一維波方程非同位誤差反饋調(diào)節(jié)

李志媛 金鳳飛

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 250358, 濟(jì)南)

1 引 言

輸出調(diào)節(jié)問題，又稱伺服問題，是現(xiàn)代控制理論中的核心問題之一.其主要任務(wù)是為給定系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制器，在保證被控系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，使其某一信號跟蹤上參考信號，同時(shí)抑制外在的干擾信號.現(xiàn)代控制理論中常見的反饋方式為狀態(tài)反饋.考慮到直接獲取系統(tǒng)狀態(tài)信息的困難性，只需要測量誤差信息的誤差反饋在一定程度上就具有更強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)性.由于被控系統(tǒng)及外系統(tǒng)的復(fù)雜性與不確定性，針對不同類型的系統(tǒng)發(fā)展了不同的處理方法.內(nèi)模原理首先被應(yīng)用于有限維系統(tǒng)[1-3]，后來被推廣至無窮維系統(tǒng)[4-8]；從帶有常值參考和干擾信號的分布參數(shù)系統(tǒng)[4]，發(fā)展至帶有非光滑干擾和參考信號的正則線性系統(tǒng)[5]；由帶有有界控制的輸出調(diào)節(jié)問題[6，7]，推廣到帶有無界控制的正則系統(tǒng)[8，9]；由生成參考信號或擾動(dòng)信號的外系統(tǒng)為有限維[10，11]，引申到外系統(tǒng)為無窮維[12-14].Paunonen L等人[9，10]討論了魯棒輸出調(diào)節(jié)問題是否可解，進(jìn)一步對常規(guī)線性系統(tǒng)的魯棒輸出調(diào)節(jié)問題提出了三種動(dòng)態(tài)誤差反饋控制率.自適應(yīng)伺服控制的主要思想是通過狀態(tài)估計(jì)及參數(shù)更新來設(shè)計(jì)反饋控制律.這種思想在近年來取得了顯著的研究成果[15-19],其中包括系統(tǒng)的擾動(dòng)參數(shù)為已知[15]，借助狀態(tài)觀測器解決帶有一般外部干擾的問題[16]，利用邊界控制處理輸出與控制同位[17]與非同位[18，19]的情形等.Smyshlyaev等人[20]系統(tǒng)的總結(jié)了backstepping控制方法的數(shù)學(xué)原理及主要應(yīng)用.該方法通過移動(dòng)全體特征值使系統(tǒng)達(dá)到Lyapunov意義下的穩(wěn)定性，被廣泛應(yīng)用于解決系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題[21，22].實(shí)現(xiàn)跟蹤目標(biāo)必須建立在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，因此backstepping方法對輸出調(diào)節(jié)問題具有重要意義.Guo W等人[14]利用backstepping方法研究了帶有無窮維外系統(tǒng)的變系數(shù)熱方程的輸出調(diào)節(jié)問題.

2017年，Guo W等人[18]利用誤差反饋研究了帶有諧波擾動(dòng)的輸出與控制非同位的一維波系統(tǒng)，并實(shí)現(xiàn)了量測輸出趨于零的目標(biāo).本文進(jìn)一步研究當(dāng)系統(tǒng)方程中帶有分布擾動(dòng)時(shí)，如何利用誤差反饋設(shè)計(jì)邊界控制器來實(shí)現(xiàn)跟蹤目標(biāo).考慮如下一維波方程系統(tǒng)：

(1)

其中，U(t)為系統(tǒng)(1)的控制輸入，w(0,t)為調(diào)節(jié)輸出，e(t)=w(0,t)-r(t)代表可測的跟蹤誤差，d1(t),d2(t)為一般諧波干擾信號，r(t)為給定參考信號.為了后續(xù)書寫的簡便，取形式為

d1(t)=asinαt+bcosαt,d2(t)=csinβt+dcosβt,r(t)=msinδt+lcosδt.

本文要利用誤差信息為系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)邊界反饋控制器，調(diào)節(jié)可測跟蹤誤差e(t)=w(0,t)-r(t)使其達(dá)到趨于零的目標(biāo).

全文結(jié)構(gòu)安排如下：第二部分構(gòu)造輔助系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，并證明其有效性；第三部分為原系統(tǒng)設(shè)計(jì)誤差反饋控制律，證明閉環(huán)系統(tǒng)存在唯一有界解且跟蹤誤差漸近趨于零；第四部分給出總結(jié).

2 狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)

取變換

可得

(2)

且有

v(0,t)=w(0,t)-(msinδt+lcosδt)=e(t).

(3)

其中，k1,k2,r1,r2,r3為正參數(shù).

令

為參數(shù)估計(jì)誤差，綜合系統(tǒng)(2)、(3)可得誤差系統(tǒng)的具體形式為公式(4).

其中

定義系統(tǒng)(4)的Lyapunov函數(shù)為

(4)

令L2(0,1)為帶有由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)‖ · ‖ 的一般Hilbert空間，A0為L2(0,1)空間中的算子，且滿足

定義狀態(tài)空間V=H3(0,1)∩D(A0).

證考慮自治方程

(5)

其中F=diag(D1,D2,D3)，且

函數(shù)向量(cosαt,sinαt,cosβt,sinβt,cosδt,sinδt)為系統(tǒng)(5)的一個(gè)解.

定義狀態(tài)空間V0=H1(0,1)×L2(0,1)×R6,H=V0×R6，并且?guī)в腥缦滦问降膬?nèi)積：

定義算子A1:D(A1)(?H)→H，滿足

(6)

將系統(tǒng)(4)、(5)與(6)在H中寫為一個(gè)抽象形式的非線性自治發(fā)展方程

(7)

其中

由文獻(xiàn)[14]知可建立Galerkin格式來說明系統(tǒng)(4)的解的存在唯一性，此處省略具體步驟.

證明完畢.

且滿足

證定義函數(shù)

ξ1(t)=cosαt,η1(t)=sinαt,ξ2(t)=cosβt,η2(t)=sinβt,ξ3(t)=cosδt,η3(t)=sinδt,

構(gòu)造系統(tǒng)(4)的Lyapunov函數(shù)

且有

Vz(t)≤Vz(0).

因此

(8)

且有

定義如下函數(shù)

系統(tǒng)(7)的解軌跡為

系統(tǒng)(7)具有如下形式的最大不變集

只需考慮系統(tǒng)

由文獻(xiàn)[18]知，上述方程只有零解.因此系統(tǒng)的最大不變集S={(0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,1,0)}.

根據(jù)Lasalle不變性原理，上述方程的零解漸近穩(wěn)定.

證明完畢.

3 反饋調(diào)節(jié)器的設(shè)計(jì)

為了把干擾、參考信號和控制變換變到系統(tǒng)的同一端，需要構(gòu)造輔助系統(tǒng).

(9)

可以得到如下的輔助系統(tǒng)

(10)

至此可為系統(tǒng)(10)設(shè)計(jì)一個(gè)誤差反饋調(diào)節(jié)器，形式如下：

(11)

其中c0,c1為正參數(shù).

結(jié)合控制器(11)得到下述閉環(huán)系統(tǒng)：

(12)

證受到文獻(xiàn)[20]啟發(fā)，引入可逆的backstepping變換

上述變換將系統(tǒng)(12)變?yōu)?/p>

(13)

系統(tǒng)(13)可被改寫為

由文獻(xiàn)[23]知，算子A2能生成穩(wěn)定的C0半群，即存在常數(shù)μ,M>0，使得‖eA2t‖≤Me-μt.

由文獻(xiàn)[24]知，算子A3對eA2t是允許的.

(u*(·,t),(·,t))T

(14)

考慮到‖eA2t‖≤Me-μt，對(14)式右端第一項(xiàng)進(jìn)行范數(shù)估計(jì)得

改寫(14)式右端第二項(xiàng)為

其中

通過選擇合適的t可以得到

由A3算子的允許性有

因此有

由backstepping變換的可逆性可以得到

(15)

在狀態(tài)空間X=H0×V0中討論由系統(tǒng)(1)、(3)和(15)構(gòu)成的最終閉環(huán)系統(tǒng)(16).

證令

對任意初值

4 結(jié) 語

本文通過自適應(yīng)控制的方法研究了受分布諧波干擾的一維波方程的輸出調(diào)節(jié)問題.首先利用可測的輸出來設(shè)計(jì)自適應(yīng)觀測器，估計(jì)擾動(dòng)的未知參數(shù)并恢復(fù)系統(tǒng)狀態(tài).然后通過觀測器和參數(shù)估計(jì)器來構(gòu)造輔助系統(tǒng)，使得干擾與控制變成同位的情形.最后借助backstepping變換為系統(tǒng)設(shè)計(jì)邊界誤差反饋控制器，調(diào)節(jié)跟蹤誤差為零，并保證系統(tǒng)狀態(tài)有界.在未來的工作中，將這種設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于不穩(wěn)定或反穩(wěn)定的系統(tǒng)將是一個(gè)值得研究的方向.