離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究

惠康華 李春利

摘? 要： 離散數(shù)學(xué)的教學(xué)目的是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和縝密概括能力，文章分析了離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)過程中存在的一些實(shí)際問題，探索面向應(yīng)用能力培養(yǎng)的教學(xué)改革，在關(guān)注理論知識(shí)應(yīng)用的同時(shí)，注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S、高度的抽象思維以及形式化表示在計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展過程中的作用。該教學(xué)改革可以有效地培養(yǎng)和提高學(xué)生理解和運(yùn)用知識(shí)的能力。

關(guān)鍵詞： 離散數(shù)學(xué); 應(yīng)用能力; 教學(xué)改革; 教學(xué)方法; 抽象思維

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2021）02-93-04

Abstract： The purpose of discrete mathematics teaching is to cultivate students' abstract thinking and meticulous generalization ability， in this paper， some practical problems existing in the process of discrete mathematics teaching are analyzed， and the teaching reform for the cultivation of application ability is proposed. While paying attention to the application of theoretical knowledge， it pays attention to the internal relationship of knowledge， so as to make students realize the role of rigorous logical thinking， high-level abstract thinking and formal representation in the development of computer science. The teaching reform can cultivate and improve students' ability to understand and use knowledge effectively.

Key words： discrete mathematics; application ability; teaching reform; teaching method; abstract thinking

0 引言

離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。它不僅是許多計(jì)算機(jī)類專業(yè)課，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯原理、數(shù)據(jù)庫原理、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)字邏輯等課程的必備基礎(chǔ)[1]，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用。從某種意義上來講，沒有離散數(shù)學(xué)就沒有計(jì)算機(jī)理論，也就沒有計(jì)算機(jī)科學(xué)[2]。如何提高“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)效果一直是從事計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)教育的教師普遍關(guān)注的重點(diǎn)。離散數(shù)學(xué)概念多，抽象性強(qiáng)，正因?yàn)槿绱?，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中往往注重理論知識(shí)的講解和邏輯推理的訓(xùn)練，而忽略了對(duì)于離散數(shù)學(xué)基本理論和方法的應(yīng)用，這使得該課程對(duì)計(jì)算機(jī)類專業(yè)的多數(shù)學(xué)生來說抽象難懂，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性不高，學(xué)習(xí)效果不明顯[3]。特別是，學(xué)生在后續(xù)的計(jì)算機(jī)專業(yè)課程學(xué)習(xí)過程中，難以做到將所學(xué)的離散數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于解決專業(yè)課程中實(shí)際問題，影響學(xué)生應(yīng)用和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)和提高。因此，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中引入實(shí)踐性內(nèi)容、加強(qiáng)應(yīng)用能力的培養(yǎng)就成為課程教學(xué)中重要而迫切的任務(wù)[4]。

本文嘗試從離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，將教學(xué)目的定位于學(xué)生的抽象思維及邏輯推理能力的培養(yǎng)，研究和探討如何使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)感興趣。通過運(yùn)用現(xiàn)代教學(xué)理念和信息資源，尋求適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法來組織實(shí)施課堂教學(xué)，激發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究科學(xué)知識(shí)[5]。

我校離散數(shù)學(xué)課程現(xiàn)歸屬于計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)，分別在計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、信息與計(jì)算科學(xué)和信息安全三個(gè)專業(yè)開設(shè)，其中計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)和信息與計(jì)算科學(xué)兩個(gè)專業(yè)的教學(xué)時(shí)數(shù)為92學(xué)時(shí)（分兩個(gè)學(xué)期完成），信息安全專業(yè)的學(xué)時(shí)數(shù)為72學(xué)時(shí)。根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)及相應(yīng)的前后續(xù)課程設(shè)置，以及計(jì)算機(jī)學(xué)院的教學(xué)實(shí)際，離散數(shù)學(xué)教學(xué)的核心知識(shí)單元分布情況如表1所示。教材選用左孝凌等主編的《離散數(shù)學(xué)》（上海科技文獻(xiàn)出版社出版）[6]。

1 存在的問題

⑴ 內(nèi)容抽象，理論性強(qiáng)，學(xué)生認(rèn)識(shí)不足、學(xué)習(xí)興趣不高

首先，對(duì)于計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生，離散數(shù)學(xué)分在大一下（數(shù)理邏輯和集合論）和大二上（代數(shù)系統(tǒng)和圖論）兩個(gè)學(xué)期開設(shè)，此時(shí)關(guān)于專業(yè)課程只學(xué)了程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)和面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì)，而其他后續(xù)專業(yè)課程均未開設(shè)，這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性和重要性的認(rèn)識(shí)不足。

其次，離散數(shù)學(xué)的四大內(nèi)容板塊（數(shù)理邏輯，集合論，代數(shù)系統(tǒng)，圖論）中，除了數(shù)理邏輯和圖論有少量簡(jiǎn)單的應(yīng)用之外，在課程教學(xué)中幾乎看不到它們?cè)谟?jì)算機(jī)類專業(yè)課程中的應(yīng)用，這就容易使學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為離散數(shù)學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)類專業(yè)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)沒什么益處，從而導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高。

⑵ 知識(shí)點(diǎn)多，信息量大，內(nèi)容板塊較為獨(dú)立

隨著每學(xué)時(shí)時(shí)間的壓縮，本來就不怎么寬裕的學(xué)時(shí)數(shù)就顯得更為緊張，面對(duì)如此多需要講授的內(nèi)容，對(duì)教師和學(xué)生都是一種考驗(yàn)。以代數(shù)系統(tǒng)板塊為例，如圖1所示，該板塊包括諸多概念和性質(zhì)。以上每個(gè)知識(shí)點(diǎn)又包括相當(dāng)多的概念、例子以及性質(zhì)和結(jié)論，內(nèi)容自成體系，與其他板塊聯(lián)系不強(qiáng)。在此情況下，如果繼續(xù)堅(jiān)持普通授課模式，不能做到新舊知識(shí)結(jié)合（與數(shù)理邏輯、集合論相聯(lián)系），學(xué)生很難在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)真正理解并掌握上述繁雜的概念和性質(zhì)。

2 教學(xué)方法探討

2.1 注重知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)用

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，其對(duì)后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程有直接的影響。但是，離散數(shù)學(xué)課程的大多數(shù)教學(xué)內(nèi)容是以抽象性很強(qiáng)的方式呈現(xiàn)的，比如代數(shù)系統(tǒng)和圖論等內(nèi)容是安排在大二第一學(xué)期講授，此時(shí)學(xué)生只學(xué)了程序設(shè)計(jì)類專業(yè)課（程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)、面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì)），很難理解相關(guān)抽象知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，這時(shí)可以通過一些簡(jiǎn)單的例子說明這些知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用。

比如講到圖論的Huffman樹時(shí)，在介紹完最優(yōu)樹的相關(guān)概念及算法后，可以將抽象的Huffman樹應(yīng)用于程序設(shè)計(jì)。

例：編寫一個(gè)將百計(jì)分a轉(zhuǎn)換成五計(jì)分的程序，分?jǐn)?shù)的分布如表2所示。

如果程序設(shè)計(jì)如圖2（a）所示，是正確的，但不是最優(yōu)的。衡量一個(gè)程序是否優(yōu)化：①空間復(fù)雜度：程序運(yùn)行時(shí)需要使用的存貯空間;②時(shí)間復(fù)雜度：程序運(yùn)行時(shí)需要花費(fèi)的時(shí)間。顯然地，在分?jǐn)?shù)如表2分布情況下，上述程序（圖2（a））運(yùn)行時(shí)間不是最優(yōu)的，需要判斷315（100+95+80+40）次。那么如何設(shè)計(jì)這個(gè)程序才更合理呢？就是按Huffman樹來設(shè)計(jì)，如圖2（b）所示的程序僅需要判斷220（100+60+20+40）次。最后，鼓勵(lì)學(xué)生課下通過編程分別實(shí)現(xiàn)上述兩種設(shè)計(jì)思路，并對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間開銷進(jìn)行比較分析。

2.2 強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系

離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容板塊較多，并且各部分內(nèi)容之間的彼此關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)，這給學(xué)生學(xué)習(xí)課程各板塊內(nèi)容以及深入理解帶來一定的困難，若能在新舊知識(shí)之間建立聯(lián)系，將有益于學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識(shí)，并能夠牢固掌握新舊知識(shí)。

當(dāng)講授代數(shù)系統(tǒng)板塊時(shí)，可以將代數(shù)系統(tǒng)和集合論知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，集合代數(shù)是在集合定義的基礎(chǔ)上，研究集合運(yùn)算以及集合關(guān)系，代數(shù)系統(tǒng)也是如此，將運(yùn)算對(duì)象形成的集合連同集合上的若干個(gè)運(yùn)算構(gòu)成的整體看作是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。由此可得，集合代數(shù)是代數(shù)系統(tǒng)的一種特殊情況，只不過代數(shù)系統(tǒng)研究的是更為一般的抽象對(duì)象集合上的抽象運(yùn)算。通過上述引導(dǎo)，學(xué)生就會(huì)利用已經(jīng)掌握的集合代數(shù)的相關(guān)知識(shí)去幫助理解較為抽象的代數(shù)系統(tǒng)。同態(tài)與同構(gòu)反映了兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)之間的聯(lián)系，當(dāng)講到代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)時(shí)，可以將同構(gòu)概念與關(guān)系和函數(shù)聯(lián)系起來，即同構(gòu)映射是一種雙射函數(shù)，同構(gòu)關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系（滿足自反性、對(duì)稱性、傳遞性）。又如，當(dāng)講到子群階數(shù)的拉格朗日定理時(shí)，該定理的證明過程本質(zhì)上就是基于陪集構(gòu)造群的劃分的過程，陪集屬于新的知識(shí)。而劃分是集合論板塊的內(nèi)容，在集合論里與劃分相關(guān)的知識(shí)包括等價(jià)關(guān)系、等價(jià)類、商集。等價(jià)關(guān)系確定等價(jià)類，等價(jià)類集合構(gòu)成商集，商集為集合的劃分，反之亦然。因此，子群的陪集就是某種等價(jià)關(guān)系確定的等價(jià)類。圖3列舉了代數(shù)系統(tǒng)與集合論兩個(gè)板塊知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，課程前后知識(shí)通過相互關(guān)聯(lián)和融合，知新并溫故，能夠有效的幫助學(xué)生理解并掌握離散數(shù)學(xué)的知識(shí)。

3 教學(xué)手段改革

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，多媒體在教學(xué)過程中得到廣泛運(yùn)用。離散數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)繁雜抽象且課時(shí)緊張，本學(xué)期每課時(shí)由50分鐘壓縮到45分鐘，授課過程中需要運(yùn)用多媒體教學(xué)手段增加課堂傳授的信息量。通過圖形、動(dòng)畫、聲音等手段將抽象的知識(shí)形象生動(dòng)的呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生通過多種感觀體會(huì)到形象與抽象的關(guān)系，變抽象為直觀。與此同時(shí)，在講授知識(shí)主線和要點(diǎn)時(shí)，對(duì)于較難理解的知識(shí)架構(gòu)和脈絡(luò)關(guān)系，則需要結(jié)合板書，突出基本思想方法，引導(dǎo)學(xué)生思考和互動(dòng)。本學(xué)期已嘗試采用的教學(xué)手段如下。

⑴ 盡量通過幻燈片演示基本概念和相對(duì)容易的性質(zhì)和結(jié)論;對(duì)于較難的定理證明，做到講解清楚的同時(shí)，在黑板上把推導(dǎo)過程演示一遍，而不是僅用幻燈片播放一遍。

⑵ 對(duì)于圖形圖表以及文字較多的章節(jié)以幻燈片為主板書為輔，而公式較多的章節(jié)則以板書為主幻燈片為輔進(jìn)行教學(xué)。

4 結(jié)束語

社會(huì)對(duì)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)和創(chuàng)新能力的要求越來越高，離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)類專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課程，在學(xué)生學(xué)習(xí)和未來工作中將產(chǎn)生深刻影響。本文通過開展離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究，持續(xù)改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)手段，在關(guān)注理論知識(shí)應(yīng)用的同時(shí)，注重知識(shí)之間的聯(lián)系，以期激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，擴(kuò)展學(xué)生思維，提高教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生后續(xù)階段的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。更為重要的是，通過離散數(shù)學(xué)課程改革，促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和高度的抽象思維以及形式化表示在計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展過程中的作用。綜上所述，本文提出的教學(xué)改革措施可以有效的培養(yǎng)和提高學(xué)生理解和運(yùn)用知識(shí)的能力。在以后的教學(xué)過程中，將進(jìn)一步強(qiáng)化該課程與后續(xù)專業(yè)課程之間的緊密聯(lián)系，更好的發(fā)揮離散數(shù)學(xué)的作用。

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