初高中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)銜接研究

劉常鎮(zhèn)

函數(shù)，與我們的生活息息相關(guān)，也是初高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，甚至其蘊(yùn)涵的思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，是高中數(shù)學(xué)的一條主線。但是，由于初高中數(shù)學(xué)教材存在許多“脫節(jié)”的知識(shí)，而且初高中學(xué)生存在一定程度的認(rèn)知差異，造成許多高一學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，導(dǎo)致不理想的學(xué)習(xí)效果。因此，本文擬從初高中函數(shù)教學(xué)的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行探討，從而更好地實(shí)現(xiàn)初高中函數(shù)教學(xué)的有效銜接.

一、初高中函數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀

1.課程目標(biāo)的區(qū)別

初中函數(shù)的內(nèi)容主要在人教版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的八年級(jí)下冊(cè)第十九章《一次函數(shù)》、九年級(jí)上冊(cè)第二十二章《二次函數(shù)》以及九年級(jí)下冊(cè)第二十六章《反比例函數(shù)》。高中函數(shù)的內(nèi)容主要在人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書A版》必修一中的第一章《集合與函數(shù)概念》、第二章《基本初等函數(shù)》、第三章《函數(shù)的應(yīng)用》以及必修四中的第一章《三角函數(shù)》。高中函數(shù)是對(duì)初中函數(shù)更深層次的學(xué)習(xí)，初高中函數(shù)在概念、性質(zhì)、圖像、應(yīng)用及思維等方面都有很大差異。

初中函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是“通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題中的變量關(guān)系，得到相應(yīng)的一次函數(shù)?！薄昂瘮?shù)是描述變化的一種數(shù)學(xué)工具，學(xué)習(xí)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用它們來(lái)表示某些問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，解決一些實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步提高對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用能力?！备咧泻瘮?shù)的教學(xué)目標(biāo)是“函數(shù)是描述現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言，在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步刻畫函數(shù)的概念;通過(guò)觀察、分析、概括，從不同的角度學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì);在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受函數(shù)的思想方法和廣泛應(yīng)用。”“通過(guò)具體實(shí)例學(xué)習(xí)三種基本而又重要的函數(shù)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，了解這三種函數(shù)的特征與性質(zhì)，并利用它們解決身邊以及其他學(xué)科中的相關(guān)問(wèn)題。”初高中函數(shù)的教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)都是突出概念，由概念的引入，進(jìn)而探究其性質(zhì)、特征以及蘊(yùn)含的思想方法。顯然，高中函數(shù)教學(xué)目標(biāo)是建立在對(duì)初中函數(shù)具有基本認(rèn)知的基礎(chǔ)之上，對(duì)高中生的要求更高。

2.課程內(nèi)容的區(qū)別

初中函數(shù)只涉及到三種最簡(jiǎn)單的函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)比較單一，而且中考考查函數(shù)的難度逐年減弱，因而教學(xué)強(qiáng)度也相應(yīng)減弱，只要求學(xué)生能夠運(yùn)用上述函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。高中函數(shù)涉及到的內(nèi)容比較廣泛，主要有：集合觀點(diǎn)下的函數(shù)“對(duì)應(yīng)說(shuō)”定義、分段函數(shù)、函數(shù)的多種性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)，以及和上述函數(shù)有密切聯(lián)系的其它知識(shí)，比如數(shù)列、函數(shù)與方程。下面從定義、符號(hào)、性質(zhì)和數(shù)學(xué)思想四個(gè)方面進(jìn)行闡述初高中函數(shù)內(nèi)容的區(qū)別。

初中教材給出函數(shù)的描述性定義，即“變化過(guò)程中的兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系”，即“變量說(shuō)”。該定義強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí)，另一個(gè)變量也隨之確定。例如，白菜價(jià)格2元/斤，那么顧客購(gòu)買1斤需付2元，購(gòu)買2斤需付4元，這是明顯的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，相對(duì)形象，易理解。在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中，有關(guān)函數(shù)的內(nèi)容是先從更精準(zhǔn)的抽象性定義開始的，即“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，它是建立在集合論的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)的是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比初中函數(shù)定義更進(jìn)了一步，重點(diǎn)突出抽象思維，也為以后學(xué)習(xí)映射的概念作準(zhǔn)備。定義的深化，體現(xiàn)的也是數(shù)學(xué)發(fā)展運(yùn)動(dòng)的思想。

數(shù)學(xué)有別于其它學(xué)科，它需要一套獨(dú)特的語(yǔ)言系統(tǒng)，因此會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)，比如關(guān)于函數(shù)的符號(hào)，初中階段只用x表示自變量，y表示因變量，從而建立自變量x與因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。而高中階段用y=f（x）表示函數(shù)，大部分高一學(xué)生對(duì)這個(gè)高度抽象的函數(shù)符號(hào)的內(nèi)涵理解不夠深刻到位，導(dǎo)致往后的學(xué)習(xí)出現(xiàn)障礙。筆者在所教的兩個(gè)班級(jí)中采取口頭調(diào)查，結(jié)果如下：能夠準(zhǔn)確說(shuō)出字母f是“對(duì)應(yīng)法則”的含義，約占40%;能夠說(shuō)出f（x）與f（2）之間的區(qū)別，約占60%;能夠說(shuō)出f（x）的表示方式可用解析式、圖象、表格等，約占55%;能夠準(zhǔn)確說(shuō)出初中函數(shù)定義和高中函數(shù)定義，約占50%。由此表明，高一學(xué)生對(duì)函數(shù)符號(hào)f（x）的理解普遍不到位。因此，函數(shù)符號(hào)f（x）的教學(xué)，教師必須首先站在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，再利用直觀的例子，讓學(xué)生觀察、感受、比較，進(jìn)而理解它的內(nèi)在含義。

高中函數(shù)的性質(zhì)，是教學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。比如，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值、最值、零點(diǎn)等，在實(shí)際中有著比較廣泛的應(yīng)用。事實(shí)上，初中函數(shù)所講授的性質(zhì)，較為單一，主要著重于函數(shù)的單調(diào)性，并且采用“非符號(hào)化的描述”語(yǔ)言，很直觀：在某個(gè)定義域D內(nèi)，從左往右，圖象“上升”或“下降”，即y隨著x的增大而增大或減小。高中函數(shù)的單調(diào)性，從“非符號(hào)化的描述”轉(zhuǎn)變?yōu)椤胺?hào)化的描述”，即對(duì)任意的x1f（x2），則f（x）在定義域D內(nèi)單調(diào)遞增或遞減。在這里，很明顯將初中的“看圖說(shuō)話”轉(zhuǎn)變成“符號(hào)表述”，是形象思維到抽象思維的過(guò)渡。在高中函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)過(guò)程中，可以采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)不同之處，掌握變化規(guī)律，從而提升抽象思維能力。再比如，函數(shù)的奇偶性，初中函數(shù)尚未涉及，但已學(xué)習(xí)過(guò)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的知識(shí)，因此，也可以采用“數(shù)形結(jié)合”的方法，初步讓學(xué)生體驗(yàn)“奇偶函數(shù)”的概念，進(jìn)而揭示“符號(hào)化”的定義：對(duì)任意x∈D，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數(shù);對(duì)任意x∈D，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數(shù).符號(hào)化表述，十分抽象，因此采用“數(shù)形結(jié)合”過(guò)渡的方式，顯得尤為重要。在學(xué)習(xí)高中函數(shù)的其它性質(zhì)時(shí)，也需要注重初高中函數(shù)內(nèi)在區(qū)別與聯(lián)系，找出它們的異同點(diǎn)，從而順利實(shí)現(xiàn)初高中教學(xué)銜接。

著名數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中指出，觀點(diǎn)越高，事物越簡(jiǎn)單。數(shù)學(xué)思想往往蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)和方法中，但又高于數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，是更高層次的抽象和概括。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和方法的傳授，而且也要注重?cái)?shù)學(xué)思想的貫穿與滲透，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的魅力。初中函數(shù)比較注重“數(shù)形結(jié)合”的思想，比如在學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)開口向上;a<0時(shí)，函數(shù)開口向下，學(xué)生已經(jīng)掌握了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但是，函數(shù)開口的大小與二次項(xiàng)系數(shù)a存在怎樣的關(guān)系？可以進(jìn)一步利用兩個(gè)圖象進(jìn)行比較分析.在講授指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)，也可以利用數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”之間切換。那么，高中數(shù)學(xué)還有三大思想，分別是函數(shù)與方程思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化及化歸思想。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)特別注意初高中的銜接與切換，注意數(shù)學(xué)思想在概念的建構(gòu)、在知識(shí)的結(jié)構(gòu)、在階段目標(biāo)的達(dá)成中，充分讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.