試論數(shù)學(xué)運(yùn)算的水平與教學(xué)

沈良

摘 ?要：以平面向量數(shù)量積為研究載體，探討了數(shù)學(xué)運(yùn)算的四個(gè)水平——理解、運(yùn)用、綜合、創(chuàng)新. 這些運(yùn)算水平可以從運(yùn)算的種類、情境和方法三個(gè)方面分析特征. 運(yùn)算水平的提升，主要受結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、情境的動(dòng)態(tài)性、表征的抽象性、元素的多樣性等因素影響. 教學(xué)中，要“根據(jù)不同要求，開展不同水平教學(xué);落實(shí)算理教學(xué)，提升運(yùn)算設(shè)計(jì)能力;加強(qiáng)推理培養(yǎng)，提升運(yùn)算求解能力”，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算;理解;運(yùn)用;綜合;創(chuàng)新;平面向量

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》），將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平，分別從情境與問(wèn)題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思四個(gè)方面闡述了不同水平的考查要求. 例如，從情境與問(wèn)題來(lái)看，水平一要求能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問(wèn)題;水平二要求能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問(wèn)題;水平三要求在綜合的情境中，能夠把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題，確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向. 國(guó)內(nèi)一些學(xué)者和教師也對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算水平進(jìn)行了研究，如有學(xué)者根據(jù)喻平教授從知識(shí)的角度切入，參照布魯姆的學(xué)習(xí)目標(biāo)分類、PISA模型和SOLO模型等對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力在三級(jí)水平上的具體表現(xiàn)給出操作性定義：水平一，知識(shí)理解;水平二，知識(shí)遷移;水平三，知識(shí)創(chuàng)新. 有學(xué)者根據(jù)對(duì)特定數(shù)學(xué)運(yùn)算的理解與運(yùn)用情況，將學(xué)生在特定數(shù)學(xué)運(yùn)算方面的水平分為五級(jí)：潛在概念水平，數(shù)學(xué)概念水平，簡(jiǎn)單運(yùn)算水平，運(yùn)用算理水平，綜合運(yùn)算水平. 也有學(xué)者用布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)指導(dǎo)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，從知識(shí)維度和認(rèn)知過(guò)程維度研究數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 這些研究對(duì)于一線教師開展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)教學(xué)都有良好的啟發(fā).

如何結(jié)合一個(gè)具體的運(yùn)算研究數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的水平，這是筆者思考的問(wèn)題. 若從“構(gòu)建、選擇、設(shè)計(jì)、推進(jìn)和優(yōu)化”等全過(guò)程考慮數(shù)學(xué)運(yùn)算，會(huì)涉及整個(gè)解題系統(tǒng)，這樣就不利于具體數(shù)學(xué)運(yùn)算水平的研究. 因此，筆者嘗試選擇平面向量數(shù)量積運(yùn)算開展數(shù)學(xué)運(yùn)算水平的探究，從一個(gè)相對(duì)封閉的環(huán)境開始研究，且不涉及數(shù)量積運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用，因?yàn)檫@又會(huì)關(guān)系到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

選擇平面向量數(shù)量積作為研究對(duì)象有下述理由：（1）數(shù)量積運(yùn)算內(nèi)涵豐富，既包含代數(shù)屬性，又蘊(yùn)含幾何意義，可以用定義、坐標(biāo)、幾何等形式計(jì)算求值;（2）數(shù)量積與向量線性運(yùn)算等構(gòu)成混合運(yùn)算，有一些良好的運(yùn)算律;（3）平面向量是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)新對(duì)象，它的運(yùn)算相對(duì)獨(dú)立，便于考查研究;（4）平面向量數(shù)量積運(yùn)算的發(fā)展十分豐富，既可以類比到空間向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)，也可以類比到向量外積的學(xué)習(xí).

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算的水平劃分

選定研究對(duì)象之后，需要思考如何進(jìn)一步劃分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算水平. 綜合《標(biāo)準(zhǔn)》和學(xué)者專家的觀點(diǎn)，筆者將數(shù)學(xué)運(yùn)算水平劃分為四個(gè)層次：理解，運(yùn)用，綜合，創(chuàng)新.

其一，布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)中的第一層次是記憶，由此筆者以為數(shù)學(xué)運(yùn)算是一種推理活動(dòng)，只有理解之后才能推進(jìn)，只有理解數(shù)學(xué)概念、掌握運(yùn)算法則后，才能展開數(shù)學(xué)運(yùn)算. 數(shù)學(xué)運(yùn)算的起步水平就是理解. 理解水平上的數(shù)學(xué)運(yùn)算種類比較單一，或是簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算.

其二，運(yùn)用是指對(duì)運(yùn)算概念和運(yùn)算法則比較靈活的運(yùn)用. 它往往涉及多種運(yùn)算，需要借助轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法進(jìn)行. 這里需要說(shuō)明的是，為何選擇“運(yùn)用”這個(gè)詞而不選擇“遷移”這個(gè)詞，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決、數(shù)學(xué)運(yùn)算的進(jìn)行都是遷移，只是有“近遷移”“遠(yuǎn)遷移”“橫向遷移”“縱向遷移”的區(qū)別，所以要選擇一個(gè)介于“理解”和“綜合”水平之間的詞，“運(yùn)用”更恰當(dāng).

其三，綜合是指在相對(duì)復(fù)雜的情境中找到運(yùn)算解決的路徑，它不僅涉及多種運(yùn)算，而且運(yùn)算的方向也不是那么明朗，需要分析條件中的各個(gè)要素，以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)，找到條件與運(yùn)算結(jié)果之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.

其四，運(yùn)算的創(chuàng)新指向什么？運(yùn)算的學(xué)習(xí)是可以類比的. 例如，可以從指數(shù)運(yùn)算類比到對(duì)數(shù)運(yùn)算，可以從數(shù)的加法類比到向量的加法，等等. 創(chuàng)新在數(shù)學(xué)運(yùn)算中體現(xiàn)的是通過(guò)運(yùn)算的學(xué)習(xí)、經(jīng)驗(yàn)的積累，引導(dǎo)學(xué)生用編程的視角自己創(chuàng)造新的運(yùn)算，并在一套體系中實(shí)現(xiàn)運(yùn)算建構(gòu). 這有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為一種創(chuàng)造學(xué)習(xí)，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)這樣的機(jī)會(huì)讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)這種創(chuàng)造.

二、數(shù)學(xué)運(yùn)算各水平的特征

實(shí)踐中，可以從運(yùn)算種類、運(yùn)算情境和運(yùn)算方法三個(gè)維度刻畫每個(gè)水平的具體特征，如下表所示. 理解水平中，運(yùn)算種類相對(duì)單一，運(yùn)算規(guī)則比較清晰，靜態(tài)問(wèn)題居多，直接運(yùn)算求值，它是運(yùn)算概念與運(yùn)算規(guī)則的直接應(yīng)用;運(yùn)用水平中，運(yùn)算一般以混合形式出現(xiàn)，研究問(wèn)題動(dòng)靜結(jié)合，但以單變量為主，一般需要借助概念、定理、公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而推進(jìn)下一步計(jì)算;綜合水平中，以混合運(yùn)算為主，問(wèn)題情境綜合程度較高，動(dòng)態(tài)居多，滲透多變量，要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用知識(shí)和方法設(shè)計(jì)運(yùn)算路徑，實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的探究求值;創(chuàng)新水平中，教師引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造運(yùn)算，類比學(xué)習(xí)，這是一種高級(jí)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的要求極高.

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算水平的問(wèn)題設(shè)計(jì)

根據(jù)研究需要，筆者以“平面向量數(shù)量積”為素材設(shè)計(jì)了四個(gè)水平的試題，提供給高一、高三學(xué)生進(jìn)行抽樣測(cè)試，并對(duì)測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析.

1. 理解水平的設(shè)計(jì)

問(wèn)題1：已知平面向量[a，b]滿足[a=1， b=2]，且[a，b]夾角為[60°]，試計(jì)算下列各值.

（1）[a · b];

（2）[a+b · ?a-b];

（3）[2a+3b · 4a-5b].

問(wèn)題2：已知平面向量[a，b]滿足[a=1，1]，[b=][2，3]，試計(jì)算下列各值.

（1）[a · b];

（2）[a+b · a-b];

（3）[a+3b · 2a-7b].

2. 運(yùn)用水平的設(shè)計(jì)

問(wèn)題3：已知[△ABC]中，[AB=4，AC=3]，[∠BAC=][60°]，[BD=13BC]，則[AB · AC]的值為 ? ? ?.

問(wèn)題4：已知[△ABC]中，[AB=4，AC=2]，且點(diǎn)[O]為[△ABC]外接圓的圓心，則[AO · AB]的值為 ? ? ? ，[AO · BC]的值為 ? ? ? .

問(wèn)題5：在[?ABCD]中，已知[AB=4，AD=3，∠BAD=][60°]，[P]為[?ABCD]內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），則[AP · AB]的最大值為 ? ? ?.

3. 綜合水平的設(shè)計(jì)

問(wèn)題6：已知平面向量[a，b]滿足[a=1]，[b+a=][2b-a]，則[a · b]的最大值為 ? ? ?.

問(wèn)題7：已知平面向量[a，b，c]滿足[a=1]，[b=][3]，[a · b=0]，[c-a]與[c-b]的夾角為[π6]，則[c · b-a]的最大值為 ? ? ?.

問(wèn)題8：在平面凸四邊形[ABCD]中，[AB=2]，點(diǎn)[M，][N]分別是邊[AD，BC]的中點(diǎn)，且[MN=32]，若[MN ·][AD-BC=32]，則[AB · CD]的值為 ? ? ?.

4. 創(chuàng)新水平的設(shè)計(jì)

問(wèn)題9：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）定義為[a · b=][abcosθ]（其中[θ]為[a]與[b]的夾角）. 類似地，我們也可以定義兩個(gè)向量的叉乘（外積）[c=a×b]，且[a×b=][absinθ]（其中[θ]為[a]與[b]的夾角）. 結(jié)合圖1可知，向量[a，b]的叉乘表示一個(gè)向量[c]，其方向垂直于[a]和[b]，指向符合右手規(guī)則，如圖2所示. 且[c=absinθ].

根據(jù)上述材料，試回答下列問(wèn)題.

（1）求值：[a×a]的值為 ? ? ?.

（2）求值：向量[a，b]滿足[a=1， b=2]，且[a，b]的夾角為[60°]，則[a×b]的值為 ? ? ?.

（3）[a×b]的值為 ? ? ?.（填[b×a]或[-b×a].）

（4）若空間向量[a，b]的坐標(biāo)分別為[a=1，0，0]，[b=0，1，0]，則向量[a×b]的值為 ? ? ?.

四、數(shù)學(xué)運(yùn)算結(jié)果的測(cè)評(píng)分析

從檢測(cè)數(shù)據(jù)總體來(lái)看，學(xué)生在解答不同水平試題的過(guò)程中具有不同表現(xiàn). 例如，學(xué)生解答問(wèn)題1、問(wèn)題2的正確率顯然高于問(wèn)題8和問(wèn)題9，即運(yùn)算水平要求低則正確率高，運(yùn)算水平要求高則正確率低. 將復(fù)雜運(yùn)算和簡(jiǎn)單運(yùn)算對(duì)照，可以發(fā)現(xiàn)所謂運(yùn)算復(fù)雜性至少包含這些因素：結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，情境的動(dòng)態(tài)性，表征的抽象性，元素的多樣性，等等.

1. 結(jié)構(gòu)越復(fù)雜混合運(yùn)算越多

運(yùn)算通常由一些代數(shù)式經(jīng)過(guò)相應(yīng)的程序操作得到結(jié)果，而代數(shù)式的簡(jiǎn)潔與復(fù)雜程度會(huì)影響學(xué)生的運(yùn)算. 如上所述，面對(duì)[a+b · a-b]和[2a+3b · 4a-5b]時(shí)，學(xué)生計(jì)算[a+b · ?a-b]的正確率會(huì)更高. 其原因是兩個(gè)運(yùn)算式相比，[a+b · a-b]的結(jié)構(gòu)式更簡(jiǎn)潔，而簡(jiǎn)潔的本質(zhì)是混合運(yùn)算更少，或者說(shuō)中間需要經(jīng)歷的化簡(jiǎn)過(guò)程更少. 事實(shí)上，[2a+3b · 4a-5b]比[a+b · a-b]多了些系數(shù)，本質(zhì)上便是多了數(shù)乘運(yùn)算的過(guò)程. 又如，同樣計(jì)算加法[17+96]和[17+12]，顯然[17+96]的錯(cuò)誤率會(huì)更高，其原因就是[17+96]涉及進(jìn)位問(wèn)題，學(xué)生更容易出錯(cuò). 因此，結(jié)構(gòu)式的復(fù)雜性是混合運(yùn)算多樣性的反映.

2. 情境的動(dòng)態(tài)性關(guān)聯(lián)變量研究

數(shù)學(xué)問(wèn)題情境一般可以分為靜態(tài)與動(dòng)態(tài). 靜態(tài)問(wèn)題學(xué)生更容易把握，而動(dòng)態(tài)問(wèn)題往往需要引進(jìn)變量去刻畫，這就給問(wèn)題研究帶來(lái)了困難. 例如，運(yùn)用水平中問(wèn)題5與問(wèn)題3的差異，就是情境的動(dòng)態(tài)性. 問(wèn)題5中學(xué)生若能發(fā)現(xiàn)[AP · ABmax=AC · AB]，運(yùn)算反而更加簡(jiǎn)單，但問(wèn)題5的難點(diǎn)恰好在于動(dòng)態(tài)之中如何借助數(shù)量積的幾何意義等方法找到點(diǎn)[P]位于點(diǎn)[C]處時(shí)[AP · AB]最大，這就涉及運(yùn)算轉(zhuǎn)化等問(wèn)題. 從這個(gè)角度來(lái)看，從一個(gè)相對(duì)封閉的研究起點(diǎn)開始可以發(fā)現(xiàn)，影響運(yùn)算的不僅僅是運(yùn)算本身. 如果問(wèn)題5改為直接計(jì)算[AC · AB]的值，正確率勢(shì)必會(huì)比問(wèn)題3高很多. 因此，運(yùn)算的困難正是源于它貫穿數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的始終.

3. 抽象程度越高模型越難建構(gòu)

對(duì)于綜合水平中的問(wèn)題6，有些學(xué)生也顯得束手無(wú)策，主要是不知道如何轉(zhuǎn)化條件[b+a=2b-a]，這就涉及問(wèn)題的抽象性. 事實(shí)上，對(duì)[b+a=2b-a]的處理，一種是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，可以表征為阿波羅尼斯圓. 設(shè)[OA=a]，[OB=b]，作圖得[BA=2BA]. 根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義，可知點(diǎn)[B]的軌跡為以[A1A2]（[A1，A2]分別為內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)）為直徑的圓，如圖3所示. 故[a · bmax=3].

當(dāng)然，也可以將[b+a=2b-a]兩邊平方，得[3b2-][10b · a+3a2=0]. 有[b-3a · b-a3=0]，故[b]的終點(diǎn)是以[A1A2]為直徑的圓，如圖4所示. 故[a · bmax=3].

4. 研究對(duì)象越多綜合程度越高

情境復(fù)雜性的一個(gè)重要表現(xiàn)就是元素的多樣性，從運(yùn)算角度來(lái)看，就是運(yùn)算對(duì)象的多樣性. 問(wèn)題7和問(wèn)題8，對(duì)學(xué)生而言比較畏懼，主要是因?yàn)槎忌婕叭齻€(gè)以上向量，研究清楚這些向量的位置關(guān)系是首要的. 問(wèn)題7中，由“[c-a]與[c-b]的夾角為[π6]”知[c]的終點(diǎn)[C]在弦[AB]所對(duì)的圓上，[∠ACB=π6，AB=2]，根據(jù)正弦定理，得[△ACB]外接圓半徑為2，故終點(diǎn)[C]落在以[E2， 3]或[F-1，0]為圓心、半徑為2的圓上，如圖5所示.

由此得圓的方程為[x-22+y-32=4]或[x+12+][y2=4]. 利用投影的幾何意義、三角代換或設(shè)直線聯(lián)立方程等方法，求得[c · b-a]的最大值為5. 同樣，問(wèn)題8主要是基于基底思想，將條件中的向量轉(zhuǎn)化為[AB]和[CD]，從而解決問(wèn)題. 由問(wèn)題7和問(wèn)題8可以看到，當(dāng)有多個(gè)運(yùn)算對(duì)象時(shí)，總是需要固定一些運(yùn)算對(duì)象，即視作常量，再用動(dòng)態(tài)視角研究其他對(duì)象.

五、數(shù)學(xué)運(yùn)算水平的教學(xué)啟示

1. 根據(jù)不同要求，開展不同教學(xué)

將數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)落實(shí)到教學(xué)中，不同的發(fā)展水平應(yīng)有不同的教學(xué)要求. 具體要把握好以下兩個(gè)方面.

一是根據(jù)學(xué)生的能力把握教學(xué)要求. 學(xué)生的數(shù)學(xué)能力存在差異，考核的要求與目標(biāo)也有所不同. 教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)問(wèn)題，有針對(duì)性地將“理解、運(yùn)用、綜合、創(chuàng)新”四個(gè)層次融入教學(xué)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算思維.

二是根據(jù)學(xué)生的發(fā)展時(shí)期把握教學(xué)要求. 事物都是在發(fā)展的，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生也在發(fā)展變化. 例如，同樣是向量數(shù)量積教學(xué)，放在高三年級(jí)與高一年級(jí)具有較大的差異，高一年級(jí)更多關(guān)注理解水平和運(yùn)用水平，而高三年級(jí)則需要兼顧綜合水平和創(chuàng)新水平. 特別是當(dāng)我們?cè)趯で髮W(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)時(shí)，就需要在夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)的同時(shí)，開放學(xué)生思維，創(chuàng)新問(wèn)題設(shè)置方式，夯實(shí)學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的土壤.

2. 落實(shí)算理教學(xué)，提升運(yùn)算設(shè)計(jì)能力

不管開展哪個(gè)水平的運(yùn)算教學(xué)，都離不開落實(shí)算理教學(xué). 算理即運(yùn)算的道理，它是指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)運(yùn)算方法和運(yùn)算程序的一種觀念. 學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些學(xué)生對(duì)某些運(yùn)算問(wèn)題“不開竅”，總是想不到怎么算. 這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)就是學(xué)生對(duì)算理的理解不夠深刻. 如上，學(xué)生在計(jì)算問(wèn)題4中的[AO · AB]時(shí)，就不知道如何結(jié)合外接圓圓心的特征有效尋找數(shù)量積[AO · AB]的幾何意義. 在這個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生對(duì)算理的理解不深刻即表現(xiàn)為對(duì)數(shù)量積幾何意義的理解不深刻. 因此，在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)過(guò)程中，很多時(shí)候教師需要點(diǎn)通那個(gè)“理”，從而使學(xué)生的運(yùn)算有明確指向，再結(jié)合具體運(yùn)算方法，使數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)成為現(xiàn)實(shí). 因此，平面向量數(shù)量積的教學(xué)，就是要構(gòu)建好概念內(nèi)涵、幾何意義和坐標(biāo)形式的聯(lián)系，溝通好數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的聯(lián)系，理解數(shù)量積的應(yīng)用等，從而使學(xué)生在具體運(yùn)算中能依據(jù)算理、設(shè)計(jì)算法、執(zhí)行運(yùn)算等.

3. 加強(qiáng)推理培養(yǎng)，提升運(yùn)算求解能力

運(yùn)算的本質(zhì)為推理，即根據(jù)運(yùn)算的定義，由一個(gè)量或幾個(gè)量得到其他量，這個(gè)定義就是一個(gè)設(shè)計(jì)的程序. 如上，向量[a]和[b]的數(shù)量積即為[a]，[b]和其夾角的余弦值三者的乘積，得到一個(gè)具體的值. 根據(jù)定義，結(jié)合條件，運(yùn)用推理，實(shí)現(xiàn)求值. 例如，在上述問(wèn)題8中，如圖6，因?yàn)槟繕?biāo)指向?yàn)閇AB · CD]，故可以嘗試將條件中的向量轉(zhuǎn)化為[AB]和[CD]的形式. 由[MN=MA+][AB+BN]，[MN=MD+DC+CN]，兩式相加，得[2MN=][AB+DC]，且[AD-BC=AB+BD-BD+DC=AB-DC].所以[MN · AD-BC=12AB+DC · AB-DC=32]. 得到[AB2-DC2=3]. 故[DC2=1]. 再由[MN=32]，將[2MN=][AB+DC]兩邊平方，通過(guò)計(jì)算可以得到[AB · DC=2]，故[AB · CD=-2].

[N][M][D][C][B][A][圖6]

問(wèn)題8中，通過(guò)線性運(yùn)算實(shí)現(xiàn)向量轉(zhuǎn)化，通過(guò)平方運(yùn)算將長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算，邏輯推理是手段，概念、定理、公式等是基礎(chǔ)，而運(yùn)算是工具和目標(biāo)，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決. 教學(xué)中，需要將運(yùn)算和推理緊密結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用推理的眼光看運(yùn)算，通過(guò)運(yùn)算建立已知量與未知量的聯(lián)系.

數(shù)學(xué)運(yùn)算具有不同水平，這個(gè)水平一定程度上體現(xiàn)了學(xué)生的解題水平，因?yàn)閿?shù)學(xué)解題的核心是推理運(yùn)算，故運(yùn)算貫穿于解題的始終. 本文以平面向量數(shù)量積這個(gè)相對(duì)封閉的運(yùn)算系統(tǒng)為研究載體，探討了運(yùn)算的四個(gè)水平和特征，但運(yùn)算的落腳點(diǎn)并不局限于此. 在實(shí)際教學(xué)中，還要考慮運(yùn)算的整體，即從運(yùn)算的構(gòu)建、選擇、設(shè)計(jì)、推進(jìn)和優(yōu)化等全過(guò)程進(jìn)行考慮.

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