在“變與不變”中感悟數(shù)學(xué)模型思想

【摘要】問題的解決離不開模型思想，而模型思想的感悟和形成也必須要經(jīng)歷抽象、歸納、推理等問題解決的過程。教師在教學(xué)中可以有意識(shí)地設(shè)計(jì)一題多解、一題多變或多題一解等問題解決環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在“變與不變”中經(jīng)歷觀察、猜想、類比、分析、歸納、表達(dá)、體驗(yàn)的學(xué)習(xí)過程，把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，體會(huì)模型思想的結(jié)構(gòu)化內(nèi)涵和一般化思想，從而幫助學(xué)生感悟并初步形成模型思想。

【關(guān)鍵詞】問題解決;模型思想;數(shù)學(xué)知識(shí)

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增加的核心概念。數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)特定的研究目的，采用形象化的數(shù)學(xué)語言，去抽象、概括地表述所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)[1]。利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)，首先需要建立數(shù)學(xué)模型。可見，問題的解決離不開模型思想，而模型思想的形成也必須要經(jīng)歷抽象、歸納、推理等問題解決的過程。所以對(duì)模型思想的感悟是在問題解決的過程中實(shí)現(xiàn)的。筆者就如何在問題解決的過程中培養(yǎng)學(xué)生的模型思想談一些體會(huì)。

一、在一題多解中感知模型的數(shù)學(xué)本質(zhì)

模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，包括用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。數(shù)學(xué)是抽象的，只有深入了解數(shù)學(xué)相關(guān)問題的本質(zhì)特點(diǎn)，才能建立起真正的模型，而模型又能使我們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)獲得更全面、更深刻的認(rèn)識(shí)和理解。

例如教師在執(zhí)教六年級(jí)列方程解決問題時(shí)，提出“甲、乙兩城市間的鐵路經(jīng)過技術(shù)改造后，列車在兩城市間的運(yùn)行速度從100 km/h提高到120 km/h，運(yùn)行時(shí)間縮短了2 h。甲、乙兩城市之間的路程是多少？”這一問題后，學(xué)生列出了兩個(gè)截然不同的方程：（x/100）-（x/120）=2和100x=120（x-2）。筆者先不作解釋，而是請(qǐng)學(xué)生思考這兩個(gè)方程是否都可行。學(xué)生在比較、觀察后發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)方程是設(shè)甲、乙兩城市間的路程為x，此方程的等量關(guān)系為：原來需要的時(shí)間-提速后需要的時(shí)間=2 h。而第2個(gè)方程對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系為：提速前甲、乙兩城市間的路程=提速后甲、乙兩城市間的路程，其中x表示的是提速前所需的時(shí)間。通過辨析，教師著重引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)比、溝通中深刻感受兩個(gè)方程雖然不同，但只要找到等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程就能解決問題。

整個(gè)解題過程教師鼓勵(lì)學(xué)生先自主嘗試，再組織學(xué)生觀察、比較，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)一題多解的共性，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)問題中等量關(guān)系的重要性，深刻感悟方程構(gòu)建的數(shù)學(xué)本質(zhì)。這時(shí)學(xué)生學(xué)到的不僅僅是用方程解決問題，更重要的是懂得從具體的方程中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生抽象概括的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識(shí)，并積累建模經(jīng)驗(yàn)。

二、在一題多變中建立模型的結(jié)構(gòu)化內(nèi)涵

數(shù)學(xué)模型是一種結(jié)構(gòu)，要在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中引導(dǎo)學(xué)生感悟模型思想，需要教師有意識(shí)地呈現(xiàn)隱含某一模型思想的結(jié)構(gòu)性素材，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中感悟素材中內(nèi)隱的、本質(zhì)的結(jié)構(gòu)。

例如教師在執(zhí)教蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“解決問題的策略”第一課的例題后，請(qǐng)學(xué)生根據(jù)題中條件（如圖1），試著提出其他的數(shù)學(xué)問題（三步計(jì)算的問題）。

在學(xué)生發(fā)散思維，提出多個(gè)問題之后，教師用課件呈現(xiàn)學(xué)生所提出的問題并追問：①圖1左側(cè)的這些問題有什么相同之處？圖1右側(cè)呢？②圖1左右兩側(cè)相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)問題有哪些相同之處或存在什么聯(lián)系？學(xué)生在比較思考中感受到不同的問題其實(shí)有著相同的內(nèi)在聯(lián)系，例如對(duì)于圖1左側(cè)的問題，在解決的過程中所涉及的數(shù)量關(guān)系（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）都是“兩積之差”，而右側(cè)所有問題的數(shù)量關(guān)系均為“兩積之和”。若是左右兩側(cè)聯(lián)系對(duì)比，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不同問題所對(duì)應(yīng)的樹木類型相同，不同的只是運(yùn)算類型。這個(gè)過程學(xué)生雖未動(dòng)筆解題，但能體會(huì)到數(shù)學(xué)模型在解決問題中具有舉一反三、觸類旁通的效果。接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)往下思考：如果是其他條件，還可能是什么條件？根據(jù)這些條件又可以提出哪些數(shù)學(xué)問題？學(xué)生在根據(jù)條件提出相應(yīng)問題的基礎(chǔ)上，小組合作自編條件并提出數(shù)學(xué)問題（如圖2）。

學(xué)生思維迸發(fā)，創(chuàng)編新的條件，自然而然衍生出新的問題。如圖2，整個(gè)數(shù)學(xué)模型變成了“兩商之和”和“兩商之差”的問題。因?yàn)橛辛饲懊娴慕Y(jié)構(gòu)化經(jīng)驗(yàn)，所以這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生而言就不難解決了。通過上述學(xué)習(xí)，學(xué)生在類比、歸納中強(qiáng)化了模型的穩(wěn)定性和結(jié)構(gòu)性，鞏固了基本數(shù)學(xué)問題的解決方法，提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)了結(jié)構(gòu)化思維，深刻感受到數(shù)學(xué)建模的價(jià)值。

三、在多題一解中凸顯模型的一般化思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并理解運(yùn)用。從某種意義上來講，模型思想要求我們將一個(gè)問題的解決拓展為一類問題的解決。

例如在蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“工程問題”一課中，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問題：“修一段420米長(zhǎng)的路，甲隊(duì)單獨(dú)修需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修需要15天完成。如果兩隊(duì)合修，幾天能夠完成？”后，將總路程改為“200米”“1800米”，學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)不管怎么改變總路程，工作時(shí)間都是6天。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象概括，在比較辨析中提煉出工程問題的基本數(shù)量關(guān)系，并適時(shí)刪除路程條件，學(xué)生交流討論后得出以下解法：1÷[（1/10）+（1/15）]=6（天）。教師相機(jī)指出：像這種問題在數(shù)學(xué)上叫作工程問題，它的特點(diǎn)是把工作總量看作單位“1”。在教學(xué)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較和分析這些題目之間的聯(lián)系，抽象出“工作總量可以看作單位‘1”這一規(guī)律，然后再運(yùn)用這一規(guī)律解決更多相關(guān)的問題，這就是模型思想一般化的魅力。最后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將習(xí)得的方法嘗試解決以下問題。

問題1一批貨物，大車單獨(dú)運(yùn)，10次可以運(yùn)完，小車單獨(dú)運(yùn)，15次可以運(yùn)完。如果大車和小車合運(yùn)，幾次可以運(yùn)完？

問題2甲、乙兩地相距300千米，快車3小時(shí)可以行完全程，慢車6小時(shí)可以行完全程?？燔嚭吐囃瑫r(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，經(jīng)過幾小時(shí)可以相遇？

學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)運(yùn)貨問題、相遇問題與修路問題，都可以歸結(jié)為同一類問題，且都可以按照工程問題的方法來解決。這一教學(xué)環(huán)節(jié)不僅加深了學(xué)生對(duì)工程問題的特點(diǎn)與規(guī)律的理解，還幫助學(xué)生更好地實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)問題的抽象概括，即一般化。

實(shí)踐證明，教師可以有意識(shí)地設(shè)計(jì)一題多解、一題多變或多題一解等問題解決環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在“變與不變”中把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，用數(shù)學(xué)的思維方式思考問題，經(jīng)過結(jié)構(gòu)化、一般化等學(xué)習(xí)過程，不斷提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)幫助學(xué)生初步形成模型思想。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡(jiǎn)介】金妤茜，一級(jí)教師，蘇州市教壇新苗，蘇州工業(yè)園區(qū)學(xué)科帶頭人。