基于突變理論的筒形基礎(chǔ)豎向承載力研究

張 偉，田新然

(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300072)

隨著人類文明的不斷發(fā)展，能源短缺問題已日漸顯現(xiàn)，為了獲得更多的能源資源，人類將目光放在了海上，海洋油氣平臺(tái)便成為了承擔(dān)開采資源功能的重要基礎(chǔ)設(shè)施．傳統(tǒng)的海洋平臺(tái)基礎(chǔ)形式分為樁基導(dǎo)管架式和重力式，由于其昂貴的造價(jià)和漫長(zhǎng)的施工工期已不再適用，因此研發(fā)一種經(jīng)濟(jì)、高效的新型海洋平臺(tái)基礎(chǔ)迫在眉睫．筒形基礎(chǔ)作為一種新型的海洋平臺(tái)基礎(chǔ)形式，具有安裝簡(jiǎn)單、重量輕、形式簡(jiǎn)單、可重復(fù)使用等優(yōu)點(diǎn)，因此發(fā)展前景廣闊[1-6]．

傳統(tǒng)的海洋基礎(chǔ)穩(wěn)定性主要側(cè)重于地基豎向極限承載力的研究，因此研究筒形基礎(chǔ)的極限承載力便成為一個(gè)熱點(diǎn)問題，不過由于筒形基礎(chǔ)多用于承載條件差的軟黏土地基上，海底土體強(qiáng)度較弱，地質(zhì)條件難以確定，而且筒形基礎(chǔ)較傳統(tǒng)的淺基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜，常用的地基設(shè)計(jì)方法并不能直接應(yīng)用于筒形基礎(chǔ)上．目前常用的筒形基礎(chǔ)地基承載力確定方法主要包括：極限平衡法、三維破壞包絡(luò)面法、有限元法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、上限與下限分析法等[7-12]．利用突變理論解決地基承載力問題目前還是一個(gè)新興領(lǐng)域，但是突變理論在解決其他問題中已經(jīng)得到了應(yīng)用，如李強(qiáng)等[13]將突變理論應(yīng)用于重力壩抗滑失穩(wěn)的分析中，并以能量、位移及塑性屈服區(qū)面積作為突變判據(jù)建立了重力壩系統(tǒng)的突變模型；姚仲濤[14]以突變理論為基礎(chǔ)，以有限元數(shù)值分析方法為手段，對(duì)地下洞室圍巖穩(wěn)定狀況提供一個(gè)量化的指標(biāo)；任智敏[15]基于尖點(diǎn)突變理論并結(jié)合巷頂板組合梁力學(xué)模型，建立了大跨度巷道頂板系統(tǒng)的失穩(wěn)判據(jù)；蔡函珂等[16]通過建立勢(shì)能函數(shù)方程，計(jì)算解析得出土釘抗拔極限承載力的計(jì)算公式；王新泉等[17]將尖點(diǎn)突變理論應(yīng)用于基樁極限承載力判定及預(yù)測(cè)中，建立了基樁極限承載力判定及預(yù)測(cè)的尖點(diǎn)突變模型．

本文將突變理論引入筒形基礎(chǔ)豎向承載力的計(jì)算中，分別采用理論方法和經(jīng)驗(yàn)方法推導(dǎo)基礎(chǔ)的突變模型，由此判斷筒形基礎(chǔ)的失穩(wěn)點(diǎn)和極限承載力．

1 突變理論

突變理論是以拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)理論為主要數(shù)學(xué)工具，對(duì)不連續(xù)現(xiàn)象做定性研究的一個(gè)新型數(shù)學(xué)分支[18].突變理論的基本思想是基于分叉理論，對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性狀態(tài)進(jìn)行分析，研究系統(tǒng)如何在參數(shù)的連續(xù)性變化過中，發(fā)生狀態(tài)的不連續(xù)、跨越式變化，而引起系統(tǒng)整體穩(wěn)定性狀態(tài)的突變的規(guī)律[14]．當(dāng)導(dǎo)致突變的控制變量不超過 4 個(gè)時(shí)，自然界中形形色色的突變過程，都可以用 7 種最基本的初等突變模型去把握，這7 種突變模型包括：折疊型、尖點(diǎn)型、燕尾型、蝴蝶型、雙曲型、橢圓形、拋物型[19]．其中尖點(diǎn)突變模型是比較常用的形式，目前已被應(yīng)用于隧道圍巖穩(wěn)定性、重力壩抗滑穩(wěn)定、邊坡穩(wěn)定性、巷道頂板穩(wěn)定等工程問題．尖點(diǎn)突變理論的勢(shì)函數(shù)是

式中：x 為狀態(tài)變量：μ 、ν 為控制變量，故相空間是三維的，這個(gè)勢(shì)函數(shù)的臨界點(diǎn)方程，即平衡曲面是

方程的奇點(diǎn)集滿足

聯(lián)立方程(2)、(3)，消去x 得到分叉集 Δ =8μ3+27ν2= 0．尖點(diǎn)突變理論勢(shì)函數(shù)(平衡曲面)和控制變量平面如圖1 所示．

由圖1 可知，該突變模型的模態(tài)是一個(gè)三維連續(xù)曲面，如果某一勢(shì)函數(shù)下的狀態(tài)由一個(gè)點(diǎn)表示，那么這個(gè)點(diǎn)始終處于平衡曲面上．平衡曲面內(nèi)部發(fā)生彎曲折疊，分叉集(Δ= 0)即為褶皺面在(μ ,ν )平面上的投影．曲面分為上葉、中葉、下葉，分別代表了系統(tǒng)可能的 3 個(gè)平衡位置，且平衡點(diǎn)數(shù)量不同．在中葉，平衡點(diǎn)是勢(shì)函數(shù)的極大值，所以中葉不穩(wěn)定，上、下葉平衡點(diǎn)是勢(shì)函數(shù)的極小值，所以穩(wěn)定，當(dāng)一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)從上葉向下葉或從下葉向上葉轉(zhuǎn)換時(shí)，如果經(jīng)過褶皺面，則必然發(fā)生突變．因此褶皺面所對(duì)應(yīng)的分叉集直接為尖點(diǎn)突變提供了判斷依據(jù)[20-21]．當(dāng)0Δ ＞ ，對(duì)應(yīng)分叉集外部區(qū)域，每一組μ 、ν 對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)平衡點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)0Δ ＜ ，對(duì)應(yīng)分叉集內(nèi)部區(qū)域，每一組μ 、ν 對(duì)應(yīng)3 個(gè)平衡點(diǎn)，系統(tǒng)失穩(wěn)，發(fā)生突變．

圖1 尖點(diǎn)突變的一般形態(tài)Fig.1 General form of cusp mutation catastrophe

突變理論的使用主要包括理論方法和經(jīng)驗(yàn)方法，理論方法是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢黻U釋和精確的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，直接得到系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式；經(jīng)驗(yàn)方法是根據(jù)一系列已知數(shù)據(jù)反演得到勢(shì)函數(shù)[15]．第 2、3 節(jié)分別對(duì)兩種方法進(jìn)行描述，并于第4 節(jié)分別基于兩種方法進(jìn)行具體的算例分析．

2 基于筒基總勢(shì)能的尖點(diǎn)突變模型

假設(shè)筒基的 -P s 曲線符合方程[17]

式中：P 為筒形基礎(chǔ)承受的豎向作用力，Pa；s 為筒形基礎(chǔ)的豎向位移；λ 、a 為參數(shù)，可由 -P s 曲線擬合得出．

取整個(gè)筒基作為研究對(duì)象，根據(jù)功能增量原理，當(dāng)筒基豎向位移為s 時(shí)，所受荷載勢(shì)能改變量V 為基礎(chǔ)所受外力做功之和，即

式中：if 為i 層土筒周表面的摩阻力系數(shù)；iA 為i 層土筒側(cè)面積；dq 為筒端承載力；pA 為筒端面積；G 為筒體重量．

將 ( )P s 在12s a= 處用 Taylor 級(jí)數(shù)展開，取前 3次項(xiàng)，后面的高次項(xiàng)取消，得到

由此得到分叉集

根據(jù)尖點(diǎn)突變模型可知，只有當(dāng)0μ ＜ 時(shí)，分叉集方程才能成立，經(jīng)擬合試算λ 為恒大于零的實(shí)數(shù)，因此μ 確實(shí)小于零，滿足尖點(diǎn)突變的要求[16]．

當(dāng)0Δ= 時(shí)，系統(tǒng)介于穩(wěn)定與不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，此時(shí)由式(9)可求得臨界失穩(wěn)點(diǎn)

代入式(4)即可求得筒形基礎(chǔ)的極限承載力．

3 以位移為判據(jù)的尖點(diǎn)突變模型的構(gòu)建

本節(jié)根據(jù)數(shù)值模擬的結(jié)果或?qū)崪y(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，由其對(duì)應(yīng)的突變類型，推導(dǎo)出相應(yīng)的控制變量和分叉集，由此判斷系統(tǒng)是否發(fā)生突變，因此尖點(diǎn)突變模型的構(gòu)建核心即為系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)的推導(dǎo)．這一步可以分為確定突變判據(jù)和反演勢(shì)函數(shù)兩個(gè)步驟．

筒形基礎(chǔ)在承受荷載的過程中，必然伴隨著筒基位移、土體塑性應(yīng)變、等效應(yīng)力、系統(tǒng)應(yīng)變能等的變化，因此將位移、塑性應(yīng)變、等效應(yīng)力、應(yīng)變能作為突變判據(jù)．本節(jié)僅以位移判據(jù)為例，推導(dǎo)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)．因?yàn)殇撏驳淖冃魏苄。赃x取筒蓋的平均位移代表整個(gè)筒體的位移，在模擬筒形基礎(chǔ)漸進(jìn)失穩(wěn)的過程時(shí)采用超載法，初始荷載視具體的工程而定，超載系數(shù)k 取值從1 開始遞增，通過有限元軟件計(jì)算得出每一個(gè)超載系數(shù)k 下對(duì)應(yīng)的筒體位移δ ，再將其進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，由Taylor 展開，取前4 次項(xiàng)得[21]

式中1a 、2a 、3a 、4a 均為待定的多項(xiàng)式系數(shù)．

設(shè)k p q= - ，34/4=q a a ，則上式化為

其中

根據(jù)尖點(diǎn)突變理論，可得筒形基礎(chǔ)系統(tǒng)失穩(wěn)判據(jù)的判別式為

當(dāng)0Δ ＞ 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)0Δ ≤ 時(shí)系統(tǒng)失穩(wěn)．

4 算例分析

4.1 數(shù)值計(jì)算分析模型

采用ANSYS 程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算模型的筒直徑 D = 0 .4 m ，筒高 h = 0 .4 m，壁厚 t = 0 .003 m，地基土體區(qū)域取為圓柱體，水平向取 8 倍筒徑，豎向取4 倍筒高，經(jīng)過試算，這樣的地基土體計(jì)算區(qū)域可消除邊界效應(yīng)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響．

計(jì)算中，筒體采用線彈性模型，彈性模量取為2.1 × 1 08kPa ，泊松比0.3．土體采用Drucker-Prager 模型，土體重度取 1 6 kN/m3，彈性模量取730 kPa ，泊松比0.4，黏聚力3.4 kPa，內(nèi)摩擦角取為4°．

根據(jù)筒形基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)和承受荷載的對(duì)稱性，同時(shí)為了減小計(jì)算量，取一半的筒形基礎(chǔ)和其周圍土體作為計(jì)算區(qū)域，筒體和地基均采用六面體八節(jié)點(diǎn)的solid45 實(shí)體結(jié)構(gòu)單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共劃分 26 152個(gè)單元．接觸設(shè)置中，筒體外壁與土體采用摩擦接觸，摩擦系數(shù)取為 0.5，筒體內(nèi)壁與內(nèi)部土體采用粗糙接觸，其余均設(shè)置為綁定接觸，接觸行為采用基于罰函數(shù)的方法．有限元計(jì)算模型如圖2 所示．

圖2 有限元計(jì)算模型Fig.2 Finite element model

4.2 加載情況

初始荷載設(shè)置為 1 000 N，對(duì)應(yīng)超載系數(shù) k = 1，以0.02 作為步長(zhǎng)，逐級(jí)增加荷載，計(jì)算出每一超載系數(shù)對(duì)應(yīng)的位移δ ，直至模型不再收斂．當(dāng)超載系數(shù)為ki時(shí)，取 ki-2到 ki+2所對(duì)應(yīng)的位移進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，求出尖點(diǎn)突變模型標(biāo)準(zhǔn)形式中的控制變量μ 、ν 和分叉集Δ，然后對(duì)此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行判定．

4.3 計(jì)算結(jié)果

經(jīng)過計(jì)算，得到的超載系數(shù)與筒體位移的規(guī)律見圖 3．

圖3 超載系數(shù)與筒體位移的關(guān)系Fig.3 Relations between overload coefficient and displacement

將數(shù)據(jù)按照第 4.2 節(jié)的方法進(jìn)行擬合，并帶入公式(12)～(19)，求出每組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的a、b、Δ 值，計(jì)算結(jié)果見表1(篇幅所限，且k 在1 ～2.3之間時(shí)位移變化平緩，并未發(fā)生突變，故僅選取k 在2.3 ～2.8之間).

通過表1 的計(jì)算結(jié)果可知，筒形基礎(chǔ)在超載系數(shù)k = 2 .62時(shí)，Δ =- 1 .557 × 1 0-6＜ 0，此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生突變，即筒形基礎(chǔ)在此刻失穩(wěn)，豎向極限承載力為2 620 N．

表1 位移判據(jù)Tab.1 Criterion of displacement

續(xù)表1

按照上述方法，分別計(jì)算塑性應(yīng)變判據(jù)、等效應(yīng)力判據(jù)、應(yīng)變能判據(jù)所對(duì)應(yīng)的控制變量和分叉集，為了節(jié)約篇幅，本文僅列出3 種判據(jù)所對(duì)應(yīng)的有限元計(jì)算結(jié)果和分叉集，計(jì)算結(jié)果見表2．

表2 3種判據(jù)的計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation results of three criteria

基于筒基總勢(shì)能的尖點(diǎn)突變模型，得到擬合曲線，見圖 4．其中 λ = 1 39 000， a =0.052 53， P=820.2 N．

4.4 結(jié)果分析

圖4 擬合曲線Fig.4 Fitting curve

筒形基礎(chǔ)作為一種新型的結(jié)構(gòu)形式，并沒有專用的標(biāo)準(zhǔn)和規(guī)范，但由于其結(jié)構(gòu)形式和受力方式與樁基類似，因此可近似采用樁基規(guī)范來指導(dǎo)計(jì)算，常用方法為 API 半經(jīng)驗(yàn)公式[22-23]；Hesar[24]、Vesic[25]將筒形基礎(chǔ)的豎向位移達(dá)到0.1D(D 為筒直徑)時(shí)所對(duì)應(yīng)的豎向荷載，確定為軟黏土地基上單筒基礎(chǔ)的豎向極限承載力．

武科[26]在 Vesic 地基豎向承載力基礎(chǔ)上，將Deng 與Carter 針對(duì)吸力式沉箱抗拔力求解方法運(yùn)用到吸力式桶形基礎(chǔ)單桶基礎(chǔ)抗壓承載力計(jì)算中，并考慮到土體與桶壁之間的黏結(jié)作用 π LDSu，則可以將單桶基礎(chǔ)的豎向極限承載力表示成為

式中：A 為筒形基礎(chǔ)底面積；Su為黏性土完全不排水抗剪強(qiáng)度；Nc= 2 +π為不排水土體的承載力系數(shù)；ξs= 1 .2為圓形基礎(chǔ)承載力的形狀修正系數(shù)；ξd= 1 + 0 .4arctan( L/D )為基礎(chǔ)承載力的埋深修正系數(shù)，L /D 為桶形基礎(chǔ)長(zhǎng)徑比．

將上述 3 種豎向極限承載力確定方法的計(jì)算結(jié)果與尖點(diǎn)突變模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，為防止結(jié)果的偶然性，增加 4 組不同尺寸的計(jì)算模型進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表3 所示．

表3 突變理論方法與理論方法的對(duì)比Tab.3 Comparison of catastrophe theory and theoretical method

如圖5 所示，第2 節(jié)所介紹的基于總勢(shì)能的突變模型計(jì)算結(jié)果與常用的理論公式誤差很大，主要原因是筒形基礎(chǔ)的受力情況復(fù)雜，不能直接推導(dǎo)出精確的勢(shì)能公式，故不推薦使用；而第 3 節(jié)中4 種突變判據(jù)對(duì)應(yīng)的計(jì)算結(jié)果誤差較小，表明本文基于突變理論計(jì)算筒形基礎(chǔ)的豎向極限承載力以及 4 種突變判據(jù)的選擇是可行的．

圖5 8種方法對(duì)比Fig.5 Comparison of 8 methods

5 結(jié) 語

常用的地基承載力公式，如太沙基公式、朗肯公式、普朗特爾公式等并不能完全適用于筒形基礎(chǔ)，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相差較大，而且涉及參數(shù)眾多．而大多數(shù)筒形基礎(chǔ)理論計(jì)算公式均參考樁基規(guī)范，方法存在不足之處，因?yàn)橥瑯痘啾龋残位A(chǔ)埋深較淺，并且筒形基礎(chǔ)內(nèi)部的土體同樣會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響，而樁基規(guī)范并不涉及內(nèi)部土體的影響，所以最終結(jié)果會(huì)有偏差．本文采用的基于 4 種判據(jù)突變理論解法不用考慮筒體形狀、尺寸、埋深、內(nèi)部土體等因素的影響，只需將數(shù)值模擬的結(jié)果帶入突變理論模型，即可得出相應(yīng)的地基極限承載力．突變理論作為一種新型方法，同樣也存在不足，突變理論的準(zhǔn)確性取決于系統(tǒng)勢(shì)函數(shù)的精確度，而通過已有數(shù)據(jù)反演的方式得到的勢(shì)函數(shù)會(huì)因?yàn)檫x取的步長(zhǎng)不同而存在誤差，因此，選取合適的步長(zhǎng)就成了解決問題的關(guān)鍵．另外，除了本文所提及的4 種判據(jù)之外，尋找更加精確的判據(jù)也成為今后研究的重點(diǎn)．