探索數(shù)學(xué)規(guī)律三部曲： 感知 強(qiáng)化 內(nèi)化

吳東琴

[摘 要]以“商的變化規(guī)律”為例，探析數(shù)學(xué)規(guī)律教學(xué)的策略，促進(jìn)學(xué)生在感知、強(qiáng)化、內(nèi)化的過程中深刻理解數(shù)學(xué)規(guī)律，最終完成知識(shí)的整體建構(gòu)。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)規(guī)律;感知;強(qiáng)化;內(nèi)化

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）08-0068-02

小學(xué)生以形象思維為主，理解數(shù)學(xué)規(guī)律往往需要大量的感性材料做支撐。教師可引導(dǎo)學(xué)生從具體的生活情境中去驗(yàn)證規(guī)律，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，通過溝通新知與舊知的聯(lián)系，促使學(xué)生把新知納入已有的認(rèn)知體系之中，完成知識(shí)的內(nèi)化過程。本文將以“商的變化規(guī)律”教學(xué)為例，論述如何促使學(xué)生在感知、強(qiáng)化、內(nèi)化的過程中深刻理解數(shù)學(xué)規(guī)律。

一、在觀察中概括，感知規(guī)律

數(shù)學(xué)觀察是指學(xué)生通過對(duì)數(shù)字、字母、符號(hào)等數(shù)學(xué)要素進(jìn)行觀察進(jìn)而提升對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的過程。在數(shù)學(xué)觀察的過程中，教師要注意觀察的維度：指導(dǎo)學(xué)生從不同的角度展開數(shù)學(xué)觀察，從而全面、準(zhǔn)確地識(shí)別數(shù)學(xué)現(xiàn)象，探究數(shù)學(xué)規(guī)律;要注意把觀察和思考、概括有機(jī)結(jié)合，因?yàn)楦爬ㄊ菍W(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要方式。

【教學(xué)片段1】

出示題目：

師：大家有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：當(dāng)被除數(shù)乘以10，除數(shù)不變時(shí)，商也乘以10。

師：還可以概括得更準(zhǔn)確嗎？

生2：被除數(shù)乘以一個(gè)數(shù)，除數(shù)不變，商也乘以同一個(gè)數(shù)。

師：如果從下往上觀察呢？

生3：被除數(shù)除以一個(gè)數(shù)，除數(shù)不變，商也除以同一個(gè)數(shù)。

師：把同學(xué)們概括的數(shù)學(xué)規(guī)律再總結(jié)，就是“被除數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)，除數(shù)不變，商也乘（或除以）同一個(gè)數(shù)”。那么，這個(gè)被除數(shù)乘或除以的數(shù)可以是0嗎？

生（齊）：不能。

師：被除數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)（0除外），除數(shù)不變，商也乘（或除以）同一個(gè)數(shù)。再觀察一組算式，通過計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生4：被除數(shù)不變，除數(shù)乘一個(gè)數(shù)，商反而除以同一個(gè)數(shù)。

師：如果從下往上觀察呢？

生5：被除數(shù)不變，除數(shù)除以一個(gè)數(shù)，商反而乘同一個(gè)數(shù)。

生6：這個(gè)結(jié)論要加上“0除外”，這樣就更準(zhǔn)確了。

師：被除數(shù)不變，除數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)（0除外），商反而除以（或乘）同一個(gè)數(shù)。

師：觀察、計(jì)算下面的算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生7：從上往下觀察，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。

生8：從下往上觀察，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。

師：現(xiàn)在，我們已經(jīng)得出了三條商的變化規(guī)律。我把這三組算式放在一起，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生9：當(dāng)被除數(shù)或者除數(shù)的其中一個(gè)發(fā)生變化時(shí)，商也會(huì)隨之發(fā)生變化。但是，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，商反而不變。

生10：除數(shù)不變時(shí)，被除數(shù)和商的變化是一致的，但是當(dāng)被除數(shù)不變時(shí)，除數(shù)和商的變化卻是相反的。

教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的維度觀察算式，從而概括出商的變化規(guī)律。具體來看，首先，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察每一組算式，在分別得出商的三條變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，又引導(dǎo)學(xué)生從整體上進(jìn)行觀察，使學(xué)生在宏觀上把握這三條商的變化規(guī)律的內(nèi)部聯(lián)系。其次，學(xué)生在對(duì)商的變化規(guī)律進(jìn)行概括時(shí)，經(jīng)歷了從生活語言向數(shù)學(xué)語言的過渡，在這個(gè)過程中，教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行適時(shí)引導(dǎo)，不但提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，還加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)知深度。再次，在觀察、概括商的變化規(guī)律的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)對(duì)知識(shí)從陌生到熟悉的過程，經(jīng)歷了認(rèn)知由慢到快的過程，在此過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)也得到了增長(zhǎng)。最后，在概括商的變化規(guī)律時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮“0”這一特殊情況，提升了學(xué)生的思維嚴(yán)謹(jǐn)性。

二、借助生活經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化規(guī)律

數(shù)學(xué)知識(shí)若僅體現(xiàn)在數(shù)字中，而無法與現(xiàn)實(shí)生活產(chǎn)生聯(lián)系，必然是枯燥乏味的，難以給學(xué)生留下深刻印象。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)建立在生活的具體情境之中，在現(xiàn)實(shí)生活中尋覓數(shù)學(xué)的“影子”，這樣不但可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，還能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)深度。

【教學(xué)片段2】

師：在動(dòng)物園中，把6根香蕉平均分給3只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果香蕉的數(shù)量是60根，每只猴子可以分得多少根？如果香蕉的數(shù)量是600根呢？

生1：6÷3=2（根），60÷3=20（根），600÷3=200（根）。

生2：猴子的數(shù)量不變，香蕉的數(shù)量越多，每只猴子分到的數(shù)量也就越多。

生3：份數(shù)不變，總量越多，每份的數(shù)量也就越多。

師：想一想，這和剛才講的“商的變化規(guī)律”有什么關(guān)系呢？

生4：被除數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)（0除外），除數(shù)不變，商也乘（或除以）同一個(gè)數(shù)。

師：老師把這道題改動(dòng)一下。把600根香蕉平均分給3只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果把這些香蕉分給30只猴子，每只猴子可以分得多少根？如果分給300只猴子呢？

生5： 600÷3=200（根），600÷30=20（根），600÷300=2（根）。

生6：香蕉的數(shù)量不變，猴子的數(shù)量越多，每只猴子分得的香蕉數(shù)量就越少。

生7：總量不變，分的份數(shù)越多，每一份的數(shù)量就越少。

生8：被除數(shù)不變，除數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)（0除外），商反而除以（或乘）同一個(gè)數(shù)。

師：這也就解釋了當(dāng)被除數(shù)不變的時(shí)候，除數(shù)越大，商反而越小，除數(shù)和商的變化是反向的。

師：把6根香蕉平均分給3只猴子，每只猴子可以分得多少根？把60根香蕉平均分給30只猴子，每只猴子可以分得多少根？把600根香蕉平均分給300只猴子，每只猴子可以分得多少根？

生9： 6÷3=2（根），60÷30=2（根），600÷300=2（根）。

生10：香蕉的數(shù)量增多，猴子的數(shù)量也增多，每只猴子分得的香蕉數(shù)量不變。

生11：總量增多了，分的份數(shù)也增多了，每一份的數(shù)量沒有變。

生12：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變。

生動(dòng)的生活情境使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到商的變化規(guī)律的本質(zhì)，使數(shù)學(xué)規(guī)律超越了一組組單調(diào)、抽象的數(shù)學(xué)算式，變成活潑生動(dòng)、真實(shí)可見的生活現(xiàn)象，從而激發(fā)了學(xué)生的思考熱情，加深了學(xué)生對(duì)規(guī)律的理解。

三、溝通知識(shí)聯(lián)系，內(nèi)化規(guī)律

數(shù)學(xué)知識(shí)并非孤立存在的，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，通過新舊知識(shí)的對(duì)比，使學(xué)生更好地理解新知識(shí)，把新知識(shí)納入已有的認(rèn)知體系之中。

【教學(xué)片段3】

師：商的變化規(guī)律和我們學(xué)過的積的變化規(guī)律有什么聯(lián)系呢？

生1：一個(gè)因數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)（0除外），另一個(gè)因數(shù)不變，積也乘（或除以）同一個(gè)數(shù);一個(gè)因數(shù)乘（或除以）一個(gè)數(shù)（0除外），而另一個(gè)因數(shù)除以（或乘）同一個(gè)數(shù)，它們的積不變。這就是積的變化規(guī)律。

生2：它們都探究了“變”與“不變”的關(guān)系。

生3：有的時(shí)候變化是一致的，而有的時(shí)候變化卻是反向的。

生4：商的變化規(guī)律和積的變化規(guī)律在本質(zhì)上一樣。

師：為什么？

生4：因?yàn)槲覀兛梢园殉ㄖ械谋怀龜?shù)看作乘法中的積，把除法中的除數(shù)和商看作乘法中的因數(shù)。

師：對(duì)，除法和乘法本來就互為逆運(yùn)算，除法可以改寫成乘法，乘法也可以改寫成除法。因此，商的變化規(guī)律和積的變化規(guī)律在本質(zhì)上具有一致性。

教學(xué)中，通過引導(dǎo)學(xué)生溝通商的變化規(guī)律和積的變化規(guī)律的內(nèi)部聯(lián)系，加深了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到商的變化規(guī)律是建立在積的變化規(guī)律基礎(chǔ)上的，從而形成完整的知識(shí)體系，最終完成知識(shí)的內(nèi)化和建構(gòu)。

數(shù)學(xué)規(guī)律本身的隱蔽性和抽象性決定了學(xué)生的探索過程必然是曲折的，因此，教師要順應(yīng)學(xué)生的思維特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，從不同的角度闡釋數(shù)學(xué)規(guī)律的內(nèi)涵，使學(xué)生在感知、強(qiáng)化、內(nèi)化的過程中完成知識(shí)的整體建構(gòu)。

（責(zé)編 童 夏）