球帶上LAPLACE算子第一特征值的一些性質(zhì)*

呂 康，黃振友

(南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094)

0 引 言

考慮

Δu+λu=0

(1)

u=0,?x∈?Ω

(2)

其中,Ω為三維歐氏空間單位球上的球帶，Ω={x:ξ≤φ≤η,0≤θ≤2π}。上述問題有可數(shù)個(gè)單調(diào)遞增的特征值滿足:

0<λ1<λ2≤…≤λn≤…

且λn→∞(n→∞)(稱λ1為第一特征值或最小特征值)。由最大-最小原理，對(duì)于比較靠前的特征值相對(duì)來說更容易處理。尤其是λ1,λ2，它們與粒子在某一場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所具有的能級(jí)有關(guān)[1]。SHEN和SHIEH[2]得到當(dāng)Ω的面積不變，ξ逐漸增加時(shí)式(1)(2)的最小特征值嚴(yán)格增加的結(jié)果，且當(dāng)Ω關(guān)于赤道平面對(duì)稱時(shí)達(dá)到最大；SHIEH[3]得到當(dāng)Ω面積在小于等于2π時(shí)，第二特征值也在它關(guān)于赤道平面對(duì)稱的時(shí)候最大(但是這里并沒有得到單調(diào)性)；RAMM和SHIVAKUMAR[4]考慮Ω=D1(0)Dr(h),其中 0

考慮

(3)

1 主要結(jié)果和證明

假設(shè)Ω的面積為S=2πA,考慮當(dāng)A固定，隨著ξ的增加,式(3)的第一特征值λ1的變化趨勢(shì)是怎樣的。對(duì)于式(3)中的Robin型邊條件，不難得到它實(shí)際上等價(jià)于

(4)

用分離變量法，令u=f(φ)g(θ),由式(3)及(4)得

g″(θ)+c2g(θ)=0

g(j)(0)=g(j)(2π),j=0,1

(5)

(6)

f′(ξ)-σf(ξ)=f′(η)+σf(η)=0

(7)

式(5)的解顯然是清楚的，考慮式(6)(7)。對(duì)于經(jīng)典的Sturm-Liouville方程，特征值可以用Rayleigh商表達(dá)出來，因此需要將式(6)作變換，使它呈經(jīng)典的Sturm-Liouville方程形式。

引理1 對(duì)于形如

y″+py′+qy+λy=0,y(0)=y(1)

的方程,若p∈L[0,1],則可以通過適當(dāng)變換將其變換為經(jīng)典的Sturm-Liouville方程的形式，即形如DpDy+qy+λy=0,y(0)=y(l)的方程。

證明作變換:

f(0)=f(l)=0

可得證。

根據(jù)引理1，可以將式(6)變?yōu)橄胍男问?。作變換：

h(x)=f(φ)

則有

(8)

sinξh′(0)-σh(0)=sinηh′(A)+σh(A)=0

(9)

由Courant節(jié)點(diǎn)域定理不難得到當(dāng)c2=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的式(6)(7)的最小特征值是式(3)的第一特征值，即

σsinξh2(0)+σsinηh2(A)}

H(ξ)=

因此有λ1≤H(ξ),H(a)=λ1(a)。猜想當(dāng)Ω關(guān)于赤道對(duì)稱的時(shí)候,λ1達(dá)到最大值。為了得到這個(gè)結(jié)果,比較直觀的想法是比較H(ξ)和H(a)的關(guān)系。于是便有下述定理：

定理1 式(3)中，若Ω面積固定為2πA不變，當(dāng)Ω關(guān)于赤道對(duì)稱時(shí)，λ1最大。

證明只需證明H′(ξ)>0,?ξ∈(0,a)即可。這樣便有

λ1≤H(ξ)

事實(shí)上，

而?ξ∈(0,a),cotξ+cotη>0, 于是

證畢。

引理3 考慮

{p(x;t)y′(x;t)}′+λy(x;t)=0,x∈(0,1)

y′(0;t)-h1(t)y(0;t)=y′(1;t)+h2(t)y(1;t)=0

其中t∈[0,1]為參數(shù),p(x;t),h1(t),h2(t)≥a>0,且p(x;t)一階偏導(dǎo)都連續(xù)，h1(t),h2(t)為光滑函數(shù)，則它的特征值關(guān)于t連續(xù)(如果沒有特別說明，求導(dǎo)默認(rèn)對(duì)x求導(dǎo))。

證明利用最大-最小原理，類似于文獻(xiàn)[6]定理6.10可證。

引理4 設(shè)u(x;t)滿足：

{p(x;t)y′(x;t)}′+λy(x;t)=0,x∈(0,1)

y′(0;t)=h1(t);y(0;t)=1

若引理3中的條件成立，則u(x;t),u′(x;t)連續(xù)。

證明利用常數(shù)變易法，設(shè)

是該問題對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)解。

不難得到

(10)

由邊條件有

c1(t)=u(0;t)=1

c2(t)=u′(0;t)p(0;t)=h1(t)p(0;t)

(11)

由引理3和式(10)(11)，逐次迭代可得證。

從而

σ(sin(ξ+Δξ)-sinξ)hξ+Δξ2(0)+

σ(sin(η+Δη)-sinη)hξ+Δξ2(A)≤

λ1(ξ+Δξ)-λ1(ξ)≤

σ(sin(ξ+Δξ)-sinξ)hξ2(0)+

σ(sin(η+Δη)-sinη)hξ2(A)

(12)

由引理4及式(12)，容易得到

則有

(13)

就能得到矛盾。事實(shí)上，如果式(13)成立，則有

λ1(a)≤H0(a)

這與定理1矛盾。

cosξcosφξ-sin2ξ=cosξ(cosξ-x)-sin2ξ

cos2ξ-sin2ξ<0,?ξ∈(ξ0,a)

最后，考慮sinξcotη,有

由引理2，得

證畢。

下面說明式(1)(2)中當(dāng)Ω為高維(維度n≥3)空間中的球帶時(shí)，它的第一特征值關(guān)于ξ也具有單調(diào)性。Rn中球坐標(biāo)變換:

x1=rcosφ1,…,xn=rsinφ1…sinφn-1

其中0≤φ1,…,φn-2≤π,0≤φn-1≤2π，稱φn-2為最后一個(gè)天頂角；設(shè)Ω={x:0

(1)在球坐標(biāo)系下的方程為

設(shè)u=h1(φ1)…h(huán)n-1(φn-1),則有

(14)

…

hn-k(An-k)=hn-k(Bn-k)=0

(15)

…

h1(A1)=h1(B1)=0

(16)

其中λ=sn-2，由Courant節(jié)點(diǎn)定理，當(dāng)式(14)(15)中的每一個(gè)sk-1(k=1,2，…,n-2)都取對(duì)應(yīng)方程的最小特征值(記作μk-1,且μ0=0)的時(shí)候，代入式(16),求得的最小特征值μn-2即為式(1)(2)的第一特征值λ1。

設(shè)Ω的面積為

2πSn-2…S1

由引理1,令

則式(19)變?yōu)?/p>

gn-k(0)=gn-k(Sn-k)=0,k=2,…,n-1

于是,

(17)

證明由式(17)知道，μk-1(k=2,…,n-1)實(shí)際上是ξ的函數(shù)，記為μk-1(ξ)，將μ0=0代入式(15)(取k=2),得

hn-2(ξ)=hn-2(η)=0

(18)

(19)

由于μm-1(ξ1)=μm-1(ξ2)及式(17),?ε>0,?gε∈Tm，使得

又因?yàn)?/p>

于是

于是

這與式(19)矛盾。從而得到λ1=μn-2關(guān)于ξ嚴(yán)格單調(diào)增。證畢。

2 結(jié)束語

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