比較，讓數(shù)學(xué)概念更清晰

劉三榮

數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。小學(xué)生對概念的理解和掌握程度影響其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯思維能力和解決實(shí)際問題能力的形成與提升。在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷比較過程，幫助學(xué)生透徹地理解數(shù)學(xué)概念。

一、比較中求異，厘清概念區(qū)別

有比較才有鑒別。比較是確定事物之間相同點(diǎn)和相異點(diǎn)的一種重要思維方法，是小學(xué)生客觀、全面地認(rèn)識數(shù)學(xué)概念的重要途徑之一。從某種意義上說，學(xué)生的一切學(xué)習(xí)活動都離不開比較。比較可以幫助學(xué)生較好地辨析數(shù)學(xué)概念的異同，把握概念的本質(zhì)屬性。在概念相似之處很明顯的情況下，教師要致力于引導(dǎo)學(xué)生求異，也就是要在比較概念中發(fā)現(xiàn)其各自的個性。

如在比較周長和面積概念的不同之處時，我先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，再全班交流，最后發(fā)現(xiàn)他們的意義、單位和計(jì)算公式都不同。比較意義時，一位學(xué)生指著長方形說：“周長是它一周邊線的長度;面積是它表面的大小。”隨后，大家形成共識——周長指長方形四條邊的長度，面積指長方形面的大小。比較單位時，我拿出一把直尺、一根1分米長的小棒和面積1平方分米的正方形紙片。學(xué)生用直尺或小棒測量長方形周長，用正方形紙片測量長方形面積，并說明測量長方形周長其實(shí)就是計(jì)數(shù)周長有多少分米，測量面積其實(shí)就是計(jì)數(shù)鋪滿長方形的紙片有多少個1平方分米。在此基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)學(xué)生分別想象米、分米、厘米以及平方米、平方分米、平方厘米的大小。

用比較的方法讓學(xué)生逐步建立空間表象，能促使他們加深對幾何概念的認(rèn)識。學(xué)生在思考、交流和操作中形成了面積單位和長度單位的表象。善于利用比較的方法，有助于突出概念的認(rèn)知重點(diǎn)，有助于突破概念理解的難點(diǎn)，從而防止學(xué)生混淆概念，提高辨別能力。

二、比較中求同，了解概念共性

只要有恰當(dāng)?shù)闹薪椋藗兙湍馨褍蓚€毫不相關(guān)的事物或密切相關(guān)的事物聯(lián)系起來，進(jìn)行比較。求同是學(xué)生在不同數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較中發(fā)現(xiàn)共性的過程。一般而言，在概念的不同之處較為明顯的情況下，教師要致力于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在比較中求同。

如在學(xué)生比較周長和面積，發(fā)現(xiàn)其不同之處后，可以引導(dǎo)他們思考兩者之間有沒有相同之處。經(jīng)過獨(dú)立思考、反復(fù)討論和交流，他們最終發(fā)現(xiàn)：周長和面積都是基于封閉圖形而言的，否則就不用計(jì)算周長或面積（比如角）;一般情況下，計(jì)算周長和面積都要帶單位、計(jì)算長方形的周長和面積都需要知道長和寬。

理解數(shù)學(xué)概念的過程離不開學(xué)生對不同概念之間的相互比較。比較思維是學(xué)生進(jìn)行辨證思維的主要形式。在比較中既求異又求同，符合學(xué)生認(rèn)識概念的一般規(guī)律。雖然學(xué)生發(fā)現(xiàn)周長和面積的相同點(diǎn)有一定難度，但這恰恰是知識的本質(zhì)。讓學(xué)生學(xué)會對不同概念之間發(fā)現(xiàn)相同點(diǎn)，有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。

三、比較中判斷，溝通概念聯(lián)系

弄清概念的內(nèi)涵與外延是學(xué)生正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念的標(biāo)準(zhǔn)之一。理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，就要把概念的本質(zhì)屬性揭示并表達(dá)出來;厘清數(shù)學(xué)概念的外延，就要理解概念間的相互聯(lián)系。如可以通過判斷練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從概念的正、反兩方面進(jìn)行理解，進(jìn)一步讓學(xué)生建立準(zhǔn)確的周長和面積概念，突出概念的本質(zhì)屬性，明確概念的外延，幫助學(xué)生在溝通概念之間的聯(lián)系中理解周長和面積的本質(zhì)。

首先，可以出示3個問題讓學(xué)生判斷：如果平面圖形的周長越大，它的面積就越大嗎？如果長方形的周長相同，它們的面積就相等嗎？如果長方形面積相同，它們的周長就一定相等嗎？判斷第1個問題時，學(xué)生都否定了。有的學(xué)生畫出長10厘米、寬2厘米的長方形與邊長6厘米的正方形進(jìn)行比較，結(jié)果他們的周長相等，但長方形的面積較小;有的學(xué)生在一個長方形里畫出周長大但面積小的圖形，說明周長越大的圖形面積不一定大。判斷第2個問題時，一位學(xué)生舉例說明：用20米長的籬笆圍一個羊圈，可以分別圍成長9米寬1米、長8米寬2米、長7米寬3米、長6米寬4米的長方形，還可以圍成邊長5米的正方形。這些圖形周長相等、面積不同;長和寬越接近，面積越大;長和寬相等時，面積最大。判斷第3個問題時，我要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個面積是40平方米的游樂場，并計(jì)算它的周長。學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)并交流后發(fā)現(xiàn)，長方形面積一定（或相等）時，長和寬越接近，周長就越小。

概念是思維的“細(xì)胞”。如果沒有數(shù)學(xué)概念或者無法正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念，學(xué)生就無法進(jìn)行正確判斷或推理。解決以上3個問題時，學(xué)生要對周長和面積的概念十分清楚，才能進(jìn)行判斷和推理。組織學(xué)生用判斷的方式辨析概念，可以加深他們對概念的理解，從而幫助學(xué)生理順平面圖形周長和面積之間的關(guān)系，促進(jìn)概念的內(nèi)化。

四、比較中應(yīng)用，形成概念結(jié)構(gòu)

應(yīng)用概念有助于學(xué)生鞏固和加深對概念的認(rèn)識，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程其實(shí)就是不斷利用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行比較、分析、綜合、概括、判斷、推理的思維過程。教師要從發(fā)展學(xué)生思維的角度，精心設(shè)計(jì)練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用中鞏固和加深對數(shù)學(xué)概念的理解。其中，最重要的應(yīng)用是根據(jù)所學(xué)概念解決實(shí)際問題。

基于此，在此較長方形和正方形的面積概念時可以設(shè)計(jì)這樣的三道練習(xí)題：

1.一塊長方形菜地，長20米，寬10米。這塊菜地的周長和面積各是多少？

2.一副長方形“十字繡”長50厘米，寬30厘米。給這幅“十字繡”做一個畫框，至少需要多長的木條和多大的玻璃？

3.下面的圖形都是用邊長1厘米的正方形拼成的，你能分別求出它們的周長和面積嗎？

學(xué)生獨(dú)立練習(xí)后，我引導(dǎo)他們交流并比較：第1題是基本應(yīng)用，只要直接利用周長和面積公式進(jìn)行計(jì)算即可;第2題是變式應(yīng)用，求木條長度就是求長方形周長、求需要的玻璃就是求長方形面積，這樣有助于學(xué)生加深對周長和面積的理解，使學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中對周長和面積的內(nèi)涵與外延有了更多認(rèn)識;第3題是拓展應(yīng)用，有助于學(xué)生在知識拓展與靈活運(yùn)用過程中內(nèi)化周長和面積的意義。這三道題雖然都要分別求出各自的周長和面積，但思維層次不同，計(jì)算方法也不盡相同。

學(xué)生在運(yùn)用概念時會先有判斷、比較，不會盲目使用，遇到客觀存在的現(xiàn)象，會有一定的數(shù)學(xué)敏感性。組織學(xué)生在應(yīng)用中比較周長和面積概念，不僅能加深他們對周長和面積意義的理解與鞏固，而且能幫助他們完善周長和面積的知識鏈，最終有效促使學(xué)生形成完整的概念認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）