食餌染病的交錯(cuò)擴(kuò)散捕食模型整體解的存在性和漸近性

陳清婉, 柳文清

(閩南科技學(xué)院,福建 泉州 362300)

本文討論高維情形下食餌帶有疾病且具有交錯(cuò)擴(kuò)散的捕食-食餌模型:

(1)

假設(shè)Ω?Rn是具有光滑邊界的有界區(qū)域,齊次Neuuman邊界條件表明整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)是封閉的.u1,u2,v分別表示染病食餌、未染病食餌以及捕食者種群密度函數(shù);a1,a2分別表示食餌種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,a3可以為負(fù),其他參數(shù)均為正數(shù);b1,b2分別表示捕食者對(duì)食餌捕食的捕獲率,疾病只在食餌之間傳播并且假設(shè)捕食者也捕食染病食餌,疾病傳播率為r;β1,β2表示食餌轉(zhuǎn)化為食物的轉(zhuǎn)化率,在文中,總是假設(shè)β1>β2.d1,d2,d3表示3種群的擴(kuò)散率,它是由空間分布不均勻引起的擴(kuò)散;a11,a22,a33表示由于群內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)而引起自擴(kuò)散,a31,a32是交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù),它是由種群間相互作用引起的擴(kuò)散.一般認(rèn)為:一種群帶正的交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)表示該種群從另一種群密度高的地方向密度低的地方擴(kuò)散,模型(1)中具體表現(xiàn)為食餌的集體防御捕食者,而一種群帶負(fù)的交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)表示該種群從另一種群密度低的地方向密度高的地方擴(kuò)散,模型(1)中具體表現(xiàn)為食餌的逃離捕食者.

兩種群Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)型交錯(cuò)擴(kuò)散模型首次由Shigesada-Kawasaki-Teramoto[1]提出,其局部解的存在唯一性由Amann在文獻(xiàn)[2—4]中給出,然而古典解的整體存在性至今仍然沒(méi)有解決,證明的難點(diǎn)主要在于交錯(cuò)擴(kuò)散的影響.近年來(lái),很多學(xué)者研究了一些特殊情形下交錯(cuò)擴(kuò)散模型整體解的存在性.例如去掉一些交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)且空間維數(shù)有限(n<6)時(shí)古典解的整體存在性(參考文獻(xiàn)[5—8]),或者在一維情形且交錯(cuò)擴(kuò)散矩陣正定時(shí)古典解的整體存在性(參考文獻(xiàn)[9—10]),證明的方法主要是能量估計(jì)和bootstrap技巧.文獻(xiàn)[11]考慮了一類帶Holling Ⅱ型反應(yīng)函數(shù)的捕食食餌交錯(cuò)擴(kuò)散模型,利用文獻(xiàn)[12]中命題2.1,證明了空間維數(shù)n<10時(shí)古典解的整體存在性.本文將討論模型(1)古典解的整體存在性,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明解的漸近性.其主要結(jié)果如下:

定理2當(dāng)下列條件滿足時(shí):

E*是全局漸近穩(wěn)定的.

1 整體解的存在性

記QT=Ω×(0,t),t∈(0,T),先證明如下引理.

引理1設(shè)(u1,u2,v)是問(wèn)題(1)的解,則存在正常數(shù)M0,M1,M2使

0≤u1≤M0, 0≤u2≤M1,

引理4存在正常數(shù)C3(T),C4(T)使得

W1t=(d1+2a11u1)ΔW1+

u1(a1-u1-b1v+ru2)W1.

證明將方程組中的第3個(gè)方程兩端同時(shí)乘以qvq-1并在Ω上積分可得

β1b1u1+β2b2u2)dx.

(2)

上式在(0,t)積分得

(3)

注意到

(4)

從而

由H?lder不等式和Poincare不等式可得

(5)

由H?lder不等式結(jié)合引理4可得

同理

所以

(6)

將(4)～(6)式代入(3)式中,整理可得

(7)

(8)

則有

(9)

2 解的漸近性質(zhì)

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知,當(dāng)下列條件滿足時(shí):

β1≥β2,

a2β2b1b2-rb2a3>0,

a1β1b1b2+rb1a3>0,

D3=(r2+1)a3+a1β1b1+

(β1b1r+β2b2)a2-β1a1b2r>0,

系統(tǒng)(1)有唯一正平衡解

定理2的證明定義Lyapunov函數(shù):

在t>0求導(dǎo)可得

利用格林公式化簡(jiǎn)可得

(a31u1+a32u2)v*v](v2)-1dx-

取λ=β1,ρ=β2,結(jié)合定理?xiàng)l件并利用Young不等式可得