數(shù)學(xué)建模復(fù)習(xí)教學(xué)探析

劉興安

[摘 ?要] 概述數(shù)學(xué)建模的概念與價值，提出數(shù)學(xué)建模專題復(fù)習(xí)的教學(xué)策略，以使學(xué)生在操作體會的基礎(chǔ)上，總結(jié)數(shù)學(xué)建模的一般步驟，并遷移應(yīng)用在其他問題上，進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)建模;復(fù)習(xí)教學(xué);初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等六大核心素養(yǎng). 其中數(shù)學(xué)建模是中心，其是聯(lián)系數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，也是運用數(shù)學(xué)的思維方式解決實際問題的重要工具.筆者嘗試在學(xué)生操作體會的基礎(chǔ)上，總結(jié)數(shù)學(xué)建模的一般步驟，并遷移應(yīng)用在其他問題上，進而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模的概念與價值

數(shù)學(xué)建模是指抽象現(xiàn)實問題，用數(shù)學(xué)語言表達，然后運用解方程、解不等式或函數(shù)的性質(zhì)進行研究，得到數(shù)學(xué)問題的結(jié)論，最后用數(shù)學(xué)問題的結(jié)論解釋實際問題，從而得到實際問題的結(jié)果[1].

數(shù)學(xué)建模的操作步驟：（1）分析現(xiàn)實問題;（2）根據(jù)現(xiàn)實問題的特征選擇合適的數(shù)學(xué)模型;（3）應(yīng)用數(shù)學(xué)中的定理、性質(zhì)或法則等解答數(shù)學(xué)模型;（4）以數(shù)學(xué)模型的答案解釋實際問題得到現(xiàn)實問題的解，如圖1.

數(shù)學(xué)建模的價值：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，可使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，在分析問題與解決問題的過程實現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育價值.

教學(xué)目標(biāo)及解析

（1）教學(xué)目標(biāo)：①通過具體實例，經(jīng)歷建立方程、不等式、函數(shù)模型的過程;②總結(jié)歸納建立方程、函數(shù)、不等式模型的一般過程，得到數(shù)學(xué)建模的一般步驟，感受數(shù)學(xué)建模的價值;③應(yīng)用抽象出的數(shù)學(xué)建模的方法步驟解決新問題.

（2）教學(xué)目標(biāo)解析：①完成第一個教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志是：在實際問題中，學(xué)生能夠通過自主學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)方程、不等式、函數(shù)模型;②完成第二個教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題的過程進行反思，總結(jié)得出數(shù)學(xué)建模的操作要領(lǐng)，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的認識;③完成第三個教學(xué)目標(biāo)的標(biāo)志是：在鞏固訓(xùn)練中，學(xué)生能夠自主運用數(shù)學(xué)建模解決問題[2].

教學(xué)問題診斷分析

（1）學(xué)生原有的基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)掌握了三種函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)，掌握了四種方程的概念、解法及應(yīng)用，掌握了不等式的概念、解法及應(yīng)用，對數(shù)學(xué)建模有了初步理解.

（2）存在困難：學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗是零散的，沒有形成體系，沒有掌握其操作要領(lǐng)，沒有應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決問題的意識，什么情況下選擇什么樣的數(shù)學(xué)模型，學(xué)生沒有認識.

（3）教學(xué)難點：根據(jù)現(xiàn)實問題選擇合適的數(shù)學(xué)模型解決問題，突破難點的方法是以具體問題為背景，體會數(shù)學(xué)建模的價值，總結(jié)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，并通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練加以鞏固.

數(shù)學(xué)建模專題復(fù)習(xí)的教學(xué)策略

1. 反思解決具體問題的過程，感受數(shù)學(xué)建模的思想和方法

案例1 ?由于新冠肺炎疫情暴發(fā)，某公司根據(jù)市場需求代理A，B兩種型號的空氣凈化器，每臺A型凈化器比每臺B型凈化器進價多200元，用5萬元購進A型凈化器與用4.5萬元購進B型凈化器的數(shù)量相等.

（1）求每臺A型、B型凈化器的進價各是多少元.

（2）公司計劃購進A，B兩種型號的凈化器共50臺進行試銷，其中A型凈化器為m臺，購買資金不超過9.8萬元. 試銷時A型凈化器每臺售價2500元，B型凈化器每臺售價2180元. 公司決定從銷售A型凈化器的利潤中按每臺捐獻75元作為公司幫扶疫區(qū)貧困居民，設(shè)公司售完50臺凈化器并捐獻扶貧資金后獲得的利潤為w，求w的最大值.

分析 ?（1）設(shè)每臺B型凈化器的進價是x元，則每臺A型凈化器的進價是（x+200）元，依題意得=，解得x=1800.經(jīng)檢驗，x=1800是原方程的解，且符合題意，所以x+200=2000. 答：每臺A型凈化器的進價是2000元，每臺B型凈化器的進價是1800元.

（2）因為購進A型凈化器m臺，所以購進B型凈化器（50-m）臺，又購買資金不超過9.8萬元，所以2000m+1800（50-m）≤98000，所以m≤40. 依題意，獲得的利潤w=（2500-2000-75）m+（2180-1800）（50-m）=45m+19000. 因為45>0，所以w隨m的增大而增大，所以當(dāng)m=40時，w取得最大值，最大值是45×40+19000=20800. 答：w的最大值為20800元.

設(shè)計意圖 ?原題敘述中存在等量關(guān)系，即“用5萬元購進A型凈化器與用4.5萬元購進B型凈化器的數(shù)量相等”，應(yīng)建立方程模型求未知數(shù);在第二小題的題意中有不等關(guān)系，即“購買資金不超過9.8萬元”，應(yīng)建立不等式的模型求參數(shù)m的取值范圍;求利潤的最大值，應(yīng)建立函數(shù)關(guān)系利用函數(shù)的增減性解決，其是建立函數(shù)模型的標(biāo)志性信息.

2. 通過歸納推廣，抽象數(shù)學(xué)建模的一般思想和方法

讓學(xué)生分別回顧并反思建立方程模型、建立不等式模型、建立函數(shù)模型解決問題的過程，如圖2、圖3、圖4所示，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納共性，最后得到數(shù)學(xué)建模的一般操作步驟.即首先要分揀出相關(guān)的量，分析相關(guān)量之間的數(shù)量關(guān)系;然后選擇數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立模型，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;最后解方程或不等式，化簡函數(shù)解析式，利用函數(shù)性質(zhì)解答，從而得到實際問題的答案. 其關(guān)鍵步驟是：分析相關(guān)量之間的數(shù)量關(guān)系，選擇數(shù)學(xué)模型[3].

3. 在遷移應(yīng)用中，鞏固數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想

案例2 ?如圖5，在一平直的河岸l同側(cè)有A，B兩村. A村位于河流l正南4 km，B村位于A村東8 km南7 km處. 現(xiàn)要在河岸邊建一水廠C為兩村供水，要求管道長度最少，請你確定選址方案，并求出所需最短管道的長度.

分析 ?第一步，分析問題的構(gòu)成要素.即在已知直線l的同側(cè)有兩個固定點A，B，其目的是在已知直線上找一點C，使它們構(gòu)成的單向線段和最小，這里需要把兩個村莊抽象為兩個點，把河流抽象為直線，這樣就把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題了.

第二步，此問題應(yīng)分成兩種情況加以研究，即A，B之間有線段連接時，包括兩種情況：第一種，如圖6所示，顯然圖6的第二個圖管道長度比較長，應(yīng)舍去. 圖6中第一個圖的管道長度計算如下：連接AB，過A作AC1⊥l于C1，則C1即為水廠地址;過B作BD⊥AC1交C1A的延長線于D，則AD=7 km，BD=8 km，AC1=4 km，所以AB==（km），所以所需管道的長度是AC1+AB=（4+） km. 第二種情況是在A，B之間沒有線段相連時，如圖7所示，作A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于C2，則C2即為水廠地址. 過B作BD⊥AA′交A′A的延長線于D，則A′D=15 km，BD=8 km，所以所需管道的長度是A′B==17 km.綜上所述，所需最短管道的長度是（4+） km.

設(shè)計意圖 ?遷移應(yīng)用屬于高階思維能力，從方程、不等式、函數(shù)模型，應(yīng)用幾何模型解決了現(xiàn)實問題，鞏固了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想.在先分類再整合的過程中，學(xué)生積累了分析問題、解決問題的經(jīng)驗，應(yīng)用總結(jié)出的數(shù)學(xué)建模的思想和方法解決了新問題，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的遷移，拓寬了數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用領(lǐng)域.

總之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，能夠讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的實用價值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力，提高學(xué)生思維的靈活性，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與解決問題的能力.

參考文獻：

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[3]王秀秀，董磊，陳棉駒. 初中數(shù)學(xué)模型思想方法的內(nèi)涵及教學(xué)分析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（11）.

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