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    三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)方程、周期及角位置概率分布

    2021-04-08 00:56:30吳明玨王順宇夏雪連章禮華
    大學(xué)物理 2021年4期
    關(guān)鍵詞:擺角角位移概率密度函數(shù)

    吳明玨,王順宇,李 俊,夏雪連,章禮華

    (安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶 246133)

    三線(xiàn)擺主要由水平放置的較小墊盤(pán)與較大懸盤(pán),以及對(duì)稱(chēng)連接墊盤(pán)與懸盤(pán)邊緣正三角形頂點(diǎn)的三條懸線(xiàn)組成[1].現(xiàn)有不少關(guān)于三線(xiàn)擺的研究,如謝淼、呂丹等人的大角度三線(xiàn)擺周期的近似公式[2],王菊香等人的三線(xiàn)擺周期的近似公式[3].常關(guān)注的內(nèi)容有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量、特定狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)微分方程及周期[4],但較少系統(tǒng)性地討論不同初始擺角情況下三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程、周期及角位置概率密度分布情況.本文分別對(duì)大擺角及小擺角兩種情況進(jìn)行分析,通過(guò)近似處理、積分求解等一系列手段給出了上述兩種情況下,三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程、周期及位置概率密度分布的分析結(jié)果.

    1 三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程

    三線(xiàn)擺結(jié)構(gòu)如圖1所示,上、下圓盤(pán)的半徑分別為r和R,懸線(xiàn)長(zhǎng)均為L(zhǎng).將墊盤(pán)吊起時(shí),二圓盤(pán)面均被調(diào)節(jié)至水平,兩盤(pán)間的距離為H,兩圓盤(pán)心在同一垂直線(xiàn)O1O2上,懸盤(pán)可繞中心線(xiàn)O1O2做扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)[5,6].

    圖1 三線(xiàn)擺裝置簡(jiǎn)圖

    1.1 大擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程

    當(dāng)懸盤(pán)處于平衡位置時(shí),系統(tǒng)的幾何約束為

    H2=L2-(R-r)2

    (1)

    當(dāng)懸盤(pán)角位移為θ時(shí),其垂直高度增加h,在懸線(xiàn)不能伸長(zhǎng)的理想狀態(tài)下,幾何約束變?yōu)?/p>

    (H-h)2=L2-(R2+r2-2Rrcosθ)

    (2)

    由式(1)與式(2)得

    2Hh-h2=2Rr(1-cosθ)

    (3)

    由于實(shí)驗(yàn)中下盤(pán)上升高度遠(yuǎn)小于兩盤(pán)間高度,即可取h<

    (4)

    對(duì)式(4)中的時(shí)間t求導(dǎo),得懸盤(pán)上下平動(dòng)的速度為

    (5)

    在忽略摩擦力及阻力影響的情況下,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,由此可利用分析力學(xué)中保守系拉格朗日方程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)微分方程的求解,可得系統(tǒng)動(dòng)能中懸盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)能與上下平動(dòng)能,系統(tǒng)動(dòng)能表示為

    (6)

    若將自然狀態(tài)下懸盤(pán)高度定義為勢(shì)能零點(diǎn),系統(tǒng)勢(shì)能可表示為

    (7)

    由式(6)、(7)可得系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為[7]

    (8)

    由保守系統(tǒng)拉格朗日方程

    可得三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在大擺角情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程,為

    (9)

    1.2 小擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程

    當(dāng)擺角θmax不超過(guò)5°時(shí),習(xí)慣上稱(chēng)為小擺角運(yùn)動(dòng),此時(shí)可取sinθ≈θ,則式(9)變?yōu)?/p>

    (10)

    式(10)為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在小擺角情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程,為非線(xiàn)性方程.但若考慮實(shí)驗(yàn)裝置的特殊尺寸,則可將式(10)化為線(xiàn)性振動(dòng)方程,此時(shí)三線(xiàn)擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).即若三線(xiàn)擺的幾何尺寸中Rr較小于H,即滿(mǎn)足[5]:

    式(10)描述的運(yùn)動(dòng)方程可化簡(jiǎn)為

    (11)

    上式為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)小擺角近似情況下的運(yùn)動(dòng)微分方程,具有簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特征.

    2 三線(xiàn)擺的運(yùn)動(dòng)周期

    2.1 大擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的周期

    由于系統(tǒng)機(jī)械能守恒,因此懸盤(pán)任意時(shí)刻的動(dòng)能與勢(shì)能之和為常量C,表示為

    T+V=C

    (12)

    即有

    (13)

    其中,由于懸盤(pán)上下運(yùn)動(dòng)的幅度較小,因此上下平動(dòng)的動(dòng)能可忽略不計(jì),得

    (14)

    由式(14)整理可得[2]

    (15)

    (16)

    對(duì)式(16)兩端同時(shí)求導(dǎo)得

    (17)

    將式(16)、(17)代入式(15)中有

    (18)

    上式為第一類(lèi)橢圓積分.

    (19)

    上式為三線(xiàn)擺大擺角運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期公式,利用數(shù)值計(jì)算可以給出三線(xiàn)擺的周期與擺角之間的關(guān)系如圖2所示(其中物理參數(shù)為:H=0.5 m,I=0.0021 kg·m2,m=0.36 kg,R=0.1000 m,r=0.0499 m,g=9.8 N/kg).

    總體變化圖

    周期局部變化圖圖2 三線(xiàn)擺在不同擺角下的周期

    從圖2(a)可以看出,隨著擺角θmax的增加,三線(xiàn)擺的周期不斷變大. 但從圖2(b)并結(jié)合計(jì)算可知,當(dāng)三線(xiàn)擺的擺角小于0.314 rad(即18°)時(shí),周期曲線(xiàn)近似平行于水平軸,三線(xiàn)擺可視為做固定周期的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

    2.2 小擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的周期

    三線(xiàn)擺在小角度擺動(dòng)情況下,式(10)可近似為

    (20)

    為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式.此時(shí),三線(xiàn)擺可看成是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).而由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性質(zhì)可得

    (21)

    (22)

    3 三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)的角位置概率分布

    若記三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在角位移θ處的瞬時(shí)概率為p(θ),即角位置的概率密度函數(shù)為p(θ),結(jié)合三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)的周期,則有

    (23)

    其中,dt為角位移θ~dθ對(duì)應(yīng)的時(shí)間,T為三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)的周期.

    3.1 大擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的位置概率密度函數(shù)

    (24)

    解上述方程得

    (25)

    將式(19)、(25)代入式(23),再取n=1的近似情況下,可以得到

    (26)

    為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)大擺角情況下的位置概率密度函數(shù),其分布規(guī)律如圖3所示.

    圖3 擺角 θmax為時(shí)的角位置概率分布情況

    3.2 小擺角情況下三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的角位置概率密度函數(shù)

    進(jìn)一步考慮三線(xiàn)擺做小角度擺動(dòng)時(shí),由式(22)及式(23)可直接得出小擺角情況下的角位置概率密度函數(shù):

    (27)

    由小擺角情況下的三線(xiàn)擺運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

    θ=θmaxsin(ωt+φ)

    (28)

    將式(21)、(28)帶入式(23)進(jìn)行積分得

    (29)

    為三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在小角度情況下的角位置概率密度函數(shù),其中φ由初始值決定.

    由式(29)可得三線(xiàn)擺在擺角θmax取0.087 rad(即5°)時(shí)的角位置概率密度函數(shù)圖像如下圖4所示.

    圖4 擺角θmax取0.087rad(即5°)時(shí)的角位置概率分布情況

    4 結(jié)束語(yǔ)

    綜上所述,本文分析了三線(xiàn)擺在傳統(tǒng)意義下大擺角、小擺角下的運(yùn)動(dòng)方程、周期,發(fā)現(xiàn)在三線(xiàn)擺的固有結(jié)構(gòu)不變時(shí),擺角的變化對(duì)周期的影響并不是那么敏感.考慮兩種情況下三線(xiàn)擺角位置概率密度函數(shù)及分布情況,得出三線(xiàn)擺扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在平衡位置的概率最小,而在最大角位移處的概率最大.因而選擇平衡位置作為周期測(cè)量計(jì)時(shí)的始末位置可減少測(cè)量誤差,這對(duì)于提高三線(xiàn)擺周期測(cè)量的準(zhǔn)確度具有重要的參考意義.

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