地球?火星引力輔助下的地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道

臧詩(shī)慧 武 迪

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

2020 年是火星探測(cè)大年，阿聯(lián)酋的“希望號(hào)”火星探測(cè)器、中國(guó)的“天問一號(hào)”火星探測(cè)器以及美國(guó)的“毅力號(hào)”火星車均成功發(fā)射，掀起了火星探測(cè)的熱潮。火星表面載人科考站是人類走向火星的必由之路，此類科考站需定期更換人員、補(bǔ)充物資，并要求能夠往返于地球與火星之間的航天器執(zhí)行相應(yīng)的客貨運(yùn)任務(wù)。這些航天器需要配備大質(zhì)量的生命維持系統(tǒng)以及足夠大的船員活動(dòng)空間，因此每次變軌都會(huì)消耗大量的燃料。地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道是一種往返于地球與火星之間的無動(dòng)力軌道，運(yùn)行在這種軌道上，航天器能夠消耗較少燃料執(zhí)行地球與火星之間的客貨運(yùn)任務(wù)。由此飛船結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的要求能夠有所降低，飛船的使用壽命也可相應(yīng)延長(zhǎng)，可以用于執(zhí)行地球與火星之間定期的貨運(yùn)或者客運(yùn)任務(wù)。

目前，火星短期居住站的設(shè)計(jì)已經(jīng)涉及到地?火循環(huán)軌道，利用運(yùn)行在這種軌道上的航天器以及地球與火星各自的接駁航天器，可以實(shí)現(xiàn)定期的人員更換與物資補(bǔ)充[1-2]。地火循環(huán)軌道器的設(shè)計(jì)與結(jié)構(gòu)也在近年來被提出[3]。Hollister[4]在 1969 年對(duì)地球?金星往返軌道的研究中，首次提出循環(huán)軌道的概念，并計(jì)算得到地球?金星循環(huán)軌道,同時(shí)首次提出了地?火循環(huán)軌道。

1985 年 Aldrin 提出 “Aldrin 循環(huán)軌道”，使用兩艘飛船進(jìn)行地?火與火?地間的運(yùn)輸，但是航天器與地球、火星交會(huì)時(shí)的速度比較大，實(shí)用性受到限制[5]。McConaghy 等[6]在理想的太陽系模型下，忽略火星引力的作用，利用自由返回軌道的組合，得到了若干地?火循環(huán)軌道。Ocampo 基于上述結(jié)果，總結(jié)出地火循環(huán)軌道的系統(tǒng)性搜索方法，使用p,h,s,i四個(gè)參數(shù)確定一條地火循環(huán)軌道，其中，p表示一個(gè)循環(huán)周期包含的地球火星會(huì)合周期數(shù)，h表示一個(gè)循環(huán)周期包含的整圈轉(zhuǎn)移軌道或半圈轉(zhuǎn)移軌道數(shù)，s表示一個(gè)循環(huán)周期包含的一般轉(zhuǎn)移軌道數(shù)，i表示一個(gè)循環(huán)周期內(nèi)飛船繞日的圈數(shù)。優(yōu)化甩擺角的大小以獲得一條唯一確定的循環(huán)軌道。遍歷四個(gè)參數(shù)，并以有解性、甩擺角比為標(biāo)準(zhǔn)，得到了較為實(shí)用的地?火循環(huán)軌道集合[7]。一些研究在地火循環(huán)軌道中引入推力，Chen 等[8]在地火循環(huán)軌道中引入小推力，通過減少航天器與火星交會(huì)時(shí)的剩余速度以優(yōu)化循環(huán)軌道，Vergaaij 等[9]提出了基于太陽帆動(dòng)力的地火循環(huán)軌道。

2015 年，Rogers 等[10]基于速度杠桿變軌以及小推力過程提出了航天器進(jìn)入循環(huán)軌道的優(yōu)化方案。2016 年，Anderson[11]研究了在與地球交會(huì)時(shí)，接駁航天器與循環(huán)軌道器交會(huì)的軌跡規(guī)劃與燃料消耗問題，進(jìn)一步完善了地火循環(huán)軌道的應(yīng)用研究。

然而，這些模型均忽略了火星引力的影響，默認(rèn)航天器在火星引力影響球外飛掠。同時(shí)部分軌道的效率較低，航天器每運(yùn)行十幾年才能夠完成一次地球?火星之間的往返。本文將在此基礎(chǔ)上引入地球與火星的引力輔助。多圈轉(zhuǎn)移軌道會(huì)顯著地增加地?火轉(zhuǎn)移的時(shí)間，拉低軌道器的效率，故本文放棄使用整圈轉(zhuǎn)移軌道，僅使用半圈轉(zhuǎn)移軌道，尋找更加高效的地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道。

1 地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

本文采用理想化的太陽系動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算，僅考慮太陽的中心引力作用，地球和火星位于共面圓軌道上。在實(shí)際軌道設(shè)計(jì)中，可以將本文模型的計(jì)算結(jié)果作為初值，采用攝動(dòng)法求解高精度模型下的無動(dòng)力循環(huán)軌道。因此，本文采用的坐標(biāo)系和動(dòng)力學(xué)模型定義如下：

(1)太陽位于慣性坐標(biāo)系原點(diǎn)，僅考慮太陽的中心引力作用，地球與火星位于共面圓軌道上；

(2) 地球軌道半徑為1 AU，周期為1 a，火星軌道周期為1.875 a;

(3)地球的引力常數(shù)μe=3.985 00×105km3/s2，火星的引力常數(shù)μm=4.281 73×104km3/s2。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，火星的軌道周期設(shè)為1.875 a。在此情況下，地球與火星的相對(duì)幾何關(guān)系具有周期性，周期為 15 a。因此，在本文中，地火轉(zhuǎn)移的窗口搜索設(shè)置為轉(zhuǎn)移初始時(shí)地球與末端時(shí)火星間的相角差，每隔15 a 均會(huì)有一次相同的發(fā)射窗口。實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)將此相角差轉(zhuǎn)換為真實(shí)的發(fā)射時(shí)刻。

1.2 地火間的 Lambert 轉(zhuǎn)移

進(jìn)行地火轉(zhuǎn)移時(shí)，探測(cè)器需要在特定的時(shí)間Te?m內(nèi)從地球軌道上的特定位置re轉(zhuǎn)移到火星軌道上的特定位置rm，這個(gè)問題可以用Lambert 轉(zhuǎn)移的解法求解。本文使用Lambert 問題已有的求解程序[12]，僅考慮飛行器轉(zhuǎn)移軌道公轉(zhuǎn)小于一周期的情況。初末位置矢量與轉(zhuǎn)移時(shí)間確定，則Lambert 轉(zhuǎn)移軌道唯一確定。

以圖1 為例，航天器從re轉(zhuǎn)移到rm，轉(zhuǎn)移時(shí)間為Te?m，可以使用求解程序得到航天器的初始速度矢量、末端速度矢量，從而得到相應(yīng)的Lambert 轉(zhuǎn)移軌道(黑色曲線)。由于地球和火星的軌道為共面圓軌道，因此初始的地火Lambert 轉(zhuǎn)移軌道由轉(zhuǎn)移時(shí)間Te?m和相角差完全確定。此外，火地Lambert轉(zhuǎn)移可以進(jìn)行類似求解，轉(zhuǎn)移時(shí)間記為Tm?e。

圖 1 地火 Lambert 轉(zhuǎn)移

1.3 半圈轉(zhuǎn)移軌道

本文以地火半圈轉(zhuǎn)移軌道作為輔助軌道，從而實(shí)現(xiàn)地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道的設(shè)計(jì)與搜索。傳統(tǒng)的自由返回軌道需要在地火Lambert 轉(zhuǎn)移后，經(jīng)過火星引力輔助進(jìn)入Lambert 轉(zhuǎn)移返回，但此種軌道存在剩余速度過大、發(fā)射窗口較少的問題。因此，本文引入了半圈轉(zhuǎn)移軌道作為輔助軌道，即在進(jìn)行引力輔助時(shí)可以選擇進(jìn)入和中心天體周期相同、具有半周期自由返回特性的圓軌道，以選擇合適的返回時(shí)機(jī)降低剩余速度，實(shí)現(xiàn)地?火無動(dòng)力循環(huán)。

設(shè)在引力輔助過程中，航天器僅受行星引力的影響。航天器在飛掠行星前的速度可以分解為行星公轉(zhuǎn)速度Vp與航天器相對(duì)行星的剩余速度V∞的矢量和。由于航天器飛掠時(shí)間較短，飛掠前后Vp近似不變，V∞大小不變，方向改變。調(diào)整航天器近星點(diǎn)的赤經(jīng)赤緯以及高度，可以控制飛掠后V∞的指向。如圖2，由于飛掠后V∞大小不變，方向可以改變，所以飛掠后航天器的速度分布在一個(gè)以Vp終點(diǎn)為球心，V∞大小為半徑的球面A上。

圖2 引力輔助中的速度疊加

球面A與以Vp起點(diǎn)為球心、以Vp大小為半徑的球面B相交，形成交線圓，分布在交線圓上的速度矢量大小與Vp相等。如果引力輔助后的航天器的速度矢量分布在這個(gè)交線圓上，同時(shí)航天器的日心距與行星的日心距相同，根據(jù)以下軌道能量的公式，航天器半長(zhǎng)軸與行星半徑相同，周期與行星的周期相同。

式中a為軌道的半長(zhǎng)軸，μp為中心天體的引力常數(shù)，v為航天器的速度大小，r為航天器與中心天體的距離。

由于航天器位置矢量垂直于Vp，過Vp并垂直于位置矢量的平面一定與交線圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即交線圓上一定存在兩點(diǎn)C、D與位置矢量垂直。則引力輔助后的航天器將進(jìn)入與行星軌道半徑相同的圓軌道，這個(gè)軌道與行星的圓軌道有一定的夾角，其夾角γ可以根據(jù)剩余速度求得。

運(yùn)行在這個(gè)軌道上的航天器半年后會(huì)再次回到行星公轉(zhuǎn)的平面，與原行星交會(huì)。假如微調(diào)軌道，使得航天器在再次交會(huì)時(shí)與原天體保持一定的距離，不受其引力影響，則航天器可以每半年與行星交會(huì)一次。這個(gè)軌道被稱為半圈轉(zhuǎn)移軌道，如圖3。

圖3 半圈轉(zhuǎn)移軌道

2 地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道的設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[2-7]將循環(huán)軌道定義為一個(gè)周期后天體和航天器相對(duì)幾何位置復(fù)原的軌道，其中相對(duì)幾何關(guān)系包括航天器相對(duì)地球的位置以及火星相對(duì)地球的位置。如果在這個(gè)定義下同時(shí)考慮地球與火星的引力輔助作用，則軌道既要滿足時(shí)間約束，又要滿足地?火、火?地轉(zhuǎn)移Lambert 轉(zhuǎn)移的約束，導(dǎo)致問題約束較多，無法尋找到具有使用價(jià)值的循環(huán)軌道。

事實(shí)上，相對(duì)幾何關(guān)系復(fù)原并不是地?火循環(huán)軌道功能的本質(zhì)要求，只要航天器在這個(gè)軌道上能不斷無動(dòng)力往返于地球與火星之間，那么這條軌道就具有同樣的功能。本文考慮放寬地火無動(dòng)力循環(huán)軌道的定義，不再要求這個(gè)軌道具有周期性，能夠不斷無動(dòng)力往返于地球與火星之間即可。

2.1 約束條件

2.1.1 甩擺角(引力輔助高度約束)

圖 4 中δ為航天器進(jìn)行引力輔助時(shí)的甩擺角。計(jì)算公式為

式中，μp為中心天體的引力常數(shù)，rp為雙曲線軌道近星點(diǎn)半徑(也稱甩擺半徑)[13]。

圖4 引力輔助中的甩擺角

當(dāng)剩余速度固定時(shí)，甩擺角越大，則近星點(diǎn)高度rp越小。由于現(xiàn)實(shí)中的地球與火星并不是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，航天器在飛掠的時(shí)候近星點(diǎn)必須在大氣層外，因此甩擺角不能太大。本文要求航天器近星點(diǎn)高度的最小值為200 km。相應(yīng)的甩擺角為最大甩擺角δmax。

定義甩擺角比Tr=δmax/δ，其中δ為實(shí)際甩擺角。如果Tr>1，則引力輔助可行，如果Tr<1，則引力輔助不可行。

2.1.2 剩余速度約束

剩余速度決定了航天器在天體引力場(chǎng)內(nèi)的軌道能量，從天體表面或者近地軌道出發(fā)的航天器要與循環(huán)軌道器進(jìn)行對(duì)接，需要加速使軌道能量近似相等，航天器之間才有可能進(jìn)行對(duì)接。循環(huán)軌道器的剩余速度越高，則接駁航天器要有更強(qiáng)的變軌能力，如此將會(huì)消耗更多的能量。本文考慮將循環(huán)軌道器在地球與火星引力場(chǎng)內(nèi)的剩余速度大小v∞e與v∞m限制在 10 km/s 以內(nèi)，如果進(jìn)行一次地?火或火?地轉(zhuǎn)移后的剩余速度大于10 km/s，則判定此次轉(zhuǎn)移不符合限制條件，航天器進(jìn)入半圈轉(zhuǎn)移軌道等待下一次轉(zhuǎn)移，直到轉(zhuǎn)移之后的剩余速度小于10 km/s。

2.2 計(jì)算步驟

地?火往返過程可以分為以下5 個(gè)步驟：

(1) 從地球轉(zhuǎn)移到火星，初始轉(zhuǎn)移角度為θ0，轉(zhuǎn)移時(shí)間為t0；

(2)在火星軌道上進(jìn)行半圈循環(huán)，等待合適的時(shí)機(jī)進(jìn)行火?地轉(zhuǎn)移；

(3) 從火星轉(zhuǎn)移到地球；

(4)在地球軌道上進(jìn)行半圈循環(huán)，等待合適的時(shí)機(jī)進(jìn)行地?火轉(zhuǎn)移；

(5) 進(jìn)行下一步地?火轉(zhuǎn)移。

2.2.1 從地球轉(zhuǎn)移到火星

設(shè)航天器第一步地?火轉(zhuǎn)移在地球與火星公轉(zhuǎn)平面內(nèi)進(jìn)行，轉(zhuǎn)移具有兩個(gè)自由度，因此定義初始轉(zhuǎn)移角度θ0與初始轉(zhuǎn)移時(shí)間t0為確定第一步地?火轉(zhuǎn)移的兩個(gè)自由變量。同時(shí)定義兩個(gè)參數(shù)θe(t)與θm(t)，作為描述地球與火星位置的參數(shù)，不妨定義θe(0)=0，其中t為航天器在軌道上的運(yùn)行時(shí)間，單位為a。地球與火星在時(shí)刻t時(shí)的坐標(biāo)為

式中，rm為火星公轉(zhuǎn)半徑，單位為AU。地球與火星的公轉(zhuǎn)速度矢量為

式中，ve和vm分別為地球與火星公轉(zhuǎn)的線速度大小。見圖5，可得航天器第一次轉(zhuǎn)移的終態(tài)位置R?為

圖 5 第一次地?火轉(zhuǎn)移 (θ0 =1.3π，t0 =1.62 a)

當(dāng)t= 0 時(shí)地球的坐標(biāo)R+= (1,0,0) AU，則第一步地?火轉(zhuǎn)移的Lambert 方程確定，有唯一解，可以由式(9) 解出轉(zhuǎn)移前后的航天器速度。

式中，L為L(zhǎng)ambert 轉(zhuǎn)移的求解函數(shù)。

同時(shí)可得第一次地?火轉(zhuǎn)移開始時(shí)，火星與地球的相位差θm(0)

計(jì)算得到航天器在地球引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度大小v∞e和航天器在火星引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度大小v∞m

2.2.2 在火星軌道上進(jìn)行半圈循環(huán)

首先計(jì)算火?地轉(zhuǎn)移，以航天器轉(zhuǎn)移前后位置矢量之間的夾角θa為未知數(shù)，θa∈(0,2π)，則第二次轉(zhuǎn)移的初始位置矢量R+為

終態(tài)位置矢量R?為

轉(zhuǎn)移時(shí)間ta為

相應(yīng)的Lambert 轉(zhuǎn)移有唯一解

以θ0=1.3π，t0=1.62 a 時(shí)為例，畫出關(guān)于θa的函數(shù)圖像，見圖6。由于航天器在火星引力場(chǎng)內(nèi)進(jìn)行的是無動(dòng)力的引力輔助，因此引力輔助前后航天器的剩余速度不變，要求由圖可知，這個(gè)方程存在兩個(gè)解，為盡可能減少航天器轉(zhuǎn)移的時(shí)間，本文均取轉(zhuǎn)移時(shí)間較短的解。使用擬牛頓迭代法可以在10 步左右得到θa較為精確的數(shù)值解。計(jì)算得到火 ? 地轉(zhuǎn)移的甩擺角δ=?Vpm+Vpm??以及地球引力場(chǎng)內(nèi)的剩余速度v∞e=|Vpe+?Ve(t0+ta)|。如果δ > δmax即Tr< Trmin或者v∞>10 km/s，則判定此次轉(zhuǎn)移不可行，進(jìn)入火星半圈轉(zhuǎn)移軌道等待下一次窗口(圖7)。如果轉(zhuǎn)移可行，則直接進(jìn)入第三步。

圖 7 進(jìn)入半圈轉(zhuǎn)移軌道 (θ0 =1.3π，t0 =0.8 a)

探測(cè)器進(jìn)入半圈轉(zhuǎn)移軌道的速度為

Tr=?Vm+Vh?，如果Tr<1，則此次循環(huán)軌道終止，無法進(jìn)行下一步轉(zhuǎn)移，退出計(jì)算。若Tr>1，則航天器進(jìn)入半圈轉(zhuǎn)移軌道。

2.2.3 進(jìn)行火?地轉(zhuǎn)移

航天器運(yùn)行半個(gè)周期后，重復(fù)火?地轉(zhuǎn)移的計(jì)算，如果可行，則進(jìn)行火?地轉(zhuǎn)移(圖8)。如果不可行，則繼續(xù)重復(fù)第二步的半圈循環(huán)，定義Nm為航天器在火星半圈轉(zhuǎn)移軌道上等待的次數(shù)。

圖 8 火地轉(zhuǎn)移 (θ0 =1.3π，t0 =1.62 a)

為保證航天器等待的時(shí)間不過長(zhǎng)，限制航天器每次在半圈轉(zhuǎn)移軌道上的等待次數(shù)N不超過10 次。

第四步的計(jì)算過程與第二步類似，航天器在地球半圈轉(zhuǎn)移軌道上循環(huán)，直到存在合適的窗口，定義Ne為航天器在地球半圈轉(zhuǎn)移軌道上的等待次數(shù)。之后進(jìn)行第五步的計(jì)算，與第三步計(jì)算過程類似，進(jìn)行下一步地?火轉(zhuǎn)移。

完成五步計(jì)算之后，從第二步開始進(jìn)行相同步驟的循環(huán)，計(jì)算下一個(gè)地?火循環(huán)，直到參數(shù)滿足算法中的退出條件，停止計(jì)算。

圖9 為計(jì)算的流程圖。

3 地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道計(jì)算結(jié)果

3.1 初始參數(shù)對(duì)范圍

并非所有初始參數(shù)對(duì)(θ0,t0)都能滿足初始的限制要求。令初始地?火轉(zhuǎn)移中地球與火星引力場(chǎng)內(nèi)航天器的剩余速度小于10 km/s，可以得到圖10。圖中實(shí)線區(qū)域內(nèi)的初始參數(shù)對(duì)滿足v∞m<10 km/s，虛線區(qū)域內(nèi)的初始參數(shù)滿足v∞e<10 km/s，取交集，得到圖 11。使用圖 11 區(qū)域中的初始參數(shù)對(duì) (θ0,t0)進(jìn)行遍歷，尋找域內(nèi)的地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道。

圖9 計(jì)算流程圖

圖10 使得剩余速度滿足條件的區(qū)域

圖11 初始參數(shù)對(duì)范圍

3.2 n 次地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道

根據(jù)流程圖所示 (圖 9) 進(jìn)行計(jì)算 (使用 CPU AMD Ryzen 5 4600H，主頻 3.0 GHz，內(nèi)存 8.00 GB配置的筆記本電腦，Matlab 程序運(yùn)行耗時(shí)約 7 h)，得到一系列地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道。挑選其中循環(huán)次數(shù)較多的幾個(gè)軌道，參數(shù)與相關(guān)數(shù)據(jù)列于表1。

以θ0= 1.357π，t0= 0.832 a 為例說明，此軌道為計(jì)算結(jié)果中除Aldrin 循環(huán)軌道外，循環(huán)次數(shù)最多的軌道(圖12)。計(jì)算第一步，可得航天器初始時(shí)刻從地球離開時(shí)速度矢量為(?6.20,31.77,0)km/s，到達(dá)火星時(shí)速度矢量為(19.10,?8.50,0)km/s，地球引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度大小為6.48 km/s，火星引力場(chǎng)內(nèi)的剩余速度大小為3.39 km/s，轉(zhuǎn)移前θe=0，θm=1.48，轉(zhuǎn)移后θe=5.23，θm=4.26。

計(jì)算第二步，首先判斷直接火?地轉(zhuǎn)移的可能性，計(jì)算發(fā)現(xiàn)不存在能夠在一個(gè)軌道周期內(nèi)進(jìn)行火?地Lambert 轉(zhuǎn)移的軌道，于是轉(zhuǎn)入火星半圈轉(zhuǎn)移軌道，等待合適的窗口。根據(jù)式(2)，半循環(huán)軌道與火星運(yùn)行平面的夾角γ= 0.1。循環(huán)結(jié)束后再次嘗試計(jì)算火?地轉(zhuǎn)移。最終在循環(huán)六次 (三個(gè)火星年) 后發(fā)現(xiàn)合適的窗口。此時(shí)θe= 2.87,θm= 4.26，探測(cè)器在火星引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度大小未變，仍然是3.39 km/s。

進(jìn)入第三步，計(jì)算火?地轉(zhuǎn)移的參數(shù)，直接代入相應(yīng)函數(shù)，得到航天器在離開火星時(shí)的速度矢量為 (18.49,?9.90, 0) km/s，到達(dá)地球時(shí)速度矢量為 (?20.55,?25.07, 0) km/s，火星引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度大小為3.39 km/s，地球引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度大小為6.29 km/s，轉(zhuǎn)移結(jié)束時(shí)θe= 0.25，θm= 6.22，轉(zhuǎn)移時(shí)間為212 d。

表1 地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道計(jì)算

圖12 地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道算例

進(jìn)入第四步，首先判斷直接地?火轉(zhuǎn)移的可能性，計(jì)算發(fā)現(xiàn)可以直接轉(zhuǎn)移，跳過第四步進(jìn)入第五步。代入相應(yīng)的Lambert 轉(zhuǎn)移函數(shù)，得到航天器在離開地球時(shí)速度矢量為(?3.13,33.57,0)km/s，到達(dá)火星時(shí)速度矢量為(12.36,?19.3,0)km/s，地球引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度為6.29 km/s，火星引力場(chǎng)內(nèi)剩余速度為 7.19 km/s，轉(zhuǎn)移結(jié)束時(shí)θe=0.95，θm=3.66，轉(zhuǎn)移時(shí)間為406 d。

第五步結(jié)束后，重新開始第二步計(jì)算，進(jìn)行下一次循環(huán)，直到計(jì)算無法進(jìn)行時(shí)，退出程序。

最終該軌道能夠使航天器在地球與火星之間無動(dòng)力往返四次，轉(zhuǎn)移最長(zhǎng)時(shí)間406 d，最短時(shí)間107 d。四次往返中，有兩次火?地轉(zhuǎn)移需要航天器在火星軌道上待機(jī)六個(gè)半圈轉(zhuǎn)移軌道，即三個(gè)火星年，期間航天器可以在軌道上閑置，待最后一次火星半圈轉(zhuǎn)移軌道結(jié)束后，再將人員物資轉(zhuǎn)移到航天器上，進(jìn)行下一次火?地轉(zhuǎn)移。整個(gè)軌道耗時(shí)17.76 a，平均每次循環(huán)耗時(shí)4.44 a，其中第二、第三次循環(huán)各自僅耗時(shí) 1.95 a，2.16 a。

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，循環(huán)軌道周期一般以地火會(huì)合周期(約2.14 a) 為單位，通常有兩個(gè)及以上的會(huì)合周期，一個(gè)軌道周期中，航天器只完成一次地?火軌道相同，優(yōu)于三個(gè)及以上會(huì)合周期的循環(huán)軌道，并且本文提出的地?火循環(huán)軌道中的部分循環(huán)能夠在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行，進(jìn)行地球與火星間的快速轉(zhuǎn)移。

在高精度模型中，本文所提到的地?火轉(zhuǎn)移軌道具有穩(wěn)定性。舉例而言，上文中初始參數(shù)θ0=1.357π，t0= 0.832 a 的軌道在高精度軌道中漂移至θ0=1.352π，t0=0.822 a，誤差較小。

航天器完成該軌道時(shí)，可以通過變軌進(jìn)入新的循環(huán)軌道或停泊進(jìn)入地球環(huán)繞軌道，執(zhí)行下一個(gè)任務(wù)。

4 總結(jié)

本文在前人基礎(chǔ)上，考慮地球與火星引力輔助效應(yīng)，引入半圈轉(zhuǎn)移軌道，在剩余速度與引力輔助近星點(diǎn)半徑的限制下，給出一種新的地?火無動(dòng)力循環(huán)軌道算法。利用初始轉(zhuǎn)移角度與初始轉(zhuǎn)移時(shí)間這兩個(gè)自由參數(shù)進(jìn)行遍歷計(jì)算。算例表明，存在能夠在18 年間于地球與火星之間無動(dòng)力往返4 次的循環(huán)軌道，效率較高。這些軌道能夠作為未來地球與火星之間客運(yùn)、貨運(yùn)的備選軌道，從而減少航天器燃料消耗，降低運(yùn)輸成本。