試論高中數(shù)學教學中推理的應用

張瑞兵 付強 王曉慧 曹靜慧

摘 ?要：在數(shù)學中，求解、證明的過程離不開推理，它貫穿于高中數(shù)學學習的始終，在知識體系的構建、能力的提升、核心素養(yǎng)的落實及知識之間的聯(lián)系等方面發(fā)揮著重要的作用. 以“平面向量及其應用”為例闡釋了推理之間的聯(lián)系及其應用的廣泛性.

關鍵詞：類比推理;歸納推理;演繹推理;特殊;一般

從本質上來說，數(shù)學有兩種推理模式. 一種是歸納推理，另一種是演繹推理. 事實上，在數(shù)學、自然科學，甚至社會科學，以及人們的日常生活中，這兩種推理模式都是最基本的. 正如愛因斯坦所說，西方科學的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎，那就是希臘哲學家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學中），以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出的因果關系（在文藝復興期間）. 愛因斯坦所說的兩個成就，前者指的是演繹推理，后者指的是歸納推理.

歸納推理自古有之，是人們在生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的重要手段. 例如，畢達哥拉斯學派的三角形數(shù)、正方形數(shù)等均是從特殊的前幾個數(shù)，尋求規(guī)律，推廣到第[n]個圖形對應的數(shù)，體現(xiàn)了歸納的思想. 因為有歸納猜想，數(shù)學才會趣味無窮，如著名的哥德巴赫猜想、費馬猜想、四色定理等. 前人發(fā)現(xiàn)、提出了問題，自然就會有后人分析、解決問題，這體現(xiàn)了數(shù)學的魅力所在，有的數(shù)學家甚至為它付出了畢生的精力，如我國數(shù)學家陳景潤是接近哥德巴赫猜想證明的第一人. 證明猜想、命題等用的則是演繹推理. 演繹推理是嚴格的邏輯推理，一般表現(xiàn)為大前提、小前提、結論的三段論模式. 亞里士多德是主張進行有組織地研究演繹推理的第一人，歐幾里得是第一個將亞里士多德用三段論形式表述的演繹法用于構建實際知識體系的人.

歸納推理是指從具體問題出發(fā)通過觀察、猜想、比較、聯(lián)想、歸納、類比提出猜想. 它包括不完全歸納法、類比法、簡單枚舉法等. 簡言之，不完全歸納法是部分推出整體，個別推出一般的推理;類比法是由特殊到特殊的推理. 得到數(shù)學命題主要依靠歸納和類比，通過歸納推理得到的結論是或然成立的. 演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論的推理. 它包括三段論、反證法、數(shù)學歸納法等. 簡言之，演繹推理是從一般到特殊的推理. 證明數(shù)學命題主要依靠演繹推理，在大前提、小前提正確的條件下，通過演繹推理得到的結論是必然成立的. 歸納、類比、演繹三種推理之間的聯(lián)系，如圖1所示.

歸納推理和演繹推理不僅要作為知識來學習，也是一種數(shù)學文化的融入，更貫穿于高中數(shù)學學習的始終. 可以說高中數(shù)學中推理無處不在，在知識體系的構建、能力的提升、核心素養(yǎng)的落實及知識之間的聯(lián)系等方面發(fā)揮了重大的作用.

一、構建知識概念，提升學生能力

在向量的起始教學中，我們往往先舉幾個特殊的實例，從學生熟悉的情境入手，建立起向量的概念.

情境1：小船由A地向東南方向航行15 n mile到達B地（速度大小為10 n mile / h），試問小船的位移是什么？速度呢？

情境2：圖2是水平放置的物體，它受到的重力是怎樣的？

先讓學生回答上述問題，回答不完整的其他學生補充. 位移、速度、力都是物理中的量，這些物理量都是學生熟悉的知識，它們不僅有大小，而且有方向，從而為抽象出向量的本質特征做好鋪墊，歸納得出向量的概念.

得到了向量的概念之后，接著學習了一些特殊的向量，如零向量、單位向量、相等向量、共線向量（平行向量）. 學生在這里可能有些疑惑：為什么學習這些向量？實際上，這些向量來源于向量的要素——大小和方向. 學完概念后就要學習概念的內涵與外延，這些向量是特殊的大?。阆蛄?、單位向量）或特殊的方向（共線、垂直）下的產物. 同時，分類是概念的外延，給出研究對象的含義后，往往要研究特殊的情形，這是研究問題的一般套路，也是概念完備性的體現(xiàn).

有了以上概念的保證，我們可以判斷下列結論是否正確，以加深對定義的理解和掌握.

練習：（1）若[a]與[b]都是單位向量，則[a=b].

（2）直角坐標平面上的[x]軸、[y]軸都是向量.

（3）相等向量的起點必定相同.

（4）向量[AB]與向量[BA]共線且長度相等.

在學習上述新課時，我們從一些熟悉的背景入手，通過觀察、比較、歸納等方法，提煉其共同的屬性，從而抽象、概括出新的研究對象的概念，這一過程恰好體現(xiàn)了從特殊到一般的歸納推理，也就是從特殊的例子到一般性的概念. 而在后續(xù)的例題講解、習題訓練中，則是用一般性的概念解決問題. 因為數(shù)學中的概念或定義本身就是充要條件，既是判定，也是性質，這一過程恰恰體現(xiàn)了從一般到特殊的演繹推理. 由此可以看出，一節(jié)完整的新課的流程大致是這樣的：特殊的例子—一般的概念—特殊的習題. 正好是先從特殊到一般的歸納抽象，再從一般到特殊的演繹應用，即特殊實例[抽象概括]一般概念、結論[應用解決]具體的例題和習題.

我們常說要培養(yǎng)學生從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力（簡稱“四能”），其實這一過程也是從特殊到一般再到特殊的過程，即特殊[發(fā)現(xiàn)、提出問題]一般[分析、解決問題]特殊.

在向量的線性運算的教學中，我們可以從向量的概念出發(fā)，提出合適的課堂討論問題，使學生經(jīng)歷向量減法的抽象過程.

問題1：類比實數(shù)[x]的相反數(shù)是[-x]，對于向量[a]，你能定義它的相反向量嗎？

追問：類比相反數(shù)[-x]的性質，你能得出相反向量的性質嗎？

問題2：類比實數(shù)的減法：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，即[x-y=x+-y]. 你認為可以怎樣定義向量的減法？

設計問題1和追問是為了類比相反數(shù)定義相反向量，并得出相反向量的性質，為幫助學生探討向量的減法法則進行準備. 設計問題2的目的是引導學生類比數(shù)的減法定義向量的減法，并借助向量的加法推導向量的減法.

在上述過程中，借助類比數(shù)的運算發(fā)現(xiàn)和提出問題，經(jīng)過分析、歸納、抽象等方法得出新的研究對象——向量的減法，再一次體現(xiàn)了從特殊到一般的推理過程. 理清減法概念之后，就可以利用向量的加法推導減法，也就是用所學知識解決問題. 這又是從一般到特殊的應用過程.

在教學過程中，我們培養(yǎng)學生“四能”的過程往往都是先給出具體的例子讓學生觀察，引導學生發(fā)現(xiàn)、探討其共同特點，然后進一步提出問題，能不能把這些共同的特點用文字語言來統(tǒng)一敘述，或者轉化為符號語言、圖形語言，經(jīng)過探究和思考（即分析問題）就可以得出一般性結論，最后再用所得的結論去解決問題.

二、在推理中落實核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出了數(shù)學課程要培養(yǎng)學生的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象，邏輯推理，直觀想象，數(shù)學建模，數(shù)學運算，數(shù)據(jù)分析. 在實際教學中，這些素養(yǎng)的發(fā)展和提升與推理也是密不可分的.

從特殊到一般，與數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)密不可分，而從一般到特殊與數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)聯(lián)系緊密. 當然，上述過程中都需要用到數(shù)學運算、邏輯推理. 章建躍博士說過，推理是命根子，運算是童子功. 這足以說明推理和運算在數(shù)學學科中的核心地位，也就是說推理與培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的過程緊密相連. 推理是核心素養(yǎng)的內容，核心素養(yǎng)是緊緊依附于推理的，必須從數(shù)學推理的邏輯屬性及要求下手，才能真正認清素養(yǎng)的內涵、把握其本質特征，即特殊[數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象]一般[數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析]特殊.

例如，在學習向量時經(jīng)常會遇到類似問題：已知[a，b]是兩個非零向量，同時滿足[a=b=a-b]，求[a]與[a+b]的夾角.

解法1：借助向量的運算，求兩個向量的夾角.

將已知式子平方，得[a2=b2=a-b2].

則[a · b=a22]，

故[a · a+b=3a22]，[a+b=a+b2]=[3a].

所以[cosa，a+b=a · a+baa+b=32]，即所求夾角為30°.

解法2：利用向量的坐標運算，求夾角.

不妨設[a=1，0，b=cosθ，sinθ].

則[a-b=1-cosθ，-sinθ].

故[a-b=1-cosθ2+sin2θ=2-2cosθ=1].

推出[cosθ=12].

此時[a+b=1+cosθ，sinθ=32，±32]，再利用向量的坐標運算求解.

解法3：結合向量運算的幾何意義.

作[OA=a]，[OB=b]，則[a-b=BA].

以[OA，OB]為鄰邊作平行四邊形[OACB]，如圖3所示，則有[a+b=OC].

由題意，可知[△OAB]是等邊三角形，即四邊形[OACB]是菱形.

由菱形的性質，知對角線[OC]平分[∠AOB]，

所以[OA]與[OC]的夾角為30°.

該題的解法1借助向量的運算——線性運算、數(shù)量積，通過平方先求[a · b]的值，再利用數(shù)量積的夾角公式求解，發(fā)展了學生的數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng). 解法2突出向量的坐標運算，也有特殊性的體現(xiàn)，如假設已知相等向量的模長為1，且[a=1，0]，結合三角函數(shù)知識求出[cosθ]，最后再用數(shù)量積的坐標表示求解. 當然，也可以更一般化地求解. 解法3根據(jù)向量運算的幾何意義，主要是加、減法在平行四邊形這一模型中都可以表示出來，聯(lián)系三角形及平行四邊形的知識求解，提升了學生的直觀想象、數(shù)學建模素養(yǎng). 這一過程主要是用一般知識解決問題，體現(xiàn)了我們所說的從一般到特殊的推理過程. 同時，也體現(xiàn)了直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng)的不斷提升和發(fā)展的過程. 在解決該題的過程中，要先根據(jù)題意，結合向量的運算求夾角，再利用數(shù)量積的工具性——求長度、夾角來求解這個特殊的例子，體現(xiàn)從一般到特殊的演繹推理.

三、由推理建立知識之間的聯(lián)系

高中階段知識之間的聯(lián)系體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的推理. 利用數(shù)學知識的內在聯(lián)系，使不同的數(shù)學內容相互溝通，可以提高學生對數(shù)學的整體認知水

平. 特別地，在教材中強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，這些思想方法與所學內容融合就形成了如圖4所示的常用的邏輯思考方法.

這種思考問題的邏輯方法，不僅是知識內部的一種聯(lián)系，還在各種知識之間建立了聯(lián)系，有著廣泛的應用.

仍然以平面向量及其運算為例，先來看與外部知識之間的聯(lián)系. 平面向量及其運算與空間向量及其運算緊密聯(lián)系，與數(shù)及其運算直接相關，在其他學科中也有廣泛的應用. 這種聯(lián)系如圖5所示.

[復數(shù)及其運算][空間中的向量及其運算][直線上的向量及其運算] [平面上的向量及其運算][力和有向線段][實數(shù)及其運算] [圖5]

平面向量及其運算推廣之后可以得到空間向量及其運算，它的特殊情形就是直線上的向量及其運算（即共線），再特殊就是實數(shù)及其運算（只有大?。? 我們可以借助物理中的力、位移等矢量和有向線段來研究向量及其運算. 同樣地，類比平面向量及其運算的研究方法，我們還可以研究復數(shù)及其運算，研究思路是一樣的. 向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，既是代數(shù)研究對象（運算），也是幾何研究對象（幾何意義），它在各種知識之間起著紐帶的作用.

通過不同數(shù)學知識的聯(lián)系與啟發(fā)，強調類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運用，學習數(shù)學的思考問題方式，提高學生的數(shù)學思維能力，培育學生的理性精神. 內部聯(lián)系如圖6所示.

我們先學習了平面向量的一般概念，在此基礎上類比數(shù)的運算（加、減、乘）及矢量（位移、力等）的合成學習了向量的線性運算（加、減、數(shù)乘），之后在線性運算的基礎上推導了平面向量基本定理，平面向量基本定理特殊化就是向量的坐標運算. 類比物理中的做功研究了數(shù)量積，特殊化后是它的性質，也是它的應用：如果角特殊，即共線、垂直等，可以判斷兩個向量是否共線、垂直，兩個相等向量的數(shù)量積可以求向量的模等;如果角不特殊，可以求任意兩個向量夾角的余弦，體現(xiàn)一般性. 最后由數(shù)量積的工具性——求長度、夾角，繼續(xù)研究了三角形的問題. 因為三角形是由三邊和三角構成的，先借助向量發(fā)現(xiàn)并證明了余弦定理和正弦定理，再利用兩個定理解決三角形中的邊角問題，這也體現(xiàn)了向量的應用性. 在本章知識的學習中用到了類比、特殊化、一般化等推理過程，內部結構的框架可以通過推理來構建，我們在教學時可以引導學生仿照上述過程建立知識之間的推理體系，將所學知識點連成知識網(wǎng)絡，以便更好地領會知識的內涵.

陳建功先生說過，片斷的推理，不但見諸任何學科，也可以從日常有條理的談話得之. 但是，推理之成為說理的體系者，限于數(shù)學一科……忽視數(shù)學教育論理性的原則，無異于數(shù)學教育的自殺. 可見推理對于數(shù)學學科的重要性.

推理體系貫穿于教學的始終. 推理不但是解決問題的工具，而且是體現(xiàn)數(shù)學嚴謹性的關鍵要素，是數(shù)學具有強大生命力的重要保障，更是數(shù)學的基本思想，是滲透數(shù)學文化的重要載體. 歸納和演繹不是矛盾的，而是相輔相成、相得益彰的. 通過歸納預測結果，然后通過演繹驗證結果. 無論是知識的獲得、能力的提升還是素養(yǎng)的發(fā)展，都有推理含在其中，我們利用推理在數(shù)學知識之間建立聯(lián)系，可以有效提高學生的學習效率. 發(fā)揮好推理的作用，就能為教學助力，使教學真正落實育人的功能.

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