關(guān)于圓錐曲線焦點弦的定比分點探究

唐小東

[摘 ?要] 圓錐曲線的焦點弦定比分點中含有關(guān)于直線斜率、曲線離心率及定比分值三者關(guān)系的結(jié)論，合理利用結(jié)論公式可簡化處理直線斜率、直線傾斜角、曲線離心率等問題. 文章采用知識探究的方式總結(jié)歸納相關(guān)結(jié)論，并結(jié)合實際問題應(yīng)用強化.

[關(guān)鍵詞] 焦點弦;定比分點;橢圓;斜率;離心率

圓錐曲線的焦點弦性質(zhì)可以充分體現(xiàn)其幾何特征，也是高中數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，總結(jié)焦點弦的相關(guān)結(jié)論可簡化解題過程. 通常焦點將弦分為兩部分，實際上可將焦點視為是焦點弦的定比分點，焦點弦所在直線的傾斜角、圓錐曲線離心率和焦點弦的定比分值之間有著一定的關(guān)系，下面對其深入探究.

評析：上述是關(guān)于定焦點弦所在直線斜率的取值問題，根據(jù)題目條件可確定滿足對應(yīng)的焦點弦定比分結(jié)論. 結(jié)合向量關(guān)系可確定直線傾斜角為銳角，代入結(jié)論可逐步求解. 實際上焦點弦直線的傾斜角、直線斜率、定比分值三者之間有著緊密的關(guān)聯(lián)，數(shù)形結(jié)合的同時利用結(jié)論可提高解題效率.

教學(xué)建議

上述深入探究了圓錐曲線焦點弦定比分點問題的關(guān)鍵結(jié)論，構(gòu)建了過焦點弦直線的傾斜角、曲線離心率及焦點弦定比分值三者之間的關(guān)系，在實際問題中有著極高的應(yīng)用價值. 實際教學(xué)中需把握模型特征，注重過程探究，倡導(dǎo)應(yīng)用強化，形成結(jié)論探究的閉環(huán)教學(xué)，下面提出幾點建議.

1. 發(fā)掘教材，總結(jié)模型

焦點弦定比分點問題涉及了直線過焦點、直線與曲線相交、弦長向量關(guān)系等，屬于圓錐曲線典型問題，在教材例題、習(xí)題中均有出現(xiàn). 提煉問題模型，總結(jié)解析過程是結(jié)論生成的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)遷移探究所倡導(dǎo)的. 因此教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘原型問題的性質(zhì)特征，充分發(fā)揮習(xí)題的解題價值，提煉數(shù)學(xué)模型. 對于焦點弦定比分點問題，則應(yīng)關(guān)注圖像的兩大特征：一是直線過曲線焦點，二是直線與曲線存在兩個交點.

2. 過程推理，思維歷練

焦點弦定比分點問題的綜合性強，位置關(guān)系、向量條件較為復(fù)雜，對學(xué)生的分析推理能力有著較高的要求. 結(jié)論探究要遵循學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，注重推理過程，有意識地引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)歸納結(jié)論. 故建議按照教學(xué)探究的方式，合理設(shè)計探究環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、猜想，體驗結(jié)論的驗證過程，并結(jié)合數(shù)學(xué)模型進行大膽猜想，探索推論，充分鍛煉學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維.

3. 應(yīng)用強化，能力提升

結(jié)論探究的目的是提高解題效率，故結(jié)論的應(yīng)用屬性極強，從“結(jié)論生成”到“應(yīng)用拓展”需要教師精心引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注結(jié)論的適用題型，掌握應(yīng)用技巧，幫助學(xué)生摒棄傳統(tǒng)的照搬照抄的習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生自主思維，活學(xué)活用. 上述焦點弦定比分點結(jié)論是關(guān)于三大內(nèi)容的數(shù)式關(guān)系，而在實際求解時則需靈活變式，針對實際問題和條件來變形關(guān)系式，如求直線斜率則構(gòu)建傾斜角與余弦值的關(guān)系，求離心率則轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的關(guān)系式等. 教學(xué)中教師應(yīng)立足實際問題開展解析探討，強化知識應(yīng)用，提升學(xué)生的綜合能力.