一類(lèi)次線性中立型時(shí)滯微分方程的漸近性質(zhì)

韓忠月,俞元洪

（1. 德州學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院, 山東 德州 253023;2. 中國(guó)科學(xué)院 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院, 北京 100190）

0 引言

考慮具有阻尼項(xiàng)的次線性中立型微分方程

其中z(t)=y(t)+a(t)yα(τ(t)),γ、β是正常數(shù),α是兩個(gè)奇數(shù)之商, 且 0≤α≤1. 本文約定:

目前, 有關(guān)方程(1)的振動(dòng)性針對(duì)γ=β的情況研究較多, 推薦參閱文獻(xiàn)[1-7], 本文不再贅述. 關(guān)于方程(1)針對(duì)γβ的情況振動(dòng)性研究結(jié)果較少, 關(guān)于方程(1)帶有阻尼項(xiàng)的振動(dòng)性研究更少. 近期有關(guān)含有阻尼項(xiàng)或次線性中立型廣義Emder-Fowler時(shí)滯微分方程振動(dòng)性的主要研究有: 2015年曾云輝等[8]、2017年韓忠月等[9]皆針對(duì)方程

的振動(dòng)性進(jìn)行了研究, 兩者在不同層面給出了“方程(2)是振動(dòng)的”的充分條件; 2006年Bohner等[10]研究了方程

的振動(dòng)性; 2017年Tamilvanan等[11-12]針對(duì)方程

的振動(dòng)性關(guān)于參數(shù)β≥1 與 0<β<1 及特殊情況, 從不同層面給出了“方程(4)是振動(dòng)的”的充分條件.方程(1)中當(dāng)γ=1且a(t)=0 時(shí)即為方程(3); 當(dāng)f(t)=0 且γ=1 時(shí)即為方程(4). 顯然研討方程(1)的性質(zhì)較之以前的文獻(xiàn)研究的范圍更寬泛. 本文對(duì)方程(1)中參數(shù)β與γ的關(guān)系和條件交叉結(jié)合在有關(guān)方程振動(dòng)性方面展開(kāi)討論. 所得結(jié)論不僅涵蓋文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論(如: 本文推論1即為文獻(xiàn)[11]中的定理1, 推論5即為文獻(xiàn)[11]中的定理2), 還推廣和豐富了文獻(xiàn)[11]、文獻(xiàn)[12]中的結(jié)論.

1 主要引理

引理 1設(shè)y(t) 是方程(1)的最終正解. 如果 (H1) — (H6)成立, 則當(dāng)t充分大時(shí),

且存在t2∈[t0,∞), 使得

證 明結(jié)合條件 (H4) 及條件 (H5), 不妨設(shè)當(dāng)t≥t1>t0時(shí), 有y(τ(t))>0,y(σ(t))>0, 從而有z(t)≥y(t)>0,t≥t1. 將方程(1)兩邊同乘E(t), 則方程(1)化為

可以斷定, 當(dāng)t充分大時(shí), 一定有z′(t)≥0. 事實(shí)上, 結(jié)合條件 (H2), 可得最終定號(hào).如若最終z′(t)≤0, 則存在t2≥t1及正常數(shù)L, 使得, 從而有,t≥t2. 由條件 (H6), 可得矛盾. 進(jìn)一步, 結(jié)合方程(1)及條件 (H3), 當(dāng)t充分大時(shí), 一定有z′′(t)≤0 最終成立. 不妨設(shè)當(dāng)t≥t2>t1, 使得z(t)≥M>0,z′(t)≥0,z′′(t)≤0. 結(jié)合條件 (H4), 可得y(t)≥,t≥t2, 其中M為正常數(shù). 利用微分中值定理, 很容易推斷, 及z(t)≤z(t2)+(t?t2)z′(t2),t≥t2, 成立. 引理1證畢.

若將引理1的條件適當(dāng)加強(qiáng), 則有如下引理.

引理 2設(shè) (H1) — (H7) 成立, 則, 其中y(t)是方程(1)的最終正解.

證 明顯然引理1的結(jié)論是成立的, 不妨設(shè)t≥t1時(shí)引理1成立, 故存在正常數(shù)M>0, 使得, 從而有

若引理1中的條件(H6)不成立, 但條件(H8)立, 則有如下結(jié)論.

引理3設(shè)y(t) 是方程(1)的最終正解. 如果 (H1) — (H5) 及 (H8) 成立, 則當(dāng)t充分大時(shí), 引理1的結(jié)論成立或.

證 明由條件, 不妨設(shè)y(t)>0,y(τ(t))>0,y(σ(t))>0,t≥t1>t0, 從而有z(t)≥y(t)>0 ,t≥t1. 經(jīng)類(lèi)似式(7)的推導(dǎo)可得

由條件 (H2) 及 (H5), 得z′(t) 最終定號(hào). 若最終有z′(t)≥0, 則引理1的結(jié)論成立; 若最終有z′(t)≤0 ,則一定有. 否則,, 則一定有, 故存在 t 2≥t1 及正常數(shù)L,使得y(t)≥L,t∈[t2,∞). 結(jié)合式(8)可得,t≥t2, 與條件 (H8) 矛盾. 引理3證畢.

2 主要結(jié)論

定理 1若β<γ, 且條件 (H1) — (H6) 成立. 如果存在函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)), 使得對(duì)任意正常數(shù)M1及M2, 滿足

或

則方程(1)是振動(dòng)的.

證 明不妨設(shè)y(t) 是方程(1)的最終正解. 當(dāng)y(t) 是方程(1)的最終負(fù)解時(shí)可類(lèi)似證明. 設(shè)t≥t1時(shí)引理1成立. 定義

則w(t)>0,t≥t1, 且

適當(dāng)選取t2≥t1, 使得σ(t)≥t1,τ(t)≥t1,t≥t2. 由方程(7)及式(5)、式(6)可得

其中M1=z(t2),M2=z′(t2). 聯(lián)立式(12)、式(13)、式(14), 并運(yùn)用文獻(xiàn)[9]中的引理1, 則有

此外, 運(yùn)用式(5)還可得到

對(duì)式(15)或式(16)在區(qū)間 [t2,+∞) 上積分, 結(jié)合式(9)或式(10)可斷定方程(1)不存在最終正解. 定理證畢.

令D={(t,s):t≥s≥t0},D0={(t,s):t>s≥t0}. 設(shè)H∈C(D,R), 如果H滿足下列條件(i)、(ii), 則記H∈P.

(i) 當(dāng)t≥t0時(shí)H(t,t)=0 ; 當(dāng) (t,s)∈D0時(shí)H(t,s)>0.

(ii)H在D0內(nèi)對(duì)第二個(gè)變量存在連續(xù)非正偏導(dǎo)數(shù), 且滿足,(t,s)∈D0.

定理 2若β<γ, 且 (H1) — (H6) 成立. 如果存在函數(shù)H∈P, 及函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)), 對(duì)任意正常數(shù)M1和M2, 滿足

簡(jiǎn) 證不失一般性, 不妨設(shè)y(t) 是方程(1)的最終正解. 當(dāng)y(t) 是方程(1)的最終負(fù)解時(shí)可類(lèi)似證明, 略. 由類(lèi)似定理1的證明可得式(15), 對(duì)式(15)兩邊同乘H(t,s) 并在區(qū)間 [t2,t] 上積分, 可得

運(yùn)用文獻(xiàn)[9]中的引理1可得

結(jié)合條件(17), 可得矛盾. 定理2證畢.

運(yùn)用引理3, 由類(lèi)似定理1及定理2的證明可得如下定理.

定理 3設(shè)β<γ, 且 (H1) — (H5) 及 (H8) 成立. 若存在函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)), 對(duì)任意正常數(shù)M1和M2, 使得式(9)或式(10)成立, 則方程(1)是振動(dòng)的或, 其中y(t) 為方程(1)的非振動(dòng)解.

定理 4設(shè)β<γ, 且 (H1) — (H5) 及 (H8) 成立.若存在函數(shù)H∈P, 及函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)) ,對(duì)任意正常數(shù)M1和M2, 使得式(17)成立, 則方程(1)是振動(dòng)的或, 其中y(t) 為方程(1)的非振動(dòng)解.若β≥γ, 在引理1條件滿足時(shí), 一定存在常數(shù)L及充分大的t, 不妨設(shè)為t1, 使得z(t)>L,t≥t1,從而有zβ?γ(t)≥Lβ?γ. 作為上述定理的特例, 很容易得到方程(1)在β≥γ情況下振動(dòng)的充分條件,即下面的推論.

推論 1若β≥γ, 且條件 (H1) — (H6)成立. 如果存在函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)), 使得對(duì)任意正常數(shù)L, 滿足

或

則方程(1)是振動(dòng)的.

注 1當(dāng) ,γ=1f(t)=0, 且式(18)成立時(shí), 推論1即為文獻(xiàn)[11]中的定理1.

推論 2若β≥γ, 且 (H1) — (H6) 成立. 如果存在函數(shù)H∈P 及函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)), 對(duì)任意正常數(shù)L, 滿足

推論 3若β≥γ, 且 (H1) — (H5) 及 (H8) 成立. 如果存在函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)), 對(duì)任意正常數(shù)L,使得式(18)或式(19)成立, 則方程(1)是振動(dòng)的或, 其中y(t) 為方程(1)的非振動(dòng)解.

推論 4若β≥γ, 且 (H1) — (H5) 及 (H8) 成立. 如果存在函數(shù)H∈P, 及函數(shù)ρ∈C1([t0,∞),(0,∞)),對(duì)任意正常數(shù)L, 使得式(20)成立, 則方程(1)是振動(dòng)的或, 其中y(t) 為方程(1)的非振動(dòng)解.

放寬參數(shù)β與γ關(guān)系的限制, 可以得到如下定理.

定理 5若 (H1) — (H6) 成立, 且, 如果方程

是振動(dòng)的, 其中M為任意正常數(shù), 則方程(1)是振動(dòng)的.

簡(jiǎn) 證不失一般性, 不妨設(shè)y(t) 是方程(1)的最終正解. 當(dāng)y(t) 是方程(1)的最終負(fù)解時(shí)可類(lèi)似證明, 略. 不妨設(shè)t>t1時(shí)引理1結(jié)論成立, 且. 運(yùn)用式(7), 可得

令w(t)=R(t)(z′(t))γ, 則w(t)>0,t≥t1. 由條件, 不妨設(shè)σ(t)≥t1,t≥t2>t1. 由于z(σ(t))≥,t≥t2, 則

由文獻(xiàn)[13]中的定理1可知, 定理5成立.

定理 6若 (H1) — (H5) 及 (H8) 成立, 且. 如果對(duì)任意正常數(shù)M, 方程(21)是振動(dòng)的, 則方程(1)是振動(dòng)的或, 其中y(t) 為方程(1)的非振動(dòng)解.

定理 7設(shè) (H1) — (H7) 成立, 且. 若, 則方程(1)是振動(dòng)的.

簡(jiǎn) 證不失一般性, 以y(t) 是方程(1)的最終正解為例. 由引理2及已知條件, 存在t1≥t0, 使得y(σ(t))>1, 從而. 令, 則V(t)>0 ,t≥t1, 且V′(t)≤?G(t),t≥t1, 結(jié)合條件得出矛盾. 證畢.

借助文獻(xiàn)[14]中的引理4及文獻(xiàn)[13]中的定理1, 可得較易于討論方程(1)振動(dòng)性的判定定理.

推論 5設(shè) (H1) — (H6) 成立. 若, 且

其中M為任意正常數(shù), 則方程(1)是振動(dòng)的.

注 2當(dāng)γ=1,f(t)=0 時(shí), 上述推論5即為文獻(xiàn)[11]中的定理2. 進(jìn)一步, 若令β=1 ,σ(t)=t?δ, 則推論5即為文獻(xiàn)[11]中的定理4.

推論 6若 (H1) — (H5) 及 (H8) 成立, 且β≤γ,. 如果不等式(22)成立, 則方程(1)是振動(dòng)的或, 其中y(t) 為方程(1)的非振動(dòng)解.

推論 7若 (H1) — (H7) 成立, 且β≤γ,.如果不等式(22)成立, 則方程(1)是振動(dòng)的; 如果不等式(22)不成立, 且y(t) 為方程(1)的非振動(dòng)解, 則有.

3 實(shí) 例

例 1考慮方程

例 2考慮方程