應(yīng)用Mathematica計(jì)算單擺任意擺角下的振動(dòng)曲線

謝忠偉

摘 要：本文應(yīng)用Mathematica軟件，繪制在無阻尼自由振動(dòng)中，不同擺角下，單擺的振動(dòng)曲線。通過對振動(dòng)曲線的研究，給出了單擺的周期隨擺角不同而變化的定性規(guī)律，為高中物理教學(xué)提供了便捷的途徑。

關(guān)鍵詞：Mathematica；單擺；擺角；振動(dòng)曲線

單擺是由一根質(zhì)量可忽略且不可伸縮的細(xì)線，上端固定，下端系一可看作質(zhì)點(diǎn)的重物所構(gòu)成的裝置，如圖1所示。單擺在擺角小于5°時(shí)的無阻尼振動(dòng)是高中物理中一個(gè)作為簡諧振動(dòng)的典型實(shí)例。

現(xiàn)取逆時(shí)針為正方向，則任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所受重力的分力為。當(dāng)擺角很小時(shí)，，得，此即為單擺所受的線性恢復(fù)力[1]。此時(shí)，單擺運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)。

就高中階段物理而言，如何能夠給學(xué)生展現(xiàn)出任意擺角下，單擺的振動(dòng)周期與擺角的關(guān)系，就是一個(gè)難題。

通過應(yīng)用Mathematica軟件，可使這個(gè)復(fù)雜的問題，很直觀而準(zhǔn)確地用圖像的方式呈現(xiàn)出來，便于學(xué)生理解。本文為了避免使用復(fù)雜的計(jì)算機(jī)語言而帶來操作上的困難，因此，基于Mathematica 9應(yīng)用環(huán)境下，使用最簡單、最基本的函數(shù)語言進(jìn)行計(jì)算實(shí)現(xiàn)的。

1.計(jì)算在小角度5°和10°時(shí)，單擺的振動(dòng)曲線，如圖2所示。

擺角為10°和5°時(shí)，在短時(shí)間內(nèi)，振動(dòng)幾乎同步；而隨著周期的增加，使兩周期的差逐漸累加，便可明顯看出10°時(shí)的周期略大于5°，如圖2。利用Mathematica中“獲取坐標(biāo)”的簡單操作，可直接讀出各點(diǎn)的坐標(biāo)。依此，可粗略計(jì)算出擺角為10°時(shí)的周期為22.00381s；擺角為5°時(shí)的周期為2.00095s，而在的條件下，單擺簡諧運(yùn)動(dòng)的周期為2s。因此，若要求精度不高，可選擇擺角小于10°時(shí)作為簡諧運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究。

2.計(jì)算無阻尼下單擺在擺角為5°、15°、25°、35°、45°、55°、65°、75°、85°運(yùn)動(dòng)曲線，如圖3所示。

由圖3可知，隨著擺角角度的增加，單擺的振動(dòng)周期逐漸增加，且隨著擺角角度的變大，其周期增速變大。

3.結(jié)論。

基于Mathematica軟件，可研究任意擺角下，各種情況的振動(dòng)，如：阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)等。由此繪制的圖形，不但精度高且直觀，非常適合給高中學(xué)生進(jìn)行定性地分析和講解。同時(shí)，還能有效地拓展學(xué)生思維，點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張三惠.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)（下）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

（作者單位：遼寧鞍山臺(tái)安縣第二高級(jí)中學(xué)物理組）