都存在兩類運動學(xué)問題：逆運動學(xué)問題（IKP）和正運動學(xué)問題（FKP）[6]。目前的FKP 求解策略依賴于迭代方法，迭代方法計算開銷大，耗時長，且不能進行最優(yōu)的實時操作。針對FKP 問題，提出了一種利用改進形式的多層感知器進行反向傳播學(xué)習(xí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將問題的求解精度提高到預(yù)期水平，并能實時求解。再次，研究了建立NURBS 曲線相關(guān)步驟相關(guān)技術(shù)，建立了NURBS 曲線并將其運用到并聯(lián)機器人軌跡插補中，它可以處理任何類型的幾何圖形。NURBS 分段點定義為加速度在零方向上變化的過渡點。求解了運動學(xué)和NURBS 曲線問題，建立機構(gòu)的位置、速度、加速度與連桿長度、角度等機構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系，為后續(xù)并聯(lián)機器人快速分揀提供了保障。

2 機械臂構(gòu)成

工業(yè)機器人傳統(tǒng)上是一種開鏈的機構(gòu)，其連桿通常是串聯(lián)的[7-8]。開放式運動鏈機器人通常具有較長的臂長、較大的工作空間和較好的機動性能。然而，懸臂式機械手本身的剛性較差，在高速、高動載工況下的動態(tài)性能較差。而并聯(lián)機器人特別是自動裝配，快速分揀，高自重比和高精密機械加工工裝夾具組裝就顯得尤為重要，也是研發(fā)人員一直努力尋找的有效解決方案。

并聯(lián)機器人機構(gòu)圖，如圖1 所示?；陂]合運動鏈概念的可選機械手設(shè)計研究取得了一定的進展，與傳統(tǒng)的開放式運動鏈機械手相比，具有以下優(yōu)點：由于缺少懸臂式結(jié)構(gòu)，使得剛性和精度更高，對于執(zhí)行機構(gòu)的數(shù)量具有較高的力/扭矩能力，因為執(zhí)行機構(gòu)是并聯(lián)而不是串聯(lián)布置的，而且逆運動學(xué)相對簡單，這是實時計算機在線控制的優(yōu)勢。閉環(huán)運動鏈機器人在工作空間和可操作性要求低、動載荷大具有廣闊的應(yīng)用前景。

圖1 并聯(lián)機器人機構(gòu)圖Fig.1 Mechanism Diagram of Parallel Robot

3 機械臂運動學(xué)分析

并聯(lián)機器人正解解決的是從機器人關(guān)節(jié)到機器人末端姿態(tài)的傳遞關(guān)系，反解解決的是從機器人末端姿態(tài)到機器人關(guān)節(jié)角的傳遞關(guān)系，正反解是解決機器人在空間運動的關(guān)節(jié)角和空間位姿的傳遞關(guān)系。在數(shù)學(xué)上，雖然并聯(lián)機器人的IKP 有一個封閉的數(shù)學(xué)解，但是FKP 缺少一個封閉的解[9-10]。一般來說，F(xiàn)KP 表示一個待定問題，其中方程的數(shù)量小于未知數(shù)的數(shù)量。此外，運動學(xué)公式的高度非線性也增加了計算的復(fù)雜性。IKP 將任務(wù)空間映射到關(guān)節(jié)空間，根據(jù)機械手的最終位置和方向，找到關(guān)節(jié)角度或連桿長度。在數(shù)學(xué)上，IKP 建立了這樣一個映射函數(shù)：｛task space｝｛joint space｝。FKP 將關(guān)節(jié)空間映射到任務(wù)空間，根據(jù)給定的關(guān)節(jié)角度或長度集找到最終的位置和方向。FKP 的求解需要完成運動控制系統(tǒng)的反饋回路，即FKP 指示是否已經(jīng)到達(dá)工作區(qū)中所需的點。目前的FKP 求解策略依賴于迭代方法，迭代方法計算開銷大，耗時長，且不能進行最優(yōu)的實時操作。

3.1 機械臂運動學(xué)反解

圖2 第i 分支的關(guān)節(jié)角和桿長的示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Joint Angle and Bar Length of Branch i

圖中：（xk，yk，zk）—o-xyz坐標(biāo)系中的物理坐標(biāo)；r—動平臺的外接圓半徑；R—固定平臺的外接圓半徑；i、θij—第i支鏈上的第j桿的桿長和轉(zhuǎn)角。

首先，F(xiàn)1和F2組成一個球形副，所以：首先，沿y軸平移L12；然后，繞x軸旋轉(zhuǎn)θ12；最后，繞y軸旋轉(zhuǎn)（θ1+θ11-90°），整理得：

設(shè)末端執(zhí)行器中心的坐標(biāo)為（xtcp ytcp ztcp），這樣可以獲得位置變換的坐標(biāo)公式：

3.1.1 消元法反解

求解θ1，整理方程式：

3.1.2 歸一解

根據(jù)上面第一支鏈的結(jié)論，可以得到并聯(lián)機器人運動學(xué)反解的歸一解（通用解）：

3.3 機械臂運動學(xué)正解

目前并聯(lián)機器人正解析解決辦法有幾類方法：分析方法、迭代方法、使用額外的傳感器和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法[11-13]。在并聯(lián)機械手末端安裝額外的傳感器，以獲得更多關(guān)于系統(tǒng)（機械手）狀態(tài)的信息，有助于快速方便地解決FKP。傳感器的額外成本使得這成為解決FKP 最不理想的方法。在迭代方法中，運動學(xué)問題被公式化，因此它可以使用任何可用的數(shù)值技術(shù)來求解。然而，這些數(shù)值技術(shù)是計算密集型的，并不能保證一個解決方案。本節(jié)介紹了一些并聯(lián)機器人構(gòu)型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解FKP 方案。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正運動學(xué)的目標(biāo)是設(shè)計一種方法，適用于所有類別的并聯(lián)機器人，減少計算資源的使用、實時快速執(zhí)行。

3.3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概述

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解FKP 的分析方法不僅限于并聯(lián)機器人的特殊結(jié)構(gòu)，可以推廣到其他類型的并聯(lián)機器人。神經(jīng)元處理單元對修改后的信號進行求和，并將該值應(yīng)用于線性或非線性激活函數(shù)。然后，產(chǎn)生的信號或值被傳送到輸出單元。輸入、權(quán)重、體系結(jié)構(gòu)和閾值都是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)器可以控制的參數(shù)。

一旦確定了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的體系結(jié)構(gòu)，就可以通過訓(xùn)練或?qū)W習(xí)過程來設(shè)置權(quán)重值。在網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自由參數(shù)（權(quán)值）是通過環(huán)境的連續(xù)刺激過程來適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的。環(huán)境刺激是從該環(huán)境的不同狀態(tài)獲得的輸入—輸出數(shù)據(jù)值。在訓(xùn)練過程中，系統(tǒng)地更新自由參數(shù)，使其值收斂到最優(yōu)值。自由參數(shù)更新的大小由一個稱為學(xué)習(xí)率的因素控制。何時停止訓(xùn)練取決于預(yù)先定義的條件，如達(dá)到最大期望的訓(xùn)練時間和最低錯誤率等。

3.3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逆解

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類似于人腦學(xué)習(xí)的過程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的準(zhǔn)確性和學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)量的多少有很大的關(guān)系。輸入為并聯(lián)機器人關(guān)節(jié)的角度值經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模塊輸出為機器人的末端的位置和姿態(tài)，如圖3 所示。運動學(xué)簡化模型示意圖可以得到：

圖3 運動學(xué)簡化模型Fig.3 Simplified Kinematics Model

整理公式可以得到：

根據(jù)上面所述的非線性方程組，采用三層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對并聯(lián)機器人運動學(xué)進行正向求解。根據(jù)并聯(lián)機器人的外觀結(jié)構(gòu)構(gòu)型，建立基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)機器人非線性方程。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)共分為三層，輸入層共有3 個神經(jīng)元，輸出層有4 個神經(jīng)元，如圖4 所示。可經(jīng)由下式將機器人正運動學(xué)的非線性映射轉(zhuǎn)換為線性映射，設(shè)N個樣本為（Pj，αj），其中j＝1，2，…，N。Pj為網(wǎng)絡(luò)輸入向量，作為第j個位置樣本，αj作為第j個電機轉(zhuǎn)角為網(wǎng)絡(luò)輸出向量。

式中：wi—隱含層的節(jié)點i與輸入層的權(quán)值；a1i—隱含層的節(jié)點i與輸入層的閾值；wk—輸出層與隱含層間的權(quán)值；a2k—輸出層與隱含層間的閾值。

圖4 三層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.4 Three-Layer Feedforward Neural Network Structure

將并聯(lián)機器人運動控制過程中產(chǎn)生的位置和關(guān)節(jié)角度進行保存，作為大量樣本輸入訓(xùn)練后，可以獲得機器人關(guān)節(jié)角度到機器人末端位置的運動學(xué)正描述，即可根據(jù)建立的非線性方程和權(quán)重從而得到并聯(lián)機器人正解。

4 NURBS 的軌跡規(guī)劃

在數(shù)控控制器的軌跡規(guī)劃中，最大加速度和最大顛簸的控制是非常重要的，因為它在很大程度上影響著機器人運動穩(wěn)定性。線性插補器和圓形插補器的典型問題包括：處理大量短節(jié)段需要過多的數(shù)據(jù)傳輸和加工時間。線段連接處的速度不連續(xù)明顯，傳統(tǒng)的方法已不能滿足當(dāng)前制造業(yè)對高速高精度加工的要求。

4.1 樣條曲線類型概述

在變進給量控制中，NURBS 曲線上每個采樣點的進給量是根據(jù)該點的曲率和允許的弦誤差確定的。然后在泰勒展開中使用這個進給量來確定下一個采樣點。眾所周知，進給速度必須根據(jù)軌跡的曲率變化而變化，在高速加工中應(yīng)盡可能快地保持進給速度。同樣，當(dāng)一個彎曲區(qū)域之后是一個平坦區(qū)域時，也有必要確定速度開始增加的點。

在加工過程中，通過刀具路徑規(guī)劃將參數(shù)曲面離散成一組參數(shù)曲線，然后執(zhí)行軌跡規(guī)劃對每條曲線進行插值。參數(shù)曲線有不同的表示形式，NURBS 曲線由于其計算速度快、計算穩(wěn)定性好，已被許多CAD/CAM 系統(tǒng)用作基本幾何表示。提出了一種NURBS 曲線插補的綜合插補方案。以NURBS 曲線為例，對所開發(fā)的軌跡規(guī)劃進行了逐步測試。該曲線由直線段和任意曲線段在銳角處連接而成。傳統(tǒng)的機器人運動規(guī)劃只提供線性和圓形插補器，使用線性化的線段序列來逼近曲線。這種傳統(tǒng)的方法由于分割導(dǎo)致進給量波動較大，并產(chǎn)生較大的數(shù)據(jù)文件。對于一般參數(shù)曲面運動控制，該方法效率低，易產(chǎn)生誤差。

4.2 NURBS 樣條曲線規(guī)劃步驟

由于這種運動規(guī)劃是實時實現(xiàn)的，因此開發(fā)了特定的算法來計算每個采樣間隔的進給量和采樣點。NURBS 樣條曲線擬合過程如下：

（1）節(jié)點參數(shù)ui計算過程（累計弦長法）

到此，B樣條曲線就擬合出來了。接下來需要對曲線進行數(shù)據(jù)點的密化，好讓機器人周期性走到各個密化點，一般采取泰勒展開的方式密化。

5 實驗

5.1 運動控制實驗

為了實現(xiàn)機械手的實時軌跡控制，討論的正，逆運動學(xué)一般必須在線計算。驗證了并聯(lián)機器人正運動學(xué)的正確性，如圖5（a）～圖5（b）所示。在機械臂的運動學(xué)分析中，將給定的執(zhí)行機構(gòu)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)的正逆運動學(xué)都是必要的，該策略在不到兩次迭代和0.02 s 的執(zhí)行時間內(nèi)，位置和方向參數(shù)的精度分別接近0.01mm 和0.01°。

圖5 正弦與圓弧跟蹤曲線示意圖Fig.5 Sine and Arc Tracking Curve Diagram

5.2 NURBS 樣條曲線實驗

NURBS 插補器在插補過程中既能在大部分時間內(nèi)實現(xiàn)均勻進給，又能在每一個插補點都能在規(guī)定的誤差范圍內(nèi)。曲線的尖角或進給敏感角，避免高頻分量或含有與插補軌跡中機器固有頻率匹配的頻率分量和高抖動，如圖6 所示。在軌跡規(guī)劃方法中，提出了一種檢測NURBS 曲線尖角的前瞻模塊。在此基礎(chǔ)上，采用加減速方法進行了修正，滿足機器人的加減速能力。

圖6 NURBS 樣條曲線示意圖Fig.6 NURBS Spline Diagram

5.3 實際抓取運動實驗

為了實際驗證并聯(lián)機器人運動控制正確性，為并聯(lián)機器人運動抓取實驗，如圖7（a）～圖7（b）所示。依靠千分表可以進行測試，得并聯(lián)機器人重復(fù)定位精度（±0.05）mm，運動速度快，拾放節(jié)拍120 次/min。并聯(lián)機器人為生產(chǎn)線系統(tǒng)提供了穩(wěn)定運動控制功能，并聯(lián)機器人準(zhǔn)確識別并同步跟蹤傳輸線上高速運動的產(chǎn)品，在高速運動中連續(xù)抓取多包產(chǎn)品，然后整齊的擺放到包裝箱中。

圖7 運動抓取示意圖Fig.7 Motion Grab Diagram

6 結(jié)論

針對并聯(lián)機器人運動控制與NURBS 軌跡規(guī)劃問題，提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)正運動學(xué)控制與NURBS 軌跡規(guī)劃控制方法。并聯(lián)機器人FKP 的求解是閉環(huán)控制系統(tǒng)的關(guān)鍵，由于缺乏一種封閉形式的數(shù)學(xué)解，提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決運動學(xué)正解通用逼近器。在該模型中，輸入端接收信號將其傳輸?shù)缴窠?jīng)元處理單元，在神經(jīng)元處理單元中，信號通過權(quán)值乘法進行修改。然后提出了一種NURBS曲線插補的綜合插補方案，同時滿足給定速度和弦長精度的要求。用NURBS 樣條擬合方法對插補后的進給曲線進行進一步平滑，在插補過程中，反復(fù)檢查弦長誤差，并將其限制在規(guī)定的誤差范圍內(nèi)。從正運動學(xué)仿真、逆運動學(xué)和NURBS 樣條曲線驗證了軟件有效性。這種混合策略確實需要稍微增加計算機系統(tǒng)內(nèi)存，但是節(jié)省的時間和迭代次數(shù)的節(jié)省足以克服引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的成本。并聯(lián)機器人運動學(xué)策略在不到兩次迭代和0.02s 的執(zhí)行時間內(nèi)，位置和方向參數(shù)的精度分別接近0.01mm 和0.01°。在實際抓取運動過程中，并聯(lián)機器人重復(fù)定位精度±0.05mm，運動速度快，拾放節(jié)拍120 次/min，驗證了算法的有效性和正確性。