劉興安
[摘 ?要] 概述數(shù)學(xué)建模的概念與價值,提出數(shù)學(xué)建模專題復(fù)習(xí)的教學(xué)策略,以使學(xué)生在操作體會的基礎(chǔ)上,總結(jié)數(shù)學(xué)建模的一般步驟,并遷移應(yīng)用在其他問題上,進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;復(fù)習(xí)教學(xué);初中數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等六大核心素養(yǎng). 其中數(shù)學(xué)建模是中心,其是聯(lián)系數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁,也是運用數(shù)學(xué)的思維方式解決實際問題的重要工具.筆者嘗試在學(xué)生操作體會的基礎(chǔ)上,總結(jié)數(shù)學(xué)建模的一般步驟,并遷移應(yīng)用在其他問題上,進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).
數(shù)學(xué)建模的概念與價值
數(shù)學(xué)建模是指抽象現(xiàn)實問題,用數(shù)學(xué)語言表達,然后運用解方程、解不等式或函數(shù)的性質(zhì)進行研究,得到數(shù)學(xué)問題的結(jié)論,最后用數(shù)學(xué)問題的結(jié)論解釋實際問題,從而得到實際問題的結(jié)果[1].
數(shù)學(xué)建模的操作步驟:(1)分析現(xiàn)實問題;(2)根據(jù)現(xiàn)實問題的特征選擇合適的數(shù)學(xué)模型;(3)應(yīng)用數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)或法則等解答數(shù)學(xué)模型;(4)以數(shù)學(xué)模型的答案解釋實際問題得到現(xiàn)實問題的解,如圖1.
數(shù)學(xué)建模的價值:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,可使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),在分析問題與解決問題的過程實現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價值.
教學(xué)目標(biāo)及解析
(1)教學(xué)目標(biāo):①通過具體實例,經(jīng)歷建立方程、不等式、函數(shù)模型的過程;②總結(jié)歸納建立方程、函數(shù)、不等式模型的一般過程,得到數(shù)學(xué)建模的一般步驟,感受數(shù)學(xué)建模的價值;③應(yīng)用抽象出的數(shù)學(xué)建模的方法步驟解決新問題.
(2)教學(xué)目標(biāo)解析:①完成第一個教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志是:在實際問題中,學(xué)生能夠通過自主學(xué)習(xí),發(fā)現(xiàn)方程、不等式、函數(shù)模型;②完成第二個教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志是:學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題的過程進行反思,總結(jié)得出數(shù)學(xué)建模的操作要領(lǐng),深化學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認識;③完成第三個教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志是:在鞏固訓(xùn)練中,學(xué)生能夠自主運用數(shù)學(xué)建模解決問題[2].
教學(xué)問題診斷分析
(1)學(xué)生原有的基礎(chǔ):學(xué)生已經(jīng)掌握了三種函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì),掌握了四種方程的概念、解法及應(yīng)用,掌握了不等式的概念、解法及應(yīng)用,對數(shù)學(xué)建模有了初步理解.
(2)存在困難:學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗是零散的,沒有形成體系,沒有掌握其操作要領(lǐng),沒有應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決問題的意識,什么情況下選擇什么樣的數(shù)學(xué)模型,學(xué)生沒有認識.
(3)教學(xué)難點:根據(jù)現(xiàn)實問題選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題,突破難點的方法是以具體問題為背景,體會數(shù)學(xué)建模的價值,總結(jié)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟,并通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練加以鞏固.
數(shù)學(xué)建模專題復(fù)習(xí)的教學(xué)策略
1. 反思解決具體問題的過程,感受數(shù)學(xué)建模的思想和方法
案例1 ?由于新冠肺炎疫情暴發(fā),某公司根據(jù)市場需求代理A,B兩種型號的空氣凈化器,每臺A型凈化器比每臺B型凈化器進價多200元,用5萬元購進A型凈化器與用4.5萬元購進B型凈化器的數(shù)量相等.
(1)求每臺A型、B型凈化器的進價各是多少元.
(2)公司計劃購進A,B兩種型號的凈化器共50臺進行試銷,其中A型凈化器為m臺,購買資金不超過9.8萬元. 試銷時A型凈化器每臺售價2500元,B型凈化器每臺售價2180元. 公司決定從銷售A型凈化器的利潤中按每臺捐獻75元作為公司幫扶疫區(qū)貧困居民,設(shè)公司售完50臺凈化器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為w,求w的最大值.
分析 ?(1)設(shè)每臺B型凈化器的進價是x元,則每臺A型凈化器的進價是(x+200)元,依題意得=,解得x=1800.經(jīng)檢驗,x=1800是原方程的解,且符合題意,所以x+200=2000. 答:每臺A型凈化器的進價是2000元,每臺B型凈化器的進價是1800元.
(2)因為購進A型凈化器m臺,所以購進B型凈化器(50-m)臺,又購買資金不超過9.8萬元,所以2000m+1800(50-m)≤98000,所以m≤40. 依題意,獲得的利潤w=(2500-2000-75)m+(2180-1800)(50-m)=45m+19000. 因為45>0,所以w隨m的增大而增大,所以當(dāng)m=40時,w取得最大值,最大值是45×40+19000=20800. 答:w的最大值為20800元.
設(shè)計意圖 ?原題敘述中存在等量關(guān)系,即“用5萬元購進A型凈化器與用4.5萬元購進B型凈化器的數(shù)量相等”,應(yīng)建立方程模型求未知數(shù);在第二小題的題意中有不等關(guān)系,即“購買資金不超過9.8萬元”,應(yīng)建立不等式的模型求參數(shù)m的取值范圍;求利潤的最大值,應(yīng)建立函數(shù)關(guān)系利用函數(shù)的增減性解決,其是建立函數(shù)模型的標(biāo)志性信息.
2. 通過歸納推廣,抽象數(shù)學(xué)建模的一般思想和方法
讓學(xué)生分別回顧并反思建立方程模型、建立不等式模型、建立函數(shù)模型解決問題的過程,如圖2、圖3、圖4所示,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納共性,最后得到數(shù)學(xué)建模的一般操作步驟.即首先要分揀出相關(guān)的量,分析相關(guān)量之間的數(shù)量關(guān)系;然后選擇數(shù)學(xué)模型,并根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立模型,從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;最后解方程或不等式,化簡函數(shù)解析式,利用函數(shù)性質(zhì)解答,從而得到實際問題的答案. 其關(guān)鍵步驟是:分析相關(guān)量之間的數(shù)量關(guān)系,選擇數(shù)學(xué)模型[3].
3. 在遷移應(yīng)用中,鞏固數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想
案例2 ?如圖5,在一平直的河岸l同側(cè)有A,B兩村. A村位于河流l正南4 km,B村位于A村東8 km南7 km處. 現(xiàn)要在河岸邊建一水廠C為兩村供水,要求管道長度最少,請你確定選址方案,并求出所需最短管道的長度.
分析 ?第一步,分析問題的構(gòu)成要素.即在已知直線l的同側(cè)有兩個固定點A,B,其目的是在已知直線上找一點C,使它們構(gòu)成的單向線段和最小,這里需要把兩個村莊抽象為兩個點,把河流抽象為直線,這樣就把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題了.
第二步,此問題應(yīng)分成兩種情況加以研究,即A,B之間有線段連接時,包括兩種情況:第一種,如圖6所示,顯然圖6的第二個圖管道長度比較長,應(yīng)舍去. 圖6中第一個圖的管道長度計算如下:連接AB,過A作AC1⊥l于C1,則C1即為水廠地址;過B作BD⊥AC1交C1A的延長線于D,則AD=7 km,BD=8 km,AC1=4 km,所以AB==(km),所以所需管道的長度是AC1+AB=(4+) km. 第二種情況是在A,B之間沒有線段相連時,如圖7所示,作A關(guān)于直線l的對稱點A′,連接A′B交直線l于C2,則C2即為水廠地址. 過B作BD⊥AA′交A′A的延長線于D,則A′D=15 km,BD=8 km,所以所需管道的長度是A′B==17 km.綜上所述,所需最短管道的長度是(4+) km.
設(shè)計意圖 ?遷移應(yīng)用屬于高階思維能力,從方程、不等式、函數(shù)模型,應(yīng)用幾何模型解決了現(xiàn)實問題,鞏固了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想.在先分類再整合的過程中,學(xué)生積累了分析問題、解決問題的經(jīng)驗,應(yīng)用總結(jié)出的數(shù)學(xué)建模的思想和方法解決了新問題,實現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的遷移,拓寬了數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用領(lǐng)域.
總之,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),能夠讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實用價值,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力,提高學(xué)生思維的靈活性,提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力.
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