兩個保序全變換半群的直積上的主同余

尚傳翠，楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

0 引言

為了敘述清楚結(jié)果,需要下面符號和術(shù)語.

設(shè)A,B為非空集,且C?A×B,C≠?,C的第一投影π1、第二投影π2分別定義為:

π1(C)={i∈A|?j∈B,使得(i,j)∈C}；π2(C)={j∈B|?i∈A,使得(i,j)∈C}.

本文的主要結(jié)果如下:

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1 主要結(jié)果的證明

(f,g)θ(f,g′)?(f′,g)=(h,1)(f,g)(h′,1)θ(h,1)(f,g′)(h′,1)=(f′,g′),

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證明顯然，有限多個Ii×Ij形式的集合的并是Υ的理想.

(1)如果θ有一個等價類A使|π1(A)|≥2,|π2(A)|≥2,則θ有一個等價類為Υ的理想;

(2)θ最多有一個等價類為理想.

下證I1×I1含于θ的一個等價類.

(Ca,Ce)θ(Ca,Cb),(Cd,Ce)θ(Ca,Ce)?(Ca,Cb)θ(Cd,Ce),

所以I1×I1含于θ的一個等價類[(Ca,Cb)]θ中.

任取(x,y)∈[(Ca,Cb)]θ,(x′,y′)∈Υ,則有

(xx′,yy′)θ(Cax′,Cby′)∈I1×I1?[(Ca,Cb)]θ.

進(jìn)而(xx′,yy′)∈[(Ca,Cb)]θ,同理可證得(x′x,y′y)∈[(Ca,Cb)]θ,故[(Ca,Cb)]θ是Υ的一個理想.

(2)假設(shè)I,J為θ的兩個不同的等價類,并且都是Υ的理想,則有IΥ?I,ΥJ?J.特別地,IJ?I,IJ?J.因此,IJ?I∩J,于是I∩J≠?,這與I,J是θ的兩個不同的等價類相矛盾,故而θ最多有一個等價類為理想.

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假設(shè)|f|≤|f′|=j,因為f≠f′,所以im(f)≠im(f′)或ker(f)≠ker(f′),分別考慮這兩種情況.

情況1 當(dāng)im(f)≠im(f′)時,因為|f′|=j≥|f|,所以im(f)im(f′).又是正則的,則存在冪等元使得于是im(f)=im(h),且fh=f.所以

(f′h,g′)=(f′,g′)(h,1)θ(f,g)(h,1)=(fh,g)=(f,g)θ(f′,g′),

情況2 當(dāng)ker(f)≠ker(f′)時,因為|f′|=j≥|f|,所以ker(f)ker(f′).同上存在冪等元使得于是ker(h)=ker(f).進(jìn)而

(hf′,g′)=(h,1)(f′,g′)θ(h,1)(f,g)=(hf,g)=(f,g)θ(f′,g′),

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引理6設(shè)θ是由((f,g),(f′,g′))生成的主同余,且f=f′,g≠g′,k=max{|g|,|g′|},則(a,b)θ(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立：

(1)(a,b)=(c,d),|a|>|f|或|b|>k;

(2)a=c,|a|≤|f|且max{|b|,|d|}≤k.

(1)(a,b)=(c,d),|a|>|f|或|b|>k;

(2)a=c,|a|≤|f|且max{|b|,|d|}≤k.

先證θ′是等價關(guān)系.自反性和對稱性顯然,下證傳遞性.設(shè)

((x,y),(x′,y′))∈θ′, ((x′,y′),(x″,y″))∈θ′.

如果(x,y),(x′,y′)滿足條件(1),則(x,y)=(x′,y′),于是(x,y)=(x′,y′)θ′(x″,y″);如果(x,y),(x′,y′)滿足條件(2),則x=x′,|x|≤|f|且max{|y|,|y′|}≤k.因為(x′,y′)θ′(x″,y″),故x′=x″,max{|y′|,|y″|}≤k,進(jìn)而x′=x″,max{|y|,|y″|}≤k,所以(x,y)θ′(x″,y″).

((a,g),(a,g′))=((ufv,g),(ufv,g′))=((u,1)(f,g)(v,1),(u,1)(f,g′)(v,1))∈θ,

因此θ′?θ.

另一方面,因為(f,g),(f′,g′)滿足條件(2),故((f,g),(f′,g′))∈θ′,于是θ?θ′.

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類似于引理6，有以下引理.

引理7設(shè)θ是由((f,g),(f′,g′))生成的主同余,且f≠f′,g=g′,j=max{|f|,|f′|},則(a,b)θ(c,d) 當(dāng)且僅當(dāng)下列條件之一成立：

(1)(a,b)=(c,d),|a|>j或|b|>|g|;

(2)b=d,|b|≤|g|且max{|a|,|c|}≤j.

引理8設(shè)θ是由((f,g),(f′,g′))生成的主同余,且f≠f′,g≠g′,令|f|=i,|g|=j,|f′|=k,|g′|=l,則θ是由理想I=(Ii×Ij)∪(Ik×Il)決定的Rees同余.

情況1 當(dāng)k≤i,l≤j時,I=Ii×Ij.因為f≠f′,g≠g′,由引理4得,θ有一個等價類K為理想,下證(f,g)∈K.

由于K是θ的一個等價類,因此(f′,g′)∈K.而I是包含{(f,g),(f′,g′)}的最小理想,故I?K,進(jìn)而θI?θ.

相反地,因為θ是由((f,g),(f′,g′))生成的主同余,而((f,g),(f′,g′))∈θI,所以θ?θI,于是θ=θI.

情況2 當(dāng)i≤k,j≥l時,I=(Ii×Ij)∪(Ik×Il).因為f≠f′,g≠g′,由引理4得,θ有一個等價類K為理想,下證(f,g)∈K.

(f,z′)θ(f,g)θ(f′,g′)θ(z,g′).

(f,g)θ(f,z′)=(fhf,z′)=(f,z′)(h,z′)(f,z′)θ(f,z′)(h,z′)(z,g′)=(z,z″)∈K,

于是(f,g)∈K.

因為K是θ的一個等價類,所以(f′,g′)∈K.而I是包含{(f,g),(f′,g′)}的最小理想,因此I?K.進(jìn)而θI?θ.

相反地,因為θ是由((f,g),(f′,g′))生成的主同余,而((f,g),(f′,g′))∈θI,所以θ?θI,于是θ=θI.

綜上,θ是由理想I=(Ii×Ij)∪(Ik×Il)決定的Rees同余.

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當(dāng)(f,g)=(f′,g′)時, (fx,gy)=(f′x,g′y),于是((fx,gy),(f′x,g′y))∈σij;當(dāng)(f,g)≠(f′,g′)時, |f|≤i,|g|≤j,|f′|≤i,|g′|≤j.因為

|fx|≤|f|≤i,|gy|≤|g|≤j,|f′x|≤|f′|≤i,|g′y|≤|g′|≤j，

故((fx,gy),(f′x,g′y))∈σij.

因此σij具有右兼容性,同理可證得σij具有左兼容性,進(jìn)而σij是由I=Ii×Ij決定的一個Rees同余.

當(dāng)(f,g)=(f′,g′)時, (fx,gy)=(f′x,g′y),于是((fx,gy),(f′x,g′y))∈σijkl; 當(dāng)(f,g)≠(f′,g′)時,

(|f|,|g|),(|f′|,|g′|)∈({1,…,i}×{1,…,j})∪({1,…,k}×{1,…,l}).

因為|fx|≤|f|,|gy|≤|g|,|f′x|≤|f′|,|g′y|≤|g′|,故(fx,gy),(f′x,g′y)∈(Ii×Ij)∪(Ik×Il),于是((fx,gy),(f′x,g′y))∈σijkl.

因此σijkl具有右兼容性,同理可證得σijkl具有左兼容性,進(jìn)而σijkl是由I=(Ii×Ij)∪(Ik×Il)決定的一個Rees同余.

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C1 若θ為定理1中(1)的形式,則θ=δl;

C2 若θ為定理1中(2)的形式,則存在((a,b),(c,b))∈θ,使得|a|=|b|=|c|=1,a≠c.故((a,b),(c,b))?δl,矛盾;

C3 若θ為定理1中(3)或(4)的形式,則存在((a,b),(c,d))∈θ,使得|a|=|b|=|c|=|d|=1,a≠c,b≠d.故((a,b),(c,d))?δl,矛盾.

C1 若θ為定理1中(1)或(2)的形式,則θ=δl或θ=δr;

C2 若θ為定理1中(3)或(4)的形式,則任取((a,b),(c,d))∈δl,有

|a|=|b|=|c|=|d|=1, ((a,b)≠(c,d)).

進(jìn)而((a,b),(c,b))∈I1×I1?θ,故θ不是極小同余.

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