“明目張膽”解數(shù)學文化題

袁琴芳

[摘? 要] 蘊含著數(shù)學文化背景的試題是以數(shù)學為本源考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，應用“明目張膽”的模式解題，讓學生能明確較復雜的數(shù)學問題的主題，構(gòu)建出數(shù)學目標模型的表達，張本繼末地寫出論證過程，大膽心細地解決問題. 真正從知識、思想、思維、精神上協(xié)助學生的數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根.

[關(guān)鍵詞] 八省市聯(lián)考;試題研究;數(shù)學文化題

[?] 提出問題

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）中指出，數(shù)學文化是指“數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學在人類生活、科學技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關(guān)的人文活動.”隨著我國教育改革的推進，蘊含著數(shù)學文化背景的試題（以下簡稱“數(shù)學文化題”）成了高考試題中一道不可或缺的亮麗的風景，它不僅能從數(shù)學理性的角度來考查學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)程度，更能將人類繁榮和發(fā)展的人文氣息與科技脈絡融入學生的學習評價.但由于數(shù)學文化題的背景來源浩瀚廣博，表現(xiàn)形式豐富多彩，沒有固定的模式，導致許多學生對數(shù)學文化題有了畏困心理，使得學生在考試時總不能快速準確地解決問題，故以此文與大家共享解決數(shù)學文化題的根本方法.

[?] 解題研究

例1 （2021年八省市高考適應性考試第20題）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有三個面角，每個面角為，所以正四面體在各頂點的曲率為2π-3×=π，故其總曲率為4π.

（1）求四棱錐的總曲率;

（2）若多面體滿足：頂點數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

分析：本題蘊含著大學微分幾何中的曲率及歐拉公式，將一幅北京大興國際機場的美麗畫卷與數(shù)學文化完美地融合成一道數(shù)學題，展示了我國在科技文化方面的自信與成就.重點考查立體幾何的點、線、面及角的關(guān)系，突出考查學生獲取新知識、探究新問題的能力，能真正體現(xiàn)學生數(shù)學建模、數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 本題不僅顯性地考查了大學微分幾何中的曲率及歐拉公式的運用，而且隱性地從空間立體幾何的直觀想象素養(yǎng)入手，落實數(shù)學核心素養(yǎng)的評價. 本題看似有難度，但實際上僅需突破一個讓人耳目一新的新知“曲率”即可. 究其本質(zhì)，就是一個數(shù)學概念的表達式的應用，故解題之前需理解以下這句用自然語言表達的話：“規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.”將其翻譯為數(shù)學符號語言，建立一個數(shù)學模型即可.

解析：（1）設四棱錐的總曲率為K，四棱錐的面角之和為θ. 依題意可知，四棱錐的面角之和θ等于4個三角形的內(nèi)角和加上1個四邊形的內(nèi)角和. 所以四棱錐的總曲率K=5×2π-θ=10π-4π-2π=4π.

（2）不妨設滿足題意的多面體的總曲率為K，面角之和為θ，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，頂點數(shù)為V，并將其F個面分別記為n（i∈[1，F(xiàn)]，i∈N）邊形，顯然n=2E，所以此F個面的面角之和θ=（n-2）π=πn-2πF=2πE-2πF=2π（E-F）. 依題意可知，V-E+F=2，故多面體的總曲率K=V·2π-θ=2πV-2π（E-F）=2π（V-E+F）=4π. 所以這類多面體的總曲率K為4π.

評論：本題的第一個難點在于對新概念的理解要從三個層次提?。旱谝粚?，多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角;第二層，多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差;第三層，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和. 本題的第二個難點是每個頂點的面角之和不便一一表達，但從整體的角度來表達還是比較容易的，需要利用初中學過的多邊形的內(nèi)角和公式. 故知識的跨度是從大學到高中再到初中，讓學生的思維逆流而行，調(diào)取知識的時間長度大大增長了，因此對學生而言，展開思維也更加困難了. 然而也只有這樣的試題才能真正體現(xiàn)學生學會了學習、學會了思考、了解了數(shù)學的本質(zhì)，才能確確實實地考查學生的數(shù)學素養(yǎng).

[?] 形成的解題模式

所謂“明目張膽”，指的是：

第一步，明，即明確主題. 此類數(shù)學文化題的背景知識是落實在高中數(shù)學的某個分支，通常的大主題有代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計，具體細分則有函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、三角、平面幾何、立體幾何、解析幾何、向量、排列組合、概率、統(tǒng)計等.

第二步，目，即目標模型. 就是此類數(shù)學文化題在某個知識點下涉及的數(shù)學思想方法與本質(zhì)內(nèi)涵，需要建立數(shù)學目標模型，可以是等式、不等式、方程、代數(shù)式、比例式等;數(shù)學思想方法可以是數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、或然與必然思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想等.

第三步，張，即張本繼末. 本意是“把事情的本末說明白”，在這里的意思則是把解題的過程完整地寫出來，即用數(shù)學符號語言或者圖形語言工整地表達出來.

第四步，膽，即膽大心細，相信自己能做好. 由于實際的建模問題有時需要考慮現(xiàn)實的存在性問題，因此在快速作答時要注意細節(jié).

此模式易于理解、易于操作，學生若能形成這樣的思維方式與程序，將有助于學生隨心所欲地解答數(shù)學文化題. 掌握此模型最重要的是在讀題時抽取題目中的數(shù)學思想與數(shù)學知識，形成完整的數(shù)學符號的表達.

[?] 推廣應用

例2 （2013年高考理科數(shù)學湖北卷第14題）古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1，3，6，10，…，第n個三角形數(shù)為=n2+n. 記第n個k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：

三角形數(shù) N（n，3）=n2+n

正方形數(shù) N（n，4）=n2

五邊形數(shù) N（n，5）=n2-n

六邊形數(shù) N（n，6）=2n2-n

……

可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（10，24）=______.

評析：本題以畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究多邊形數(shù)的數(shù)學史為背景，凸顯了數(shù)學學科知識之間內(nèi)在的數(shù)據(jù)關(guān)系與邏輯關(guān)系，重點突出過程中對觀察、分析、嘗試、推理等的體驗，故解題步驟為：

第一步，明確主題是數(shù)列.

第二步，目標是探究數(shù)列求和的表達式.

第三步，由題設可知，N（n，k）的表達式中n2前面的系數(shù)滿足成單調(diào)遞增的等差數(shù)列，n前面的系數(shù)滿足成單調(diào)遞減的等差數(shù)列，故N（n，24）=11n2-10n，所以N（10，24）=1000.

第四步，檢查一下計算細節(jié).

例3 （2019年高考理科數(shù)學全國卷Ⅰ第6題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖2就是一重卦. 在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（? ）

A. B.

C.? D.

評析：本題是以我國古代典籍《周易》中富含哲學思想的“卦”為載體，重點體現(xiàn)的是“卦”簡易的表達方式及變化多樣的本質(zhì)，本質(zhì)是理解或然與必然數(shù)學思想，故解題步驟為：

第一步，明確主題是概率.

第二步，目標是利用排列組合的基本原理和公式求解概率.

第三步，由題設可知，每一爻有2種情況，每一重卦有6個爻，共26種情況，其中6個爻恰有3個陽爻，共C種情況，所以隨機取一重卦恰有3個陽爻的概率為=.

第四步，檢查一下問題細節(jié)“陽爻”與“陰爻”的概念即可，故選A.

[?] 思考與建議

“明目張膽”地解決數(shù)學文化題，以程序化、模式化的思維引導學生思考，可以有效地解決學生的畏難情緒. 有模式的范例，學生就能胸有成竹，當然就更容易從本質(zhì)上看透數(shù)學文化題——本質(zhì)就是數(shù)學建模問題.相對課改前期的數(shù)學應用題，現(xiàn)在的數(shù)學文化題更多更重視現(xiàn)實應用與科技的融合，同時又能恰到好處地設計數(shù)學思想的內(nèi)涵，完美構(gòu)建水乳交融的數(shù)學本質(zhì)、數(shù)學理性與文化的關(guān)系，這也使得學生現(xiàn)在解題的難度呈幾何倍數(shù)增長. 但從考查學生的數(shù)學核心素養(yǎng)的層面來說，現(xiàn)在的數(shù)學文化題更加符合新課標中測評學生的邏輯推理素養(yǎng)水平的要求，即要求學生“對于較復雜的數(shù)學問題，能夠借鑒學過的論證思路，通過構(gòu)建過渡性命題，探索論證的途徑，解決問題……”因此數(shù)學文化題不僅能真正將數(shù)學文化的魅力展現(xiàn)出來，又具培養(yǎng)和考查學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教育價值，今后數(shù)學文化題仍將成為高考創(chuàng)新改革的重點，大家要給予重視.

在教學中建議以下幾點：

第一，要重視對數(shù)學各個分支知識和思想方法的本質(zhì)的理解.數(shù)學文化題重點考查的是學生的數(shù)學基礎知識和基本思想方法，因此每個教師都要對高中數(shù)學每個分支知識的歷史有所了解，并且能夠在平時的教學中促進學生更好地理解數(shù)學每個分支知識和思想方法的本質(zhì)特征與運用方向，讓學生在建模中高效地抽取出主題，快速破題.

第二，要創(chuàng)造機會讓學生去閱讀、去思考.學生所擁有的能力與素養(yǎng)來自平時一點一滴的數(shù)學基本活動經(jīng)驗的體會與積累，沒有良好與豐富的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，學生就無法理解新生成的知識，無法形成思維抽取、分析、建模的系統(tǒng)化與習慣化，容易在讀題審題時出現(xiàn)猶豫不決、無法定奪建模的形象.

第三，要留足時間讓學生學會辨析與選擇. 講解例題時不要急于求成、力圖快速地幫助學生解決問題，從而讓學生失去了自己思考問題的時間與空間，導致教學舍本逐末. 學生沒有經(jīng)歷思維與知識生產(chǎn)的陣痛，自然無法自己鉆出泥土茁壯成長，因此教師要學會放手，讓學生親身經(jīng)歷風雨，才能遇見高考的彩虹.

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