《小數(shù)除法》單元分析及關(guān)鍵課例設(shè)計說明

文｜裴云姣 姜雪華

《小數(shù)除法》是北師大版五年級上冊第一單元的內(nèi)容，這一單元內(nèi)容繁、雜、難，知識點眾多。

一、有什么

首先，我們認(rèn)真研讀《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》、教師用書及教材，力圖較為準(zhǔn)確地勾勒出單元教學(xué)目標(biāo)及教材體系框架結(jié)構(gòu)，分析本單元在教材知識體系及學(xué)生素養(yǎng)培養(yǎng)活動中所處的地位與作用。

其次，我們仔細(xì)對比北師大版與人教版單元課例結(jié)構(gòu)。北師大版除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法分3 個課時展開教學(xué)，例1 重在理解基本算理、算法；例2 解決被除數(shù)有余數(shù)和需要添0 繼續(xù)除的問題；例4、例5 解決商首位、中間不夠除，需添0 的問題。除數(shù)是小數(shù)的除法分為2 個課時，例6 是被除數(shù)和除數(shù)小數(shù)部分位數(shù)相同的除法，例7 呈現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)小數(shù)部分位數(shù)不同的問題。后續(xù)的其他關(guān)鍵課例重點學(xué)習(xí)：用四舍五入法取商的近似數(shù)；用計算器來探索除數(shù)大于1、小于1 和接近1 時被除數(shù)與商的大小關(guān)系；認(rèn)識循環(huán)小數(shù)及四則混合運算和兩個專項練習(xí)。同時我們對比了人教版教材的單元目錄，發(fā)現(xiàn)從例1 到例5 大致與北師大版教材編排相符，只是在個別課時及例子關(guān)注點上與北師大版教材略有不同：比如北師大版的解決問題注重兩步混合運算的實際應(yīng)用，人教版的解決問題注重用“去尾法、進(jìn)一法”取近似值，而北師大版則是將這個知識點分散在一些練習(xí)之中。

二、缺什么

首先從知識的邏輯結(jié)構(gòu)上來看。北師大版教材將《小數(shù)除法》安排在五年級上冊第一單元展開教學(xué)，該單元內(nèi)容獨立，而人教版教材在第一單元學(xué)習(xí)了《小數(shù)乘法》之后，再過渡到第三單元的《小數(shù)除法》，內(nèi)容更具關(guān)聯(lián)性，邏輯結(jié)構(gòu)也更為合理。

其次從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上來看。學(xué)生對余數(shù)的意識較強(qiáng)，但是講不清算理，說明在知識的學(xué)習(xí)過程中會做題但是不明其“所以然”。同時，無論是北師大版還是人教版，都是借助“長度”或“分錢”的方式單純地理解小數(shù)部分“除”的道理和方法，這無形中割裂了小數(shù)部分“除”與整數(shù)部分“除”的內(nèi)在聯(lián)系，直接影響學(xué)生對小數(shù)除法本質(zhì)的深入理解。

三、補(bǔ)什么

從教學(xué)內(nèi)容來看，近似數(shù)、循環(huán)小數(shù)等其他關(guān)鍵課例獨立性較強(qiáng)，不作調(diào)整?？紤]到學(xué)生的已有經(jīng)驗及學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我們思考了以下幾個問題：

首先考慮是否可以從整數(shù)除法引入，感受商是小數(shù)產(chǎn)生的必要性？

實際上，除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的真正生長點是有余數(shù)的除法，也就是在分物、測量等過程中如果有剩余，在整數(shù)范圍內(nèi)是用“余數(shù)”來表示，而要想得到更精確的結(jié)果，就需要用小數(shù)（或分?jǐn)?shù)）來表示。這樣，自然就產(chǎn)生了小數(shù)，其實這也是小數(shù)除法的源頭。由此看來，整數(shù)除法不僅是除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的邏輯基礎(chǔ)，也是其真正的教學(xué)起點。

其次考慮除數(shù)是整數(shù)的除法能否整合成2 課時展開教學(xué)？

對于例1“11.5÷5”學(xué)生已經(jīng)有了怎樣的認(rèn)知基礎(chǔ)呢？我們發(fā)現(xiàn)結(jié)合情境，學(xué)生基本能理解算理，主要的困惑點在于豎式中的余數(shù)，“15 個0.1”為什么寫“15”，而不是寫“1.5”。

基于以上思考，在整體遵循教材邏輯結(jié)構(gòu)的同時，對例題的“邏輯順序”進(jìn)行了微調(diào)，對內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)?shù)恼吓c拓展，形成了本單元整合框架。

將被除數(shù)有余數(shù)需添0 繼續(xù)除與被除數(shù)無余數(shù)這兩節(jié)課整合成一個課時展開教學(xué)，感受小數(shù)除法的必要性，使之不獨立、不孤立。后續(xù)兩個例題的教學(xué)則體現(xiàn)其重要性：包括除法豎式的規(guī)范，溝通算理算法，強(qiáng)調(diào)除法的位值等。這樣更利于對比溝通整數(shù)除法與小數(shù)除法之間的區(qū)別與聯(lián)系，讓除數(shù)是整數(shù)除法的學(xué)習(xí)更具結(jié)構(gòu)化。根據(jù)問題需要，更改了例題情境、數(shù)據(jù)，讓情境更具有現(xiàn)實意義，讓數(shù)據(jù)更具整體性。同時增加了小數(shù)除法巧算這一拓展內(nèi)容，進(jìn)一步理解小數(shù)除法的算理、算法。

四、教什么？

基于以上分析，我們確定了第一課時作為關(guān)鍵課例，創(chuàng)設(shè)連續(xù)情境，以“26÷4”回顧以往知識基礎(chǔ)，以“29.5÷5”作為重點鞏固，以“36.9÷6”進(jìn)行運用拓展的情境串教學(xué)。

環(huán)節(jié)一：回顧舊知，生長新知

1.根據(jù)信息，提出數(shù)學(xué)問題。

預(yù)設(shè)1：某商店每本書多少元？

師：怎樣列式？口算甲商店每本書的價格。

2.從整除到帶余除法，提出質(zhì)疑引思考。

師：后來甲商店的價格有所變化，（板書擦去24元，出現(xiàn)26 元）請再算一算。

預(yù)設(shè)2：結(jié)果是每本6 元余下2 元。

師：看來比6 元（多），比7 元又（少），余下的2 元還能繼續(xù)分嗎？怎么分？獨立嘗試，完成后可以和同桌交流一下你的想法。

3.反饋交流（展示部分學(xué)生作品）。

師：這個繼續(xù)往下分的過程在豎式中怎樣表示？

師：同學(xué)們在遇到余下2 元不夠除時，都想到了把2 元轉(zhuǎn)化成20 角繼續(xù)往下分的辦法，在豎式中又該怎樣表示呢？

【設(shè)計意圖：從整數(shù)除法引入，能自然喚醒舊知，不至于讓小數(shù)除法來得太突兀，再從整除到帶余除法，因為有了繼續(xù)往下分的需要，也就順理成章地產(chǎn)生了小數(shù)的需要，體會其必要性?！?/p>

環(huán)節(jié)二：自主探究，溝通算理

1.開放多元，大任務(wù)驅(qū)動。

活動要求：可以接著繼續(xù)研究甲商店中的問題，或者選擇其他兩個商店中的問題，并思考，通過這道題的研究，能為另外兩道題的解決提供哪些可借鑒的經(jīng)驗？（展示學(xué)生作品）

（1）橫式VS 豎式。

師：仔細(xì)觀察，說說你看懂了什么，有什么疑問？

預(yù)設(shè)1：①和③是列式計算的，②和④是用豎式計算的。

預(yù)設(shè)2：①和②很相似，它們都把29.5 元進(jìn)行兩次均分，先分25 元，再將剩下的4.5 元轉(zhuǎn)化成45角繼續(xù)分。

師：在豎式中找一找這兩次均分的過程，連一連。

師：你是怎么看出豎式中的45 表示的是45 角的？

小結(jié)：原來一個小小的小數(shù)點起到了分界的作用，小數(shù)點的左邊表示元，右邊表示角，所以這個45就表示45 角。

（2）正例VS 錯例。

師：方法②和方法④很相似，認(rèn)為這里需要點上小數(shù)點的舉手，認(rèn)為不需要的舉手，那就讓我們來場辯論賽吧，說說各自的理由。

小結(jié)：有了被除數(shù)中的小數(shù)點，豎式中的45 不寫小數(shù)點同樣能表示45 角，不寫更簡潔。

【設(shè)計意圖：以大任務(wù)為驅(qū)動，以大問題為導(dǎo)向，開展自主探究，借助課堂生成的資源展開教學(xué)，通過橫式與豎式的“連”，正例與錯例的“辯”，幫助學(xué)生進(jìn)一步明晰算理，掌握算法?！?/p>

環(huán)節(jié)三：模型建構(gòu)，溝通算理

1.具體VS 抽象。

師：29.5÷5 還能解決生活中的哪些問題呢？

預(yù)設(shè)1：把29.5 米長的繩子，平均分成5 份，每份長5.9 米。

師：此時，小數(shù)點前面的5 表示的是（米），小數(shù)點后面的這個9 表示的是（分米）。

師：繼續(xù)思考，如果小數(shù)點前面的5 表示5 個1，那么這個9 表示（9 個0.1），因為小數(shù)點左邊第一位是（個位），右邊第一位就是（十分位），那么這里的45就表示（45 個0.1）。

【設(shè)計意圖：幣值和長度是學(xué)生學(xué)習(xí)和理解小數(shù)除法意義的“腳手架”，在前測中發(fā)現(xiàn)，在具體的情境中，學(xué)生會更容易想到“繼續(xù)分”，學(xué)生在借助情境講述“29.5÷5”的“故事”中慢慢抽象到計數(shù)單位的描述，對于學(xué)生來說這種抽象的過程是至關(guān)重要的?！?/p>

環(huán)節(jié)四：多重對比，法明理通

師：哪些同學(xué)探究了另外兩個問題？請你向大家介紹自己的想法，其他同學(xué)邊聽邊思考，他們在解決問題的過程中與你研究的這道題有哪些相同的地方？

1.被除數(shù)無余VS 添0 再除。

預(yù)設(shè)1：我選擇的是26÷4 這道題，這個2 后面添個0，表示20 角，然后在商這里（6 的后面）點上小數(shù)點，這個5 就表示5 個1 角了，所以結(jié)果是6.5 元。

師：為什么要在商6 的后面添上小數(shù)點？

預(yù)設(shè)2：36.9÷6=6.15（元），把整數(shù)部分的36 先除以6，商是6，9 個0.1 平均分成6 份，商1，余3，添0繼續(xù)除，結(jié)果就是6.15 元。

師：從這位同學(xué)的表達(dá)中，你聽出了有幾次均分的過程，在豎式中指一指、說一說。

預(yù)設(shè)3：第一次分整數(shù)部分36 個1；第二次分9個0.1 商在十分位，余3 個0.1，轉(zhuǎn)化成30 個0.01 繼續(xù)分；第三次分30 個0.01，商在百分位。

（教師再次引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注小數(shù)點的意義，引起共鳴：小數(shù)點大作用）

2.相同VS 不同。

師：觀察這些除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，它們之間有什么相同點和不同點？

預(yù)設(shè)1：關(guān)注小數(shù)點的問題，理解其意義，再次溝通整數(shù)除法與小數(shù)除法之間的關(guān)系。

預(yù)設(shè)2：關(guān)注余數(shù)的問題，溝通“降級再分”的算理。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)余下的數(shù)不夠分時，可以“降級再分”，也就是轉(zhuǎn)化成更小的計數(shù)單位繼續(xù)往下除。

【設(shè)計意圖：對比是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要手段，本環(huán)節(jié)通過被除數(shù)無余與有余的對比及三種類型同與不同的對比，緊緊圍繞“小數(shù)點”和“降級再分”這兩個要素展開交流，在多重對比中明晰算理，理通則法明?！?/p>