基于EGARCH和Cornish-Fisher展開的VaR度量方法*

魏正元，王 雪，楊 丹，楊書悅

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054)

0 引 言

VaR(Value at Risk，風(fēng)險價值)方法已成為目前金融界測量市場風(fēng)險的主流方法，它衡量了一個金融頭寸在給定的持有期l和置信水平α(0<α<1)下由于市場變動可能發(fā)生的最大損失量。令X表示在持有期l內(nèi)金融頭寸價值的改變，一個多頭頭寸在持有期的VaR定義為X的α分位數(shù)[1]：VaRα=inf{x:P(X≤x)≥α}。GARCH類模型能較好地描述收益波動率的演變，曹志鵬等[2]在對比經(jīng)典套期保值比率優(yōu)劣的基礎(chǔ)上,構(gòu)建了以GARCH(1,1)為基礎(chǔ)的VaR最優(yōu)動態(tài)套期保值模型；于孝建等[3]提出了對股票收益VaR值進(jìn)行度量的M-Realized GARCH模型；黃崇珍等[4]基于GARCH模型計算了華夏滬深300ETF聯(lián)接在厚尾性的t分布和GED分布下的風(fēng)險值；Lu等[5]將Copula函數(shù)與GARCH模型相結(jié)合，構(gòu)造了條件聯(lián)合分布，用于估計能源市場中原油期貨和天然氣期貨等權(quán)重投資組合的風(fēng)險價值VaR。

Cornish-Fisher展開方法能對收益率分位數(shù)進(jìn)行有效展開。魏正元等[6]針對小樣本情形下的收益率序列，運(yùn)用Cornish-Fisher展開方法計算VaR值;極值理論(EVT)在風(fēng)險度量中的應(yīng)用越來越廣泛，梁媛等[7]借用EVT能夠刻畫極端損失的優(yōu)勢建立了EVT-ARMA-EGARCH-M和EVT-ARMATGARCH-M兩種模型捕捉收益分布的粗尾評估金融市場的極端風(fēng)險；基于Bootstrap的VaR度量方法備受關(guān)注，Swensen等[8]研究了包含平穩(wěn)回歸的降秩向量自回歸VaR模型的Bootstrap算法。

EVT能夠較好地捕捉收益率出現(xiàn)極值的情況，Bootstrap方法度量VaR時不需要對收益率的分布做任何假設(shè)，但EVT和Bootstrap不能刻畫收益率的波動聚集性，GARCH族模型克服了這一弱點(diǎn)。以往的研究中選用的GARCH模型不能體現(xiàn)資產(chǎn)收益率序列的非對稱效應(yīng)，本文將EGARCH模型與Cornish-Fisher展開相結(jié)合，通過迭代EGARCH模型的波動率方程計算出收益率序列的偏度和峰度，把計算所得的偏度和峰度代入Cornish-Fisher展開式，再用Cornish-Fisher展開對收益率VaR進(jìn)行度量，稱這種VaR度量方法為VaRGARCH-CF方法。為了方便比較，將經(jīng)典的基于極值理論的VaR方法稱為VaREVT方法，基于Bootstrap度量VaR的方法稱為VaRBS方法。最后, 取樣標(biāo)普500指數(shù)1990-01-01—2020-03-31收益率數(shù)據(jù)，將研究的方法與其他兩種方法進(jìn)行了對比測試, 評述了3種方法的優(yōu)劣。

1 模型與預(yù)備知識

1.1 EGARCH模型

Nelson(1991)提出了EGARCH模型:

1.2 Cornish-Fisher展開

(1)

其中：zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)，κ3和κ4分別表示總體分布X的偏度和峰度。

1.3 Bootstrap 方法

當(dāng)X1,X2,…,Xn是來自總體X～F(x)的iid樣本,樣本次序統(tǒng)計量為X(1),X(2),…,X(n)，可用Bootstrap方法估計其樣本p分位數(shù)：

其中：l=np，l1和l2表示與l相鄰的兩個數(shù)，li=pin。

從樣本X1,X2,…,Xn中隨機(jī)抽取B個Bootstrap子樣本；計算每個Bootstrap 子樣本的樣本p分位ξp,i(i=1,…,n)，VaRBS為B個Bootstrap 子樣本分位數(shù)的均值：

1.4 EVT方法

設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體分布X～F(x)的iid樣本，給定一個閾值u，當(dāng)X>u時，X為極值，Y=X-u為超額。超額分布函數(shù)為

Fu(y)=P{X-u≤y|X>u}=

F(x)=(1-F(u))Gξ,β(x-u)+F(u)

其中：Gξ,β(·)為GPD值，ξ為GPD的形狀參數(shù)，β為GPD的尺度參數(shù)。

給定概率p>F(u)，得到

2 VaREGARCH-CF方法

定理1 若收益率Xt的擾動at滿足EGARCH(1,1)模型，Xt的分布函數(shù)為F，則分位數(shù)的Cornish-Fisher展開為

證明EGARCH(1,1)表示為

Xt=ut+at,at=htεt,εt～N(0,1)

迭代運(yùn)算得到：

α0+α1(|εt-1|-rεt-1)+

β1[α0+α1(|εt-2|-rεt-2)+β1ln(ht-22)]

…=

E[αt]=E[htεt]=E[ht]E[εt]=0

由中心化不改變偏度和峰度，Xt的偏度和峰度為

將偏度S和峰度K代入式(1)得到：

ut和σt分別為基于EGARCH(1,1)的條件均值和條件標(biāo)準(zhǔn)差，基于定理1得到VaREGARCH-CF對VaR的度量為

3 實(shí)證分析

選取標(biāo)普500指數(shù)1990-01-01—2020-03-31共7 620個收盤價Pt進(jìn)行實(shí)證分析。從多頭的角度考慮t時刻的收益率rt=-(log(Pt)-log(Pt-1))。

圖1是標(biāo)普500收益率時序圖，該圖顯示收益率異常值出現(xiàn)的頻率比較高并顯示出波動聚類的現(xiàn)象。表1是標(biāo)普500指數(shù)的描述性統(tǒng)計表，其中收益率的峰度大于3，表明收益率序列存在明顯的尖峰特征，收益率的偏度為正，說明收益率序列是非對稱的，這和金融序列大多存在偏態(tài)是相符合的[12]。收益率JB統(tǒng)計量顯示出收益率具有非正態(tài)性，ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計量和LM檢驗(yàn)統(tǒng)計量表明收益率平穩(wěn)且具有ARCH效應(yīng)，將選用EGARCH模來對標(biāo)普500收益率序列進(jìn)行建模。

圖1 標(biāo)普500收益率時序圖

表1 收益率的描述性統(tǒng)計量表

表2是EGARCH模型擬合收益率的AIC值和BIC值匯總表，根據(jù)AIC 值和BIC值越小擬合模型越優(yōu)的原則，應(yīng)選用EGARCH(1,1)模型對收益率進(jìn)行擬合，收益率的EGARCH(1,1)模型為

表2 EGARCH模型AIC值和BIC值匯總表

Xt=0.003 3+at,at=htεt,εt～N(0,1)

表3是EGARCH(1,1)模型檢驗(yàn)結(jié)果表，其中Ljung-Box統(tǒng)計量顯示EGARCH(1,1)模型擬合收益率后的標(biāo)準(zhǔn)化殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差的平方?jīng)]有顯著的自相關(guān)，所以收益率擬合的EGARCH(1,1)模型是充分的。

表3 EGARCH(1,1)模型檢驗(yàn)結(jié)果表

基于3種方法(即VaRGARCH-CF方法、VaRBS方法、VaREVT方法)對VaR進(jìn)行度量,選取臨近2020年3月31日的255個收益率數(shù)據(jù)作為測試集，應(yīng)用失敗率法對3種VaR度量方法進(jìn)行比較。失敗率檢驗(yàn)法是評估風(fēng)險模型常用的統(tǒng)計檢驗(yàn)法。該方法把實(shí)際損失超過VaR的情況記為失敗，假定樣本觀察周期為T，p為失敗率(p=T/N)，期望失敗率為c(c=1-α,α為置信水平)，p與c越接近表示VaR度量效果越優(yōu)[13]。表4是不同置信水平下VaR度量結(jié)果，該表給出了收益率序列在3種VaR度量方法和3個置信水平下的VaR值。由表4可知：VaR值隨著置信水平α的增加而增加，因此風(fēng)險厭惡者可選擇較高的置信水平從而有效地度量VaR值。從失敗率來看：當(dāng)置信水平α=0.99時VaRBS方法對收益率序列的VaR度量效果最優(yōu)，當(dāng)置信水平α為0.9和0.95時，VaRGARCH-CF方法對收益率序列的VaR度量效果要優(yōu)于其他兩種方法。

表4 不同置信水平下VaR度量結(jié)果

4 總 結(jié)

選取的標(biāo)普500指數(shù)收益率具有非對稱效應(yīng)和波動聚集的特征。VaRGARCH-CF方法能夠較好地描述這些特征從而更好地度量VaR。研究結(jié)果表明：置信水平為0.95和0.90時，VaRGARCH-CF方法對標(biāo)普500指數(shù)收益率的VaR度量效果要優(yōu)于VaRBS方法和VaREVT方法。對于具有非對稱效應(yīng)的收益率，可考慮VaRGARCH-CF方法對其VaR值進(jìn)行度量。

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