六關節(jié)機械臂的軌跡規(guī)劃

□ 張秀林

甘肅廣播電視大學 蘭州 730050

1 研究背景

目前,工業(yè)機器人的使用已非常普遍。但在實際應用中,機械臂在作業(yè)時會面臨許多難題,如機械臂在啟動和停止時手部出現(xiàn)嚴重抖動,機械臂末端到達指定位置不夠精確等[1],如果情況比較嚴重,那么會引起機械臂機構嚴重受損[2]。機械臂的工作性能以工作效率和工作可靠性為衡量標準,所以當務之急是如何提高機械臂的工作效率及工作可靠性。

機械臂在沿軌跡運行過程中,要盡量避免角速度及角加速度突變,即運行軌跡曲線應盡量平滑連續(xù),這樣機械臂的運行就會比較平穩(wěn)。但是在現(xiàn)實中,有時不能保證完全消除運動突變和抖動,機械臂在運行過程中構件的振動也無法完全避免,只能盡量減小。

為了能夠提高機械臂的工作效率和工作可靠性,對機械臂的運動軌跡進行提前規(guī)劃非常有必要。一般做法是,在對機械臂進行運行控制之前,提前規(guī)劃好機械臂末端的運行軌跡,并采用仿真技術模擬試驗,由模擬結果來分析機械臂的運行是否平穩(wěn),然后將預定軌跡信息輸入控制系統(tǒng),來控制機械臂的運行[3]。筆者對六關節(jié)機械臂進行軌跡規(guī)劃。

2 軌跡規(guī)劃概述

機械臂軌跡規(guī)劃指在機械臂運動學和動力學的基礎上,討論在關節(jié)空間或笛卡兒空間中生產(chǎn)機械臂運動軌跡的方法,描述機械臂在多維空間中的運動路線,是運動學逆解的實際應用。在知道末端位姿的前提下,通過運動學逆解得到各個關節(jié)在相應時刻的轉動量或平移量,合理規(guī)劃出角位移曲線、角速度曲線、角加速度曲線,從而有效控制機械臂在運動過程中的沖擊和振動,使機械臂的工作壽命得以延長。

機械臂運行軌跡端點既可以用關節(jié)坐標給定,也可以用笛卡兒坐標給定。筆者以六關節(jié)機械臂為研究對象,首先分析對比在關節(jié)空間和笛卡爾空間中進行機械臂軌跡規(guī)劃的優(yōu)缺點,選擇合適的軌跡規(guī)劃坐標空間;然后通過查閱大量文獻資料總結分析多種軌跡規(guī)劃插值函數(shù),選定B樣條插值計算進行六關節(jié)機械臂的軌跡規(guī)劃;最后將得到的數(shù)據(jù)導入ADAMS軟件,進行六關節(jié)機械臂軌跡規(guī)劃仿真。

3 軌跡規(guī)劃坐標空間

在關節(jié)空間中進行機械臂的軌跡規(guī)劃,將關節(jié)變量表示為時間的函數(shù),這一函數(shù)的一階、二階導數(shù)分別表示機械臂運行的速度和加速度,由此確定各關節(jié)的位置、速度、加速度隨時間變化的規(guī)律,具有計算快、容易實現(xiàn)等優(yōu)點,但機械臂末端的運動軌跡不直觀[4]。總體而言,在關節(jié)空間進行軌跡規(guī)劃有三方面優(yōu)點:容易實現(xiàn),直接用運動時間的受控變量規(guī)劃運動軌跡,軌跡規(guī)劃可接近實時運行進行,缺點是難以確定運動中各桿件的位置。

在笛卡爾空間中進行機械臂的軌跡規(guī)劃,應用某種定義的函數(shù)來規(guī)劃機械臂末端執(zhí)行器的運動軌跡,將末端執(zhí)行器位置、速度、加速度表示為時間的函數(shù),其它各關節(jié)的位置、速度、加速度由末端執(zhí)行器導出。通常通過運動學逆解得出關節(jié)位移,應用逆雅可比求出關節(jié)速度,應用逆雅可比及其導數(shù)求出關節(jié)加速度。在笛卡爾空間中進行規(guī)劃軌跡,末端執(zhí)行器的運動軌跡清晰、直觀[5]。由于各關節(jié)的控制驅動是在關節(jié)空間中進行的,因此需要將笛卡爾空間約束轉換至關節(jié)空間,而控制器所需要的關節(jié)參數(shù)通過大量運算得到,由此造成計算量較大。同時,計算結果也很難保證不存在奇異點,如所求軌跡在工作空間之外、關節(jié)變量值發(fā)生突變等。

由上述分析可見,在關節(jié)空間進行軌跡規(guī)劃,不需要考慮笛卡爾空間中兩個路徑點之間的軌跡曲線,僅以關節(jié)變量表示為時間的函數(shù)來描述機械臂的軌跡,計算簡單、容易。由于關節(jié)空間與笛卡爾空間并不是連續(xù)的對應關系,關節(jié)空間內(nèi)不會產(chǎn)生機構奇異的現(xiàn)象,因此避免了在笛卡爾空間中規(guī)劃時所出現(xiàn)的關節(jié)失控問題。綜合分析后,筆者選用關節(jié)空間進行六關節(jié)機械臂的軌跡規(guī)劃。

4 軌跡規(guī)劃插值函數(shù)

在關節(jié)空間中進行機械臂軌跡規(guī)劃時,需要給定起始點和終止點機械臂末端的位姿,對關節(jié)變量進行插值運算。采用逆運動學程序將各關節(jié)路徑點轉換為各關節(jié)矢量角度值,根據(jù)每個關節(jié)路徑點擬合出一條光滑曲線,使軌跡從起始點開始,依次通過所有關節(jié)路徑點,最后到達終止點,完成軌跡規(guī)劃。對于每一段軌跡,各關節(jié)運動時間均相同,各關節(jié)函數(shù)之間相互獨立,這樣保證所有關節(jié)同時到達關節(jié)路徑點和終止點,從而得到機械臂各關節(jié)應有的位置和姿態(tài)。

對關節(jié)路徑點進行插值時,應滿足一系列約束條件,各個關節(jié)的位移、速度、加速度在整個時間間隔內(nèi)需滿足連續(xù)性要求,其極值必須在各個關節(jié)變量允許范圍之內(nèi)。在約束條件下,可以選取不同類型的關節(jié)插值函數(shù),生成不同的軌跡。

假設關節(jié)變量的時間函數(shù)采用多項式序列給定,某關節(jié)點軌跡應用P個多項式,要滿足初始和終止條件,保證變量在多項式銜接處的連續(xù)性,就需要確定3(P+1)個參數(shù)。這種規(guī)劃稱為兩點式軌跡規(guī)劃?；镜膬牲c式軌跡規(guī)劃方法有三次多項式規(guī)劃[6]、五次多項式規(guī)劃[7]、帶拋物線過濾的線性規(guī)劃、過中間點的軌跡規(guī)劃[8]等。

若額外給定附加的中間條件,如位置,則對于每個中間條件,需要增加一個參數(shù),這種規(guī)劃稱為帶中間點的兩點式軌跡規(guī)劃。通常,可以給定兩個中間位置,一個靠近起始位置,另一個靠近終止位置。這樣除了可以較好地控制運動外,還能夠保證以適當?shù)姆较螂x開起始點和接近終止點。因此,對于連接初始位置和終止位置的每個關節(jié)變量,一個奇次多項式就足夠了,或采用兩段四次多項式軌跡加一段三次多項式軌跡[9]、兩段三次軌跡加一段五次軌跡[10]、五段三次軌跡[11]、B樣條曲線規(guī)劃[12]。經(jīng)過分析各種軌跡規(guī)劃方法,進行對比,筆者采用B樣條曲線進行六關節(jié)機械臂的軌跡規(guī)劃。

5 關節(jié)空間B樣條曲線軌跡規(guī)劃

B樣條函數(shù)定義式為:

(1)

式中:u為第i段內(nèi)的增量參數(shù);Bi,k(u)為第i段k次B樣條基函數(shù),k>1,i=1,2,…,k-1。

設機械臂在關節(jié)空間中有型值點P1、P2、…、Pm,由連續(xù)條件及邊界條件可以求出m+2個控制點V0、V1、V2、…、Vm+1,每相鄰兩型值點之間用B樣條曲線連接,整個軌跡由m-1段B樣條曲線拼接而成。第i段B樣條曲線連接Pi與Pi+1,第i段B樣條曲線由Vi-1、Vi、Vi+1、Vi+2四個控制點控制,且控制點的坐標為Vi-1(vi-1,qi-1)、Vi(vi,qi)、Vi+1(vi+1,qi+1)、Vi+2(vi+2,qi+2),四階三次均勻B樣條曲線在第i段B樣條曲線u處的矢量表達式θi(u)為:

θi(u)=X0(u)Vi-1+X1(u)Vi+X2(u)Vi+1

+X3(u)Vi+2

(2)

式中:Xi(u)為含有參數(shù)u的三次多項式。

根據(jù)連續(xù)性要求,相鄰兩段B樣條曲線在連接處的矢量θi(u)、θi+1(u)應分別在u=0和u=1處滿足條件:

θi(1)=θi+1(0)

(3)

同理,相鄰兩段B樣條曲線在連接處的速度矢量、加速度矢量、加速度變化率矢量應分別在u=0和u=1處滿足連續(xù)性條件。

此外,還必須滿足柯西關系,即坐標變換后不變性條件:

X0(u)+X1(u)+X2(u)+X3(u)=1

(4)

由上述連續(xù)性條件和式(4),可以求出Xi(u)多項式為:

(5)

(6)

(7)

(8)

可得第i段B樣條曲線u處矢量θi(u)為:

(9)

參數(shù)u取值為0～1之間,就可以得到第i段B樣條曲線。但是,要對型值點進行軌跡規(guī)劃,就必須先根據(jù)已知的型值點來求出控制點。P1,P2,…,Pm為關節(jié)空間的型值點,滿足以下條件:

θi-1(1)=θi(0)=Pii=1,2,…,m-1

(10)

θi-1(1)=θi(0)=(Vi-1+4Vi+Vi+1)/6

(11)

式(10)、式(11)中有m+2個未知數(shù),但實際只有m個方程,因此必須要有另外兩個附加條件,即邊界條件:

V1=V0

(12)

(13)

由式(13)可以確定唯一一組Vi值,由此可以確定三次B樣條曲線。

在第i段B樣條曲線上,任意取一個點,其橫坐標vi(u)為:

(14)

在第i段B樣條曲線上,任意取一個點,其縱坐標qi(u)為:

(15)

B樣條曲線軌跡規(guī)劃具有分段處理、計算速度較快、占用計算機內(nèi)存較少等優(yōu)點。

6 B樣條插值仿真

以空間圓曲線為預設軌跡,空間圓方程為:

(16)

式中:(x,y,z)為空間圓路徑點坐標;(x0,y0,z0)為空間圓圓心坐標;R為空間圓半徑:θ為空間圓圓心至路徑點連線與X軸正方向的夾角;α為空間圓圓心至路徑點連線在YOZ平面上投影與Y軸正方向的夾角。

在空間圓上均勻取12個路徑點,見表1。

表1 空間圓路徑點坐標

在對六關節(jié)機械臂進行ADAMS軟件仿真之前,基于逆運動學,應用MATLAB軟件求解出到達表1中12個路徑點所對應的六關節(jié)機械臂的各關節(jié)角度[13],見表2。

在ADAMS軟件中進行仿真時,為六關節(jié)機械臂各個關節(jié)添加驅動函數(shù)。

表2 空間圓路徑點對應機械臂關節(jié)角度

仿真步數(shù)設為50步。在仿真過程中,可以看到六關節(jié)機械臂運動過程軌跡比較平穩(wěn)。各關節(jié)的角位移、角速度、角加速度曲線依次如圖1、圖2、圖3所示。

▲圖1 六關節(jié)機械臂各關節(jié)角位移曲線

▲圖2 六關節(jié)機械臂各關節(jié)角速度曲線

由圖1、圖2、圖3可以看出,各關節(jié)的角位移曲線平滑,角速度曲線變化平順,但是角加速度曲線有突變點,說明六關節(jié)機械臂末端執(zhí)行器在工作過程中存在振動現(xiàn)象,因此,對六關節(jié)機械臂還需要進一步進行優(yōu)化。

7 結束語

筆者以六關節(jié)機械臂為研究對象,在關節(jié)空間采用B樣條曲線進行軌跡規(guī)劃。在軌跡規(guī)則中,對關節(jié)空間和笛卡爾空間進行轉換,在笛卡爾坐標系下插補獲得軌跡上的型值點,然后采用逆運動學將這些型值點轉換至關節(jié)空間中的各關節(jié)角度,再應用B樣條曲線擬合得到各關節(jié)的運動軌跡。將得到的數(shù)據(jù)導入ADAMS軟件進行仿真,得到六關節(jié)機械臂各關節(jié)角位移、角速度、角加速度變化曲線,結果顯示各關節(jié)的角速度變化平緩,角加速度曲線有明顯突變點,因此,對六關節(jié)機械臂還需要進一步優(yōu)化。

▲圖3 六關節(jié)機械臂各關節(jié)角加速度曲線