從一道立體幾何的基本題型談數(shù)學(xué)解題教學(xué)的維度

周敏鑫 陳曉停 陳澤娟 王海青

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)學(xué)科的特性決定了解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，適當(dāng)?shù)慕忸}訓(xùn)練有助于學(xué)生鞏固和深化對概念、原理及法則的理解與掌握. 但數(shù)學(xué)解題教學(xué)不等于大量做題及一系列的解題技巧訓(xùn)練，而是要重視對解題思路的剖析，注重對題型和方法的歸納，強調(diào)變式引申和通性通法的教學(xué)，結(jié)合學(xué)生的實際情況考慮解題教學(xué)的廣度和深度. 好的數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計有助于學(xué)生形成靈活完善且聯(lián)系豐富的整體知識結(jié)構(gòu)，促進學(xué)習(xí)的遷移. 本研究以一道立體幾何的基本題型為例，從“一題多解”“一題多變”“多題一解”探討數(shù)學(xué)解題教學(xué)的維度，以使教師提高解題教學(xué)的能力，學(xué)生掌握解題的策略、思維方法，從而提高解題教學(xué)的有效性.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;解題教學(xué);一題多解;變式教學(xué)

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，適當(dāng)?shù)慕忸}訓(xùn)練有助于學(xué)生鞏固和深化對概念、原理及法則的理解與掌握.關(guān)于如何有效地解題，數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家波利亞的著作《怎樣解題》[1]一書對此做了深刻剖析，將解題過程分解為理解題意、擬定計劃、執(zhí)行計劃、回顧反思四個步驟. 每個步驟都對應(yīng)一系列的啟發(fā)性問題，如“我應(yīng)該從哪里開始”“我能做什么”等，通過不斷地啟發(fā)與自我啟發(fā)提問的方式去理解題目并找到解決的辦法，然后在回顧反思中優(yōu)化解法、拓展問題.

因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)要重視對解題思路的剖析，注重通過“一題多解”“一題多變”“多題一解”等方式對題型和方法進行歸納，強調(diào)變式引申和通性通法的教學(xué)，結(jié)合學(xué)生的實際情況考慮解題教學(xué)的廣度和深度. 下面將以一道立體幾何的基本題型為例，從“一題多解”“一題多變”“多題一解”“回顧反思”等方面探討數(shù)學(xué)解題教學(xué)的維度，將之與課本習(xí)題、高考試題相連接，以達到“由一題通一類”“由點帶面”的效果，使學(xué)生掌握解題的策略與思維方法，并形成靈活完善的整體知識結(jié)構(gòu).

題目：在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中（如圖1所示），E，F(xiàn)，G分別為棱BB，DD和CC的中點.

（1）求證：CF∥平面DEG;

（2）試在棱CD上求一點M，使DM⊥平面DEG.

理解題意

教師首先要引導(dǎo)學(xué)生了解題目的背景，挖掘隱含的信息，根據(jù)題目的條件和結(jié)論回顧與之有關(guān)的知識點和解題思路或方法，以尋找到解題的突破口. 此題是高中立體幾何中的基礎(chǔ)題型，也是典型題目. 該題題干與圖形都十分清晰明了，以正方體為載體證明線面平行、線面垂直. 處理空間中各幾何量位置關(guān)系的基本策略是根據(jù)實際情況注重空間與平面的互相轉(zhuǎn)化. 具體到平行或垂直問題，就常常涉及線線、線面與面面之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，且平行關(guān)系與垂直關(guān)系也可根據(jù)具體情況進行位置轉(zhuǎn)換. 立體幾何位置問題的相互轉(zhuǎn)化如圖2所示.

剖析解題思路

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重要目的之一是讓學(xué)生學(xué)會解題、學(xué)會思考. 因此，教師應(yīng)重視引領(lǐng)學(xué)生剖析思考過程，揭示解題的思路，進而掌握相應(yīng)的思想和方法，提升數(shù)學(xué)思維.

1. 對問題（1）的剖析

求線面平行的常用方法：定義法、利用線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為線線平行、利用面面平行的性質(zhì)、利用線上兩點到面的距離相等、建立空間直角坐標系等. 根據(jù)題目條件容易得到以下三種解題思路.

思路一：利用線面平行的判定定理證明（將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行）.

根據(jù)判定定理“平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行”，需要在平面DEG內(nèi)找到一條直線與直線CF平行. 如圖3所示，由條件易知四邊形CFDG是平行四邊形，所以CF∥DG;因為DG在平面DEG內(nèi)，從而有CF∥平面DEG.

思路二：利用面面平行的性質(zhì)證明（將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行）.

根據(jù)面面平行的性質(zhì)“兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面”，需要構(gòu)造另一個包含直線CF的平面與平面DEG平行. 如圖4所示，連接BF得到平面FBC，根據(jù)中點以及正方體的性質(zhì)可知CB∥GE. 易知四邊形DFBE是平行四邊形，所以BF∥DE，所以平面FBC∥平面DEG. 又CF？奐平面FBC，所以CF∥平面DEG.

思路三：構(gòu)造空間直角坐標系證明（將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題）.

如圖5所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可建立相應(yīng)的空間直角坐標系并求出對應(yīng)點的坐標，再利用向量工具進行求解. 這里有兩個思考方向：一是利用平面DEG的法向量與直線CF的方向向量垂直證得線面平行. 設(shè)平面DEG的法向量n=（x，y，z），利用線面垂直的判定有·n=0，·n=0，從而求出n的坐標;再由·n=0，證得CF∥平面DEG. 二是利用平面DEG內(nèi)一直線的方向向量與直線CF的方向向量平行求證結(jié)論.根據(jù)點的坐標容易求出直線CF的方向向量與直線DG的方向向量，再利用=k（k為常數(shù)）證得CF∥平面DEG.

2. 對問題（2）的剖析

求線面垂直常運用到線面垂直的判定定理、面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)、向量法等. 題目的關(guān)鍵是在線段DC上找到滿足題意的點M. 從求證的結(jié)論出發(fā)，顯然，若DM⊥平面DEG，則有DM⊥DG. 因此可將問題轉(zhuǎn)化為“在DC上求作一點M，使DM⊥DG”. 沿著這個方向可以得到兩種解題思路.

思路一：利用線面垂直的判定定理以及全等三角形證明（將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直）.

運用線面垂直的判定定理“一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直”，需要在平面DEG內(nèi)找到兩條相交的直線與直線DM垂直. 如圖6所示，過點D作DM⊥DG交DG于點O，交DC于點M. 利用中點及正方體的性質(zhì)易知EG⊥平面CCDD，DM？奐平面CCDD，所以EG⊥DM. DG與EG相交于點G，所以此時DM⊥平面DEG. 由角的互余關(guān)系可得∠2=∠3，又DD=DC，∠DDM=∠DCG=90°，所以△DDM≌△DCG，有DM=CG，得出點M是DC的中點.

思路二：利用空間直角坐標系證明（將幾何問題轉(zhuǎn)化為計算問題）.

如圖7，利用正方體的性質(zhì)建立空間直角坐標系，設(shè)點M（0，x，0），平面DEG的法向量為n，利用∥n，即=kn（k為常數(shù)），求出x值，即可得出點M是DC的中點.

梳理思想方法及其價值

在引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題，盡可能運用相關(guān)知識進行“一題多解”，完成解答之后，教師應(yīng)幫助學(xué)生一起梳理解題過程中所涉及的知識點、思想方法及其價值，強調(diào)通性通法的作用. “通性”是指概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”是指概念所蘊含的基本思想方法. 解題教學(xué)中只有注重基礎(chǔ)知識及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“長期利益”[2]. 因此，教師需要對題目的通解與特解進行分析，總結(jié)解題思想方法及一般規(guī)律.

本題涉及立體幾何與平面幾何的眾多知識點，包括線面平行的判定與性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、空間向量及其位置關(guān)系，平行四邊形、全等三角形及直角三角形的性質(zhì)等，運用到了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、直觀想象、數(shù)學(xué)模型及向量工具等重要的思想方法.

在問題（1）中，思路一利用線面平行的判定與平行四邊形的性質(zhì)直接求證，是最簡潔自然的常規(guī)方法;思路二利用面面平行的性質(zhì)，構(gòu)造兩平面平行來證明結(jié)論，這個過程將問題復(fù)雜化了;思路三構(gòu)建空間直角坐標系，利用向量工具將線面平行問題轉(zhuǎn)化為兩向量的垂直問題，這也是解決此類問題的通法. 但思路一和思路三在平面內(nèi)找到一條直線與目標直線平行的方法可以看作是一種特殊方法，很多情況下并不容易直接找到滿足條件的直線. 在問題（2）中，思路一運用線面垂直的性質(zhì)，由線面垂直得到線線垂直，將原問題轉(zhuǎn)化為對相應(yīng)直角三角形的探討，巧妙化解了難點，但當(dāng)線面角不再是90°時，此法也就不再適用;思路二的空間向量法簡單且易于理解，可看作是解決此類問題的通法.

解決立體幾何問題要么運用傳統(tǒng)的綜合法，要么選擇向量法. 綜合法更有助于學(xué)生直觀想象能力與空間思維能力的培養(yǎng);向量法則顯示了向量工具的強大運算功能，要求學(xué)生能建立恰當(dāng)?shù)淖鴺讼?、靈活運用相應(yīng)公式進行計算并能解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何意義. 兩類方法并無孰優(yōu)孰劣之分，要結(jié)合具體的問題選擇合適的方法. 正方體是最特殊的六面體，幾何量之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系比較簡單明了，也容易建立空間直角坐標系，所以本題既可以選擇綜合法也可以選擇向量法，且兩類方法中還有多種思考方向.

關(guān)于正方體相關(guān)問題的考查是高考的一個重點，如2020年北京高考理科數(shù)學(xué)第16題：如圖8所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點. （1）求證：BC1∥平面ADE;（2）求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值.

這里問題（1）的思路和方法與上題的問題（1）是一致的，直接利用線面平行的判定定理或建立坐標系運用向量法容易證明結(jié)論. 問題（2）是求線面所成角的正弦值，若運用綜合法需構(gòu)造出線與面所成的具體角，難度較大;而建立坐標系選用向量法比較方便，解答思路與上題的問題（2）相同.

有序變式鞏固提升

變式引申是解題教學(xué)的重要步驟，是進行題型歸類與理解思想方法的有效途徑，幫助學(xué)生提高方法的選擇能力并理解通性通法的重要價值，形成完善的知識結(jié)構(gòu). 教師在變式教學(xué)中應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，以暴露問題的本質(zhì)特征，揭示不同知識與方法的內(nèi)在聯(lián)系，促進學(xué)習(xí)的遷移[3]. 對問題進行多角度、多層次的變式與推廣，應(yīng)注重依據(jù)學(xué)生的實際情況和題目的條件與結(jié)論，運用特殊與一般、類比聯(lián)想、化歸等數(shù)學(xué)思想由淺入深地進行拓展引申.

變式1：同等難度，改變提問形式，加深對原題的理解.

如圖9所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DD1的中點. （1）求證：BD1∥平面AFC;（2）在線段AC上求一點M，使得EM⊥平面ACF.

變式1與原題的解題思路基本類似，目的是加深學(xué)生對此類題目及其解決方法的認識. 變式1的問題（1）是人教版教材必修2第56頁的一道習(xí)題[4].

變式2：條件與問題一般化，體現(xiàn)基本思想和方法.

如圖10所示，在長方體ABCD-ABCD中，AB=a，BC=b，BB=c，E，F(xiàn)，G分別為棱BB，DD，CC的中點. 求證：（1）CF∥平面DEG;（2）試在棱CD上求一點M，使DM⊥平面DEG，此時DM的長度是多少？

變式2是將原題的條件一般化，其隱含的信息沒有變化. 問題（1）與原題的思路和方法一致;問題（2）則是將原來對兩個全等的直角三角形的討論轉(zhuǎn)化為了對兩個相似的直角三角形的討論，基本思想和方法相同，但計算難度稍有加深. 當(dāng)條件中的長方體改為更一般的平行六面體時，面與面所成的角不是90°，問題（2）中滿足要求的點M則不存在.

變式3：拓展問題的深度與廣度，提升綜合運用能力.

如圖11所示，在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E，G分別為棱BB，CC的中點. （1）求點A到平面ADE的距離;（2）求二面角D-EG-B的正切值.

變式3是立體幾何教學(xué)中不可忽視的重要問題，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，也是近幾年高考的熱點. 解決問題（1）的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，將求斜線上的點到平面的距離問題，運用等體積思想轉(zhuǎn)化為求三棱錐的體積. 由V=V得×S×d=（d是點A到平面ADE的距離），進而求得相應(yīng)的距離d. 解決問題（2）的難點在于找到二面角的平面角. 因為點A∈平面DEG，連接AE，易知∠AEB（角θ）為該二面角的一個平面角. 在直角三角形AEB中，根據(jù)已知條件可得tanθ=2. 當(dāng)然，變式3如果通過建立空間直角坐標系，利用向量法將幾何問題代數(shù)化，則直接運用相關(guān)公式進行求解而無需具體找出相應(yīng)的角或線段，這也是向量法的優(yōu)勢所在.

回顧和反思

解題后的回顧和反思有助于教師對問題的深刻認識，也有助于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力、思辨能力及數(shù)學(xué)思維.教師引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過程，反思解題方法，進而優(yōu)化過程與解法，對題目與方法進行歸類，理解通性通法的重要性，使之強化對問題的深入理解和知識體系的整體把握，做到“既見樹木又見森林”.

從對這道立體幾何基本問題的多種解法探究、解題思想及其價值梳理、變式拓展等可以發(fā)現(xiàn)：特殊解法簡潔，但具有一定的技巧性和適用范圍;通性通法具有一般性，可以處理同一類問題.通過“一題多解”將與問題相關(guān)的知識點和方法緊密聯(lián)系在一起，有助于學(xué)生形成靈活的知識結(jié)構(gòu)并運用其解決其他相關(guān)問題.因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中重視“一題多解”“一題多變”“多題一解”，從多個角度和程度思考問題，可以實現(xiàn)“由一題通一類”“由點帶面”的教學(xué)效果，促進數(shù)學(xué)的高效教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移能力.

參考文獻：

[1] ?波利亞.怎樣解題[M]. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2] ?章建躍. 注重課堂生成才是好數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2011（12）.

[3] ?黃良云. 實施變式教學(xué)，促進課堂優(yōu)效發(fā)展[J]. 福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（04）.

[4] ?人民教育出版社課程教材研究所. 普通高中課程標準實驗教科書A版·數(shù)學(xué)（必修2）[M]. 北京：人民教育出版社，2015.