Banach空間中分裂可行性和不動(dòng)點(diǎn)問題的強(qiáng)收斂性

徐亞軍 倪仁興

(紹興文理學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，浙江 紹興 312000)

1 文獻(xiàn)綜述

分裂可行性問題(SFP)是一個(gè)重要的非線性問題,它在一定條件下可與變分不等式問題(VIP)、不動(dòng)點(diǎn)問題(FPP)等數(shù)學(xué)問題相互轉(zhuǎn)化.SFP廣泛應(yīng)用于各種實(shí)際問題,如強(qiáng)放射治療、信號(hào)處理和圖像重建等問題.其研究成果已引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的高度重視[1].1994年, Censor和Elfving[2]兩位學(xué)者首先在有限維Hilbert中提出SFP.雖然他們用多重投影法得到求解該問題的一個(gè)迭代序列,但是在每次迭代中都需計(jì)算矩陣的逆,使得計(jì)算變得復(fù)雜和困難.為了克服這一不足,Byrne[3]在2002年提出C—Q算法(梯度投影法).此后,C—Q算法成為一種研究SFP的主要方法.關(guān)于求解SFP的一些方法可參考文獻(xiàn)[4-6].

非線性算子不動(dòng)點(diǎn)迭代的早期成果是1922年Banach[7]提出的壓縮映像原理.1953年,Mann[8]受Banach壓縮映像原理的啟發(fā),提出了Mann迭代算法.1967年,Halpern[9]提出了Halpern迭代算法.1974年,Ishikawa[10]基于Mann迭代算法提出了兩步迭代(Ishikawa迭代)算法.除此之外,還有許多基于這幾種算法的其他算法[2-6].近幾年來,人們對(duì)于非線性映射不動(dòng)點(diǎn)的迭代計(jì)算越來越感興趣[11-13].此外,還有許多學(xué)者在無窮維Hilbert空間中研究SFP[14-16].

以上文獻(xiàn)中得到的許多結(jié)果都是建立在實(shí)Hilbert空間中.然而,在現(xiàn)實(shí)生活中多數(shù)數(shù)學(xué)問題都存在于Banach空間中.Banach空間比Hilbert空間更普遍.因此,在Banach空間中研究本課題十分有意義.到目前為止,在Hilbert空間中研究SFP解的強(qiáng)弱收斂定理已有較好的結(jié)果,但在一般Banach空間框架下的研究還較少.這是因?yàn)槠溲芯肯鄬?duì)較為困難,在Hilbert空間中一些性質(zhì)在Banach空間中不再成立,如Hilbert空間中投影算子具有1-Lipschitz連續(xù),正規(guī)對(duì)偶算子為恒等算子等性質(zhì).因此在Hilbert空間中處理分裂不動(dòng)點(diǎn)問題的方法,一般并不適用于一般Banach空間.

最近,一些學(xué)者開始在Banach空間中研究SFP和FPP[17-19].值得指出的是,在文獻(xiàn)[17]中,SFP的求解方法被推廣到Bregman投影的情況下,Schopfer等人在p一致光滑的Banach空間X中引入了改進(jìn)的C-Q算法,在X的對(duì)偶映射是弱到弱連續(xù)條件下,得到了弱收斂結(jié)果.本文的目的是在前人的基礎(chǔ)上,利用Bregman投影構(gòu)造一類迭代算法,用來逼近SFP的解.它同樣也是左Bregman強(qiáng)非擴(kuò)張映像的不動(dòng)點(diǎn),并得到了強(qiáng)收斂的結(jié)果.本文的擴(kuò)展改進(jìn)和完善了以上文獻(xiàn)中的相關(guān)研究結(jié)果.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要回顧了度量投影,Bregman投影,左Bregman強(qiáng)非擴(kuò)張映像等定義,給出了有關(guān)Bregman投影的一些性質(zhì),并且討論在后續(xù)內(nèi)容中會(huì)使用到的相關(guān)引理.

定義2.1[20]設(shè)f:E→R是一Gteaux可微的凸函數(shù).關(guān)于f的Bregman距離定義為:

Δf(x,y)=f(y)-f(x)-(f′(x),y-x),?x,y∈E

(2.1)

定義2.2[21]設(shè)非線性算子T:C→C,算子T的漸進(jìn)不動(dòng)點(diǎn)集定義如下:

(2.2)

(2.3)

(2.4)

特別地,在p一致凸Banach空間中,度量和Bregman距離有下列關(guān)系[21]:

(2.5)

其中τ>0是一固定的數(shù).

定義2.5[18]設(shè)C是Banach空間E的非空閉凸子集,度量投影定義為:

它是范數(shù)距離的唯一最小點(diǎn),它可由下列變分不等式(VI)來表征:

(2.6)

類似于度量投影,Bregman投影定義如下:

它是Bregman距離的唯一最小點(diǎn),同樣,Bregman投影可以用下列變分不等式(VI)來表征:

(2.7)

由上式得

Δp(ΠCx,z)≤Δp(x,z)-Δp(x,ΠCx),?z∈C

(2.8)

根據(jù)文獻(xiàn)[22],定義函數(shù)Vp:E*×E→[0,+∞)如下：

〈f′(x),y-x〉≤f(y)-f(x).

(2.10)

接下來的引理2.1,引理2.2和引理2.3在本文主要結(jié)果的證明中起到重要作用.

引理2.1[23]設(shè)E是q一致光滑的,x,y∈E,則存在mq>0,使得

‖x-y‖q≤‖x‖q-q〈Jp(x),y〉+mq‖y‖q.

引理2.2[24]設(shè){an}是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)列，滿足下列關(guān)系：

an+1≤(1-αn)an+αnσn+rn,

其中，(i){αn}?[0,1],∑αn=∞;(ii)limsupσn≤0;(iii)γn≥0,∑γn<∞.

則有an→0,n→∞.

引理2.3[25]設(shè){an}是一個(gè)實(shí)數(shù)列,使得存在{n}的一個(gè)子列{ni},滿足ani

amk≤amk+1,ak≤amk+1.

事實(shí)上,令mk=max{j≤k:aj

2015年,Shehu,Ogbuisi和Iyiola在文獻(xiàn)[1]中,得到如下主要結(jié)果:

(2.11)

通過以上結(jié)論,很自然地能產(chǎn)生如下一個(gè)問題A:當(dāng)?shù)鷧?shù)序列{θn}取θn≡1或θn≡0時(shí),以上定理是否還成立?

3 主要結(jié)果—定理3.1和定理3.2及其證明

本節(jié)的目的是給出問題A的一個(gè)肯定回答.因此,得到以下兩個(gè)定理:定理3.1和定理3.2.

(3.1)

(3.2)

下面分別給出定理3.1和定理3.2的證明.

證明記rn=Avn-PQ(Avn),由(2.7),對(duì)于?u∈F(T)∩Γ,可得

(3.3)

這樣由(3.3)和引理2.1可以得到

(3.4)

根據(jù)條件(iii),得到

Δp(xn,u)≤Δp(vn,u).

(3.5)

根據(jù)(2.8),(2.10)和(3.5)可得

≤αnΔp(v,u)+(1-αn)Δp(xn,u)

≤αnΔp(v,u)+(1-αn)Δp(vn,u)

≤max{Δp(v,u),Δp(vn,u)}

≤?

≤max{Δp(v,u),Δp(v1,u)}

(3.6)

情形1假設(shè)序列{Δp(xn,u)}單調(diào)非增,即存在n1∈N,使得{Δp(xn,u)}是單調(diào)增的.又因?yàn)樾蛄衶Δp(xn,u)}的非負(fù)性,根據(jù)單調(diào)有界定理知序列{Δp(xn,u)}是收斂的且

Δp(xn+1,u)-Δp(xn,u)→0,n→∞.

(3.7)

Δp(wn,ΠC(wn))≤Δp(wn,u)-Δp(xn,u)

≤Δp(vn,u)-Δp(xn,u)

(3.8)

≤αn-1L+Δp(xn-1,u)-Δp(xn,u)→0,n→∞.

(3.9)

同樣地,由(3.4)知

(3.10)

(3.11)

(3.12)

由A的連續(xù)性,‖xn-vn‖→0可得xnk?Ax′,Avnk?Ax′.在(3.12)中令k→∞,可得‖Ax′-PQAx′‖=0.因此,Ax′=PQAx′,即Ax′∈Q.故證明了x′∈Γ.

Δp(sn,xn)≤αnΔp(v,xn)+(1-αn)Δp(xn,xn)→0,n→∞.

(3.13)

情形2 假設(shè)存在{n}的子列{nk},使得Δp(xnk,u)<Δp(xnk+1,u),?k∈N.由引理2.3知存在一個(gè)非遞減的序列{mk}?N,使得Δp(xmk,u)≤Δp(xmk+1,u)和Δp(xk,u)≤Δp(xmk+1,u).由單調(diào)有界定理知序列{Δp(xmk,u)}收斂.

綜上所述,證明了文獻(xiàn)[1]得到的主要結(jié)果:定理2.1[1]中的參數(shù)θn≡1時(shí),由算法(2.11)生成的序列{xn}和序列{vn}都強(qiáng)收斂到x0=ΠΓ(v).

證明證明x′∈Γ過程同定理3.1的證明類似.此處不再證明.

Δp(zn,u)=Δp(Txn,u)≤Δp(xn,u).

(3.14)

因此,根據(jù)(2.10),(3.5)和(3.14)可得

(3.15)

下證xn→ΠF(T)∩Γ(v).記x0=ΠF(T)∩Γ(v),類似(3.6)證明得

接下來的證明過程與定理3.1中兩種情形,情形1和情形2類似,不再詳細(xì)證明.

綜上,我們證明了文獻(xiàn)[1]得到的主要結(jié)果:定理2.1[1]中參數(shù)θn≡0時(shí),由算法(2.11)生成的序列{xn}和序列{vn}都強(qiáng)收斂到x0=ΠF(T)∩Γ(v).

注3.1定理3.1和定理3.2分別說明了文獻(xiàn)[1]得到的主要結(jié)果:定理2.1[1]對(duì)θn≡1和θn≡0均成立.因此,我們的主要結(jié)果—定理3.1和定理3.2是對(duì)2015年Shehu,Ogbuisi和Iyiola[1]的主要結(jié)果—定理2.1[1]的拓展和補(bǔ)充.