Kundu-Eckhaus方程的N階達布變換和精確解

劉春萍，李 麗

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽 110034)

0 引言

非線性薛定諤方程含有孤立子波解，它是解釋非線性現(xiàn)象的重要模型之一.非線性薛定諤方程可以用來描述物理模型和物理現(xiàn)象，例如：玻色-愛因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation)、非線性光學(xué)(nonlinear optics)、等離子物理(plasma physics)、凝聚態(tài)物理、流體力學(xué)，以及描述等離子波，激光束在折射率與波幅有關(guān)的介質(zhì)中傳播等，它在數(shù)學(xué)和物理中應(yīng)用十分廣泛.在2010年，C.G.Latchio-Tiofack、Alidou Mohamadou、Timoleon C.Kofane、K.Porsezian 從可積性的角度考慮了非均勻1+1維耦合非線性薛定諤方程[1]，利用達布變換，在利用3×3 Lax對的基礎(chǔ)上，得到了精確解.在2017年，S.Vijayalekshmi、A.Mahalingam、M.S.Mani-Rajan研究了具有更廣義外勢的非自治非線性薛定諤方程中光孤子的傳播[2].

求解孤子方程的方法有很多，如：Hirota 雙線性方法[3-4]，反散射方法[5-7]，齊次平衡法[8-9]，貝克隆變換法[10-11]，達布變換(DT)法[12-13]等.達布變換是由數(shù)學(xué)家Darboux在1882年發(fā)現(xiàn)的.利用達布變換求新解的步驟是：利用非線性微分方程的Lax對和常微分方程的譜理論，把非線性微分方程精確解的求解過程轉(zhuǎn)化為代數(shù)過程.在知道種子解的條件下，通過代數(shù)運算求得新解.很多學(xué)者利用達布變換解決了很多問題.例如：邱德勤構(gòu)造了顯示的達布變換的解析表示，利用泰勒展開得到了KE方程的高階怪波解.2016年，Ablowitz和Musslimani提出了非局域的修正Korteweg-de Vries(mKdV)方程和非局域sine-Gordon(SG)方程[14]，并證明了這些方程的可積性.2017年，Ji和Zhu 通過構(gòu)造非局域mKdV方程的Darboux變換獲得了一系列不同類型的精確解析解[15]，包括complexiton 解、怪波解、奇異的非局域解、扭結(jié)孤子解和反扭結(jié)孤子解.在[16]中利用離散N階Darboux變換(DT)導(dǎo)出了耦合Ablowitz-Ladik方程的離散呼吸和亮孤子解.在[17]中研究了一種非標(biāo)準(zhǔn)的雙極化過程，用于為PT對稱耦合非局部非線性薛定諤方程(CNNLS)生成更一般的亮孤子和呼吸孤子解.在[18]中研究了具有譜問題的耦合非局部非線性薛定諤方程的Darboux變換.在[4]中提出了一種廣義非局部非線性Gross-Pitaevskii(GP)方程，它可以簡化為具有自誘導(dǎo)PT對稱勢的非局部GP方程.利用達布變換方法求解了具有自誘導(dǎo)對稱勢的非局域非線性薛定諤方程的亮孤子解和呼吸波孤子解[19].

在本文中，構(gòu)造出KE方程的N階達布變換，獲得了N-孤子解.此外，令一些參數(shù)為0時，可得到簡化的1-孤子解、2-孤子解和3-孤子解.得到了一些新的精確解，包括亮孤子解和呼吸孤子解，并顯示了它們的動力學(xué)特征和彈性相互作用.

1 非局域非線性Kundu-Eckhaus方程的Darboux變換

1984年，一種非線性Kundu-Eckhaus方程被提出，形式如下：

iut+uxx+2|u|2u+4β2|u|4u-4iβ(|u|2)xu=0,β∈R.

(1)

式中下標(biāo)表示偏導(dǎo)數(shù)，方程(1)的Lax 對形式如下：

Ψx=MΨ,Ψt=NΨ=(N2λ2+N1λ+N0)Ψ,

(2)

(3)

(4)

這里*為復(fù)共軛，u是關(guān)于空間變量x和時間變量t的函數(shù)，λ是譜參數(shù).

構(gòu)建方程(1)的達布變換，引入變換T:

(5)

(6)

(7)

(8)

其中：

(9)

因此，給出了2×2的矩陣T，形式如下：

(10)

經(jīng)過計算，可以得到如下形式的ΔT：

(11)

(12)

式(13)給出了方程(6)的新解和舊解的關(guān)系:

(13)

式(13)是通過方程(6)達布變換得到的.

證明設(shè)

(14)

得到的Bsl(1≤s,l≤2)是λ的2N或2N+1次多項式.

通過一些計算，λj(1≤j≤2)是Bsl(1≤s,l≤2)的根，公式(14)會有如下形式：

(Tx+TM)T*=(ΔT)C(λ).

(15)

其中

(16)

(Tx+TM)=C(λ)T.

(17)

通過比較方程(17)中λN的階次，得到下列關(guān)系式：

(18)

(19)

(20)

(21)

易證Esl(1≤s,l≤2)是λ的N+1或N+2次多項式.通過計算，可以得到λj(1≤j≤2)是Esl(1≤s,l≤2)的根，因此，方程(21)具有下列形式:

(Tt+TN)T*=(ΔT)F(λ).

(22)

其中:

(23)

(Tt+TN)=F(λ)T.

(24)

通過比較方程(24)中的λN階次，得到了以下方程

(25)

2 非局域非線性Kundu-Eckhaus方程的N-孤子解

為了利用達布變換求得KE方程的N-孤子解，我們首先選取一個種子解u=0,并且將這些解代入方程(2)、(3)，得到KE方程的兩個基本解：

(26)

把方程(26)代入到(9)，我們可以得到

(27)

其中

為了獲得方程(1)的N-孤子解，我們獲得矩陣T:

(28)

(29)

根據(jù)方程(29)和克萊姆法則，得到

(30)

其中:

(31)

基于方程(9)和(27)，我們能得到

(32)

用達布變換方法得到KE方程的N-孤子解，形式如下:

(33)

(i)1-孤子解

為了獲得方程(1)的1-孤子解，考慮N=1時，得到

(34)

其中:

(35)

因此，我們可以獲得KE方程的1-孤子解:

(36)

圖1 方程(1)的1-孤子解

(ii)2-孤子解

為了獲得方程(1)的2-孤子解，考慮N=2時，得到

(37)

其中:

(38)

因此，我們可以獲得KE方程的2-孤子解:

(39)

圖2 方程(1)的2-孤子解

(iii)3-孤子解

為了獲得方程(1)的3-孤子解，考慮N=3時，得到

(40)

其中:

(41)

因此，我們可以獲得KE方程的3-孤子解:

(42)

3 結(jié)論

筆者利用達布變換求出KE方程的N-孤子解，首先從一個特殊的Lax對開始，從零解構(gòu)造了一個非平凡的單孤子解，再從單孤子解構(gòu)造出雙孤子解，最后利用達布變換求出N-孤子解表達式.