驅(qū)動(dòng)馬達(dá)定向運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

楊紫貝，邱 星，陳巧妮，王海燕

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

分子馬達(dá)既具有酶的活性又具有運(yùn)動(dòng)活性，能夠?qū)⑷姿嵯佘?ATP)水解產(chǎn)生的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，負(fù)擔(dān)著包括肌肉收縮、細(xì)胞活動(dòng)和細(xì)胞內(nèi)物質(zhì)輸運(yùn)等幾乎所有的生物活性運(yùn)動(dòng)[1]．為理解分子馬達(dá)定向運(yùn)動(dòng)的物理機(jī)制，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從理論和實(shí)驗(yàn)方面開展深入研究[2-6]，其中基于費(fèi)恩曼棘輪思想的“布朗馬達(dá)”是重要的理論模型之一[7]．布朗馬達(dá)是將分子馬達(dá)抽象為處于非對(duì)稱周期勢(shì)中的布朗粒子,在熱噪聲和非平衡漲落的條件下，能產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)的物理模型．其中，非對(duì)稱周期勢(shì)表示分子馬達(dá)與軌道的相互作用,這一作用導(dǎo)致布朗馬達(dá)系統(tǒng)的對(duì)稱性破缺；熱噪聲反映環(huán)境對(duì)分子馬達(dá)的影響,引起布朗粒子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)；非平衡漲落是由ATP水解產(chǎn)生的，為驅(qū)動(dòng)馬達(dá)定向運(yùn)動(dòng)提供需要的能量，使系統(tǒng)偏離熱力學(xué)平衡狀態(tài)．研究表明，布朗馬達(dá)產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)的物理本質(zhì)在于：非對(duì)稱周期勢(shì)和非平衡漲落的共同作用，使得一定溫度下的布朗粒子向前和向后擴(kuò)散的幾率不同, 從而產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)．

Visscher和Block等人[8]在單分子實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)以8.2nm左右的固定步長(zhǎng)定向行走,同時(shí)也具有一定的隨機(jī)性，驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的速度隨負(fù)載力的增加而減小，馬達(dá)每行走1步催化水解1個(gè)ATP分子,說明驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)和化學(xué)反應(yīng)是緊密耦合的。因此，在本文中我們?cè)诜菍?duì)稱周期勢(shì)中考慮驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的機(jī)械化學(xué)耦合，基于布朗馬達(dá)的工作原理，利用MATLAB數(shù)值模擬驅(qū)動(dòng)馬達(dá)在一定實(shí)驗(yàn)條件下的運(yùn)動(dòng)特征．本研究可以為統(tǒng)計(jì)物理教學(xué)提供一個(gè)有趣的實(shí)例，同時(shí)為大學(xué)生利用物理規(guī)律解決實(shí)際問題提供可以借鑒的思路和方法[9]．

1 機(jī)械化學(xué)耦合模型

1.1 ATP水解反應(yīng)產(chǎn)生的自由能與活化能勢(shì)壘E

單分子生化實(shí)驗(yàn)表明驅(qū)動(dòng)馬達(dá)每行走1步催化水解1個(gè)ATP分子，ATP水解為ADP和磷酸根Pi的化學(xué)反應(yīng)方程式為[8]

(1)

水解產(chǎn)生自由能為

(2)

其中，ΔG0是水解平衡值，ΔG和ΔG0的單位均為(pN·nm)，[…]表示反應(yīng)物和產(chǎn)物的濃度，實(shí)驗(yàn)溫度為25℃(kBT～4.1pN·nm)條件下，ΔG0=55 pN·nm為一個(gè)常數(shù)，并保證溶液中[ADP]和[Pi]的濃度值為0.01μM·L-1．實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明，驅(qū)動(dòng)馬達(dá)能夠利用一半的水解自由能來產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)，我們將這部分自由能稱為有效自由能ΔGu，單位為(pN·nm)，有效自由能ΔGu的表達(dá)式為

ΔGu=(27.5+2.05ln(104[ATP])) pN·nm

(3)

化學(xué)反應(yīng)速率常數(shù)與[ATP]之間關(guān)系的Michaelis-Menten表達(dá)式[8]：

(4)

其中，KM是米氏常數(shù)，kmax是高濃度ATP下的水解反應(yīng)速率常數(shù)．化學(xué)反應(yīng)的實(shí)質(zhì)是舊鍵的斷裂和新鍵的形成，ATP水解首先需要打開ATP分子中的共價(jià)磷酸鍵，這一過程需要吸收熱漲落提供的能量來克服活化能勢(shì)壘E．Kramers 理論給出了這個(gè)過程的反應(yīng)速率常數(shù)與溫度的關(guān)系[10]:

(5)

其中，k0是阿倫尼烏斯常數(shù)．那么式(4)中的kmax可以寫為

(6)

其中，E0=1 pN·nm．結(jié)合式(4)、(5)、(6), 可以得到活化能勢(shì)壘E與[ATP]的關(guān)系式:

(7)

1.2 非對(duì)稱周期勢(shì)

由于驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的機(jī)械化學(xué)耦合，當(dāng)行走中的驅(qū)動(dòng)馬達(dá)處于ATP水解反應(yīng)的不同化學(xué)狀態(tài)時(shí)，驅(qū)動(dòng)馬達(dá)與軌道相互作用勢(shì)也不同，因此，我們引入中包含ATP水解反應(yīng)中的活化能勢(shì)壘E以及有效自由能ΔGu的非對(duì)稱周期勢(shì)V(x)，如圖1所示．

(8)

圖1 驅(qū)動(dòng)馬達(dá)與軌道相互作用的非對(duì)稱周期勢(shì)(m=0,1)

周期勢(shì)以步長(zhǎng)l0為周期，參數(shù)(1-α)表示化學(xué)反應(yīng)對(duì)應(yīng)的空間步長(zhǎng)比例，即在((1-α)l0) 的步長(zhǎng)空間里，驅(qū)動(dòng)蛋白吸收熱噪聲提供的能量來克服活化勢(shì)E，并發(fā)生化學(xué)反應(yīng), 這個(gè)過程驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的速率幾乎為零，因此我們稱之為等待態(tài)．只有成功克服勢(shì)壘的驅(qū)動(dòng)馬達(dá)才能產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入行走狀態(tài)．由此可見，驅(qū)動(dòng)馬達(dá)與軌道相互作用的非對(duì)稱周期勢(shì)V(x)反映了驅(qū)動(dòng)馬達(dá)行走中的機(jī)械化學(xué)耦合．

1.3 驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)模型

用過阻尼朗之萬方程描述驅(qū)動(dòng)馬達(dá)在非對(duì)稱周期勢(shì)V(x)中的運(yùn)動(dòng)[11]：

(9)

<ξ(t)>=0，

<ξ(t)ξ(t′)>=2Pδ(t-t′)，

P=λkBT

(10)

2 結(jié)果與討論

(11)

其中

(12)

我們選擇與實(shí)驗(yàn)中相同參數(shù)[8]：λ=8.00×10-3pNs·nm-1、α=7.30×10-1、KM=1.02×103μM·L-1、[ATP]=2.00×103μM·L-1、F=6.50 pN、l0=8.20 nm.借助MATLAB模擬了1000個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)．首先我們得到驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的位移隨時(shí)間的變化圖像，如圖2(a)和(b)所示．

從圖2(a)中能看到呈階梯狀的位移軌跡，為了仔細(xì)觀察驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)情況，我們將某一段位移-時(shí)間圖像放大后得到圖2(b)，可以清晰看出驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)步長(zhǎng)接近8.2 nm(圖中標(biāo)出的兩組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的Y軸坐標(biāo)差值約為步長(zhǎng)周期的2倍)．驅(qū)動(dòng)馬達(dá)每行進(jìn)一步都會(huì)停留一段時(shí)間，如圖2(b)中對(duì)應(yīng)的平臺(tái)所示，可以理解為這段時(shí)間是驅(qū)動(dòng)馬達(dá)吸收熱噪聲提供的能量來克服活化勢(shì)E的過程，對(duì)應(yīng)于非對(duì)稱周期勢(shì)(圖1)中((1-α)l0) 部分的等待態(tài)．由于熱漲落在這個(gè)過程中的起主導(dǎo)作用，馬達(dá)運(yùn)動(dòng)具有一定的隨機(jī)性．同時(shí)，可以觀察到圖2(b)中相鄰平臺(tái)之間的階梯，為驅(qū)動(dòng)馬達(dá)將ATP水解產(chǎn)生的能量轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的過程，這一階段驅(qū)動(dòng)馬達(dá)克服活化勢(shì)壘后，產(chǎn)生了定向運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)非對(duì)稱周期勢(shì)(圖1)中(αl0) 部分的行走態(tài)．模型結(jié)果表明驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)是由等待態(tài)和行走態(tài)組成的,與Visscher和Block實(shí)驗(yàn)中觀察到的結(jié)果吻合[8]．為進(jìn)一步研究驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)我們計(jì)算了驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的速率，如圖3(a)和圖3(b)所示．

單個(gè)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)x-t圖

圖示(a)的放大圖2

在圖3(a)中，單個(gè)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的速率隨時(shí)間的變化體現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)馬達(dá)具有行走和等待的“兩態(tài)”，速率大小的漲落表明運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性．在圖3(b)中，我們分別計(jì)算n個(gè)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的平均速率，即用單個(gè)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的位移除以時(shí)間，從而得到n個(gè)不同驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的平均速率為150 nm/s左右，對(duì)比發(fā)現(xiàn)模型得到驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)速率與實(shí)驗(yàn)中觀察的結(jié)果一致[8]，同時(shí)還可以觀察到不同驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的平均速率也存在一定的隨機(jī)漲落．

單個(gè)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)v-t圖

n個(gè)不同驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的平均速率圖圖3

為了研究負(fù)載力對(duì)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)的影響，考慮驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性，我們?cè)诓煌?fù)載力下，先分別計(jì)算n個(gè)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)速度的時(shí)間平均，然后計(jì)算n個(gè)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)速度的系綜平均隨負(fù)載力的變化圖像，如圖4所示．

從圖4中，可以看出驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)速度的系綜平均值隨負(fù)載力F的增大而逐漸減小，同樣與實(shí)驗(yàn)觀察的結(jié)果[8]相吻合．

圖4 驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)的系綜平均速度與F關(guān)系圖

3 結(jié)論

本文以非平衡態(tài)隨機(jī)動(dòng)力學(xué)方程和驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)的相關(guān)生化原理為基礎(chǔ)，在非對(duì)稱周期勢(shì)中體現(xiàn)驅(qū)動(dòng)馬達(dá)運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械化學(xué)耦合，并數(shù)值模擬得到相關(guān)圖像．將模擬圖像與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了驅(qū)動(dòng)馬達(dá)的運(yùn)動(dòng)具有定向性、固定步長(zhǎng)和一定隨機(jī)性的特點(diǎn)，表明所用模型的合理性．