基于最小能耗的海洋浮式平臺位置軌跡優(yōu)化

靳其寶，李英華

（1.廣東海洋大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，廣東 湛江 524088；2.廣東海洋大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，廣東 湛江 524088）

深海浮式張力腿平臺（Tension Leg Platform，TLP）是一個復(fù)雜的流固耦合體系，受到波浪、海流、地震和風(fēng)激等多種外部激勵的作用，具有大慣性、大遲滯特征。解決復(fù)雜環(huán)境下外載荷引發(fā)的系統(tǒng)振動沖擊問題，可以提高平臺工作穩(wěn)定性，而位置軌跡優(yōu)化是有效緩解系統(tǒng)內(nèi)部振動的有效手段之一。浮動平臺繞X、Y、Z三定軸角度轉(zhuǎn)動問題可視為以各自軸所形成的關(guān)節(jié)的角位置優(yōu)化問題。在機構(gòu)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角軌跡規(guī)劃研究中，Liu 等[1]對一種空間三轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)（3-RRC）并聯(lián)機械手進行運動學(xué)和動力學(xué)分析并聯(lián)機器人進行了最優(yōu)軌跡；Vittek等[2]基于驅(qū)動機構(gòu)摩擦損失，采用歐拉-拉格朗日最小化法和對稱梯度速度描述法，表達和驗證在考慮常數(shù)和線性摩擦及力矩載荷情況下的電機能量-位置控制最優(yōu)問題；Ma 等[3]利用分段五階多項式對車門的旋轉(zhuǎn)運動進行參數(shù)化對執(zhí)行開門任務(wù)的機器人的能量消耗進行了優(yōu)化研究，提出一種以關(guān)節(jié)力矩二次項為目標(biāo)函數(shù)的兩步法求解優(yōu)化算法，解決了機械手的最優(yōu)基座位置和關(guān)節(jié)運動軌跡最優(yōu)問題；Izumi 等[4]提出一種基于最小關(guān)節(jié)耗散能的最優(yōu)路徑規(guī)劃方法，用以解決垂直鉸接機械手的節(jié)能問題。盡管基于最小能耗原理優(yōu)化方法在某種意義上能夠用來獲得最優(yōu)的運動規(guī)劃，但由于系統(tǒng)的運動方程通常具有高度非線性的特點，難以采用極大值原理去計算最優(yōu)能量下的軌跡參數(shù)變量，因而通常采用曲線構(gòu)造的方法以獲得新的優(yōu)化控制軌跡。為此，Behroo 等[5]提出一種無碰撞軌跡的次優(yōu)規(guī)劃方法，采用B 樣條插值方法逼近規(guī)劃的理想軌跡，并采用遺傳算法搜索出包絡(luò)該動態(tài)軌跡的三條外圍軌跡，最后得出軌跡的次優(yōu)解；Gasparetto[6]采用五次樣條曲線算法實現(xiàn)系統(tǒng)運動軌跡的模擬方法，同時又基于最小能量原理獲得約束條件下的最優(yōu)軌跡。

深海浮式平臺定軸轉(zhuǎn)動原理形同關(guān)節(jié)機器人的關(guān)節(jié)形成的轉(zhuǎn)動副，但由于其具備大質(zhì)量、大慣性的特征，故其與普通關(guān)節(jié)軌跡位置優(yōu)化研究存在不同之處。為此，本研究采用曲線分段插值的曲線軌跡構(gòu)造方法[7-11]，即通過高次樣條曲線插值逼近原始位置曲線從而獲得新的軌跡控制曲線，并基于關(guān)節(jié)分段運動能耗構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化模型，以速度、加速度為約束條件，通過粒子群搜索算法得到平臺回轉(zhuǎn)的位置軌跡優(yōu)化曲線。

1 方法

1.1 構(gòu)造位置插值曲線

海上浮式TLP平臺存在6 個自由度的運動，即X、Y、Z軸向的平動（橫蕩、縱蕩、垂蕩）及小范圍定軸回轉(zhuǎn)。為使控制輸入能耗盡可能小、運行盡可能平緩，需綜合考慮平臺位置轉(zhuǎn)動與能量綜合最優(yōu)控制問題以實現(xiàn)系統(tǒng)的可控性，進而減緩整體結(jié)構(gòu)的面內(nèi)穩(wěn)定性。

圖1 張力腿平臺轉(zhuǎn)動自由度示意圖Fig.1 Diagram of rotational degrees of freedom of platform with tension cables

圖1 為坐標(biāo)系{O-XYZ}中的海上浮式張力腿平臺回轉(zhuǎn)機構(gòu)示意圖，圖中平臺在外力作用下產(chǎn)生繞X、Y、Z三軸的轉(zhuǎn)動。本研究從運動角度對輸入軌跡進行優(yōu)化，分析理想條件下能耗與位置間的關(guān)系，通過合理的優(yōu)化算法得到最小能耗的位置軌跡。

為便于分析，忽略環(huán)境載荷對系統(tǒng)的影響，分別進行如下定義：虛關(guān)節(jié)1，為TLP與X軸構(gòu)成的轉(zhuǎn)動副；虛關(guān)節(jié)2，為TLP與Y軸構(gòu)成的轉(zhuǎn)動副；虛關(guān)節(jié) 3，為 TLP與Z軸構(gòu)成的轉(zhuǎn)動副；Δq1、Δq2、Δq3，為平臺在某個時間間隔內(nèi)分別繞X、Y、Z三軸產(chǎn)生的小幅轉(zhuǎn)角。

與關(guān)節(jié)i（i=1,2,3）的相關(guān)變量定義為：角位置矢量q=[q1q2q3]和角速度矢量，其中，qi為關(guān)節(jié)i的絕對關(guān)節(jié)角，為關(guān)節(jié)i的角速度分量。忽略系統(tǒng)的外界攝動因素影響，則系統(tǒng)保持動量矩守恒，其動量矩守恒方程如下：

式中，Pi（i=1,2,3）為對應(yīng)的慣性參數(shù)qi的非線性函數(shù)。

式(1)代表的系統(tǒng)不可積分，屬于典型的受非完整約束的系統(tǒng)[12]。在速度空間中和時間周期t∈[0,T]內(nèi)選取某個優(yōu)化指標(biāo)u(t)，t∈[0,T/4]為控制輸入，可最終確定系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中關(guān)節(jié)的優(yōu)化軌跡?；谧钚∧芰靠刂圃?，選關(guān)節(jié)耗散能為最優(yōu)控制指標(biāo)之一，構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)作為能耗函數(shù)：

顯然，由于系統(tǒng)可控，式(2)必存在最優(yōu)解u*∈L2，其中，L2表示Hilbert 空間可測向量函數(shù)?？刂戚斎氡硎緸椋?/p>

式中，非線性函數(shù)qi(i=1,2,3)為t的函數(shù)，可通過構(gòu)造如下“4-3-3-4”插值函數(shù)逼近q1、q2、q3：

式中，i（i=1,2,3）表示第i個關(guān)節(jié)，j（j=0,1,2,3,4）表示關(guān)節(jié)i的第j段曲線。對式(4)求導(dǎo)，得到

將式(5)代入式(3)，得

式(6)即建立了關(guān)節(jié)總能耗J與各關(guān)節(jié)角位置q1、q2、q3間的數(shù)值關(guān)系，由此，關(guān)節(jié)位置的最優(yōu)問題可轉(zhuǎn)化為能耗J的最優(yōu)控制問題。

1.2 構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化模型

優(yōu)化目標(biāo)為θ1、θ2、θ3、θ4，其中θ1、θ2分別對應(yīng)繞橫蕩X軸轉(zhuǎn)動軌跡曲線產(chǎn)生的位置軌跡最高、最低兩個控制點；θ3、θ4則分別對應(yīng)繞縱蕩Y軸轉(zhuǎn)動軌跡曲線產(chǎn)生的位置軌跡最高、中間兩個控制點。為實現(xiàn)基于能耗最低輸入條件下的多個目標(biāo)的優(yōu)化求解，最終通過插值算法得到優(yōu)化路徑及新的位置曲線。構(gòu)造如下多目標(biāo)優(yōu)化算法模型，將以上數(shù)值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為以下非線性規(guī)劃求解問題：

式中，θ1、θ2、θ3、θ4，為優(yōu)化變量；，分別為關(guān)節(jié)i 的原始速率和加速率極值；w1、w2，分別為節(jié)約能量和效率之間的線性遞減慣性權(quán)值，且w1+w2=1；，為關(guān)節(jié)i 的第j 段曲線的角速度值；，為關(guān)節(jié)i 的第j 段曲線的角加速度值；，為優(yōu)化效率，實際工程要求給出具體指標(biāo)；ηmin，為可接受的最小效率；Jmax，為優(yōu)化前最大功耗。

1.3 軌跡優(yōu)化搜索算法PSO

以原始規(guī)劃下的關(guān)節(jié)i（i=1,2,3）角位置、角速度及角加速度曲線的極值點為約束條件，采用基于位置最優(yōu)的粒子群搜索算法以得到新軌跡曲線的關(guān)鍵控制點。

圖2 為PSO 算法流程圖。PSO 算法基本思想：一個由M 個粒子組成的群體在D 維空間中以一定速度飛行，則粒子在t+1 時刻的位置為

式(10)中，t、tmax，分別為當(dāng)前迭代次數(shù)、最大迭代次數(shù)；wstart、wend，分別為慣性權(quán)重初始值、終止值。

考慮慣性權(quán)重w，則式(8)變?yōu)椋?/p>

圖2 軌跡優(yōu)化PSO 流程圖Fig.2 Flow diagram of PSO algorithm based on location optimization

2 仿真與分析

2.1 關(guān)節(jié)軌跡優(yōu)化仿真與分析

為驗證筆者提出的基于最小能耗的位置優(yōu)化算法，以平臺在面內(nèi)繞X、Y軸兩自由度轉(zhuǎn)動的位置參數(shù)q1、q2為角位置軌跡優(yōu)化目標(biāo)。為驗證算法的有效性，任意給出繞X、Y軸轉(zhuǎn)動的角位置、角速度、角加速度的曲線轉(zhuǎn)動路徑（圖3），以此作為目標(biāo)優(yōu)化對象，并考慮圖中位置、速度及加速度的上、下界極值點，將其作為本優(yōu)化目標(biāo)的約束條件。

取學(xué)習(xí)因子c1＝c2＝2 及慣性權(quán)重w＝0.4～ 0.9，以關(guān)鍵角位置θ（即控制節(jié)點）作為待尋優(yōu)量，采用粒子群算法在變量θ空間中實現(xiàn)位置迭代最優(yōu)搜索，最終確定轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的優(yōu)化軌跡。表1 為關(guān)節(jié)i(i=1,2)角度隨時間的插值點，其中，(T/4,θ1)、(3T/4,θ2)為關(guān)節(jié)1 的兩個位置曲線路徑點；(T/2,θ4)為關(guān)節(jié)2 曲線經(jīng)過的一個極值點，(T/4,θ3)、(3T/4,θ3)為關(guān)節(jié)2 經(jīng)過兩側(cè)過渡點。

圖3 關(guān)節(jié)i 原始軌跡規(guī)劃Fig.3 Original trajectory planning of joint i

表1 關(guān)節(jié)i (i =1,2)在單個周期內(nèi)的控制點Table 1 Key control points of interpolation curves

在PSO 算法中，角位置θi(i=1,2,3,4)作為待優(yōu)化量，在不同位置、速度及加速度約束下，用PSO求解最優(yōu)位置點，通過跟蹤群體最好位置在每次迭代過程中的位置變化，得到圖4 和圖5 所示的關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 對應(yīng)的最優(yōu)粒子的位置進化值s1、s2。由圖4、圖5 可知，平臺繞X、Y軸轉(zhuǎn)動角在約束條件（表2）下，關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的最優(yōu)粒子分別最多經(jīng)過25 次和35 次迭代快速收斂于表3 所示的角位置優(yōu)化收斂值。

表2 關(guān)節(jié)i (i =1,2)約束條件Table 2 Constraint condition of interpolation curves

圖4 關(guān)節(jié)1 位置最優(yōu)迭代值1sFig.4 Optimal location iterative value1s of joint 1

圖5 關(guān)節(jié)2 位置最優(yōu)迭代值2sFig.5 Optimal location iterative value2s of joint 2

表3 優(yōu)化后的最優(yōu)位置量Table 3 Optimized control points after optimization

由表3 得知，θ1＝10.62°，θ2＝-9.81°，θ3＝23.75°，θ4＝8.35°，即為關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 采用4-3-3-4 多項式插值下的優(yōu)化位置控制點，改成弧度制后代入式(2)－(5)，可分別得到關(guān)節(jié)1 和關(guān)節(jié)2 的優(yōu)化位置、速度等曲線（圖6、7）。

圖6、7 仿真結(jié)果表明，優(yōu)化后的關(guān)節(jié)軌跡在位置、速度、加速度、加加速度都有明顯改善，各條曲線的曲率更趨于平緩。其中，反映關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動急動度指標(biāo)的加加速率曲線經(jīng)優(yōu)化后變得平緩，顯示系統(tǒng)平滑性好，表明所采取的優(yōu)化策略能明顯降低回轉(zhuǎn)機構(gòu)的沖擊與振動對系統(tǒng)造成的影響程度。

圖6 關(guān)節(jié)1 軌跡優(yōu)化仿真（X 軸）Fig.6 Optimized trajectory of joint 1 (X axis)

圖7 關(guān)節(jié)2 的優(yōu)化軌跡優(yōu)化（Y 軸）Fig.7 Optimized trajectory of joint 2 (Y axis)

2.2 關(guān)節(jié)能耗分析

平臺基本參數(shù)見表4。

表4 基本參數(shù)Table 4 Basic parameters

參照表2，同時考慮公式(2)－(6)及關(guān)節(jié)1、關(guān)節(jié)2 的優(yōu)化路徑，分別對其進行能耗計算以考查位置優(yōu)化前后關(guān)節(jié)能耗的對比關(guān)系，得出各個關(guān)節(jié)的最低能耗（表5）。

表5 關(guān)節(jié)能耗優(yōu)化對比Table 5 Joint energy consumption comparison

表5 中，Ja，Jb，Jc，Jd分別表示平臺繞X軸和Y軸的角位置分段插值曲線a,b,c,d部分的相應(yīng)能耗積分之和，優(yōu)化后的路徑使得輸入能耗顯著降低，并在給定效率下達到最優(yōu)。

3 結(jié)論

為增強深海浮式平臺穩(wěn)定調(diào)控時的平滑性，減小振動沖擊，對平臺定軸轉(zhuǎn)動的角位置進行優(yōu)化研究，提出一種基于角關(guān)節(jié)位置最優(yōu)的關(guān)節(jié)位置曲線優(yōu)化方法。首先，通過采用分段插值法構(gòu)造關(guān)節(jié)位置曲線，并以角位置的關(guān)鍵路徑點為優(yōu)化變量，建立以關(guān)節(jié)耗散能為優(yōu)化目標(biāo)的動態(tài)規(guī)劃，給出優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型；其次，采用粒子群搜索算法搜索各個角位置優(yōu)化變量的最優(yōu)值，得出關(guān)節(jié)最低能耗下的關(guān)節(jié)角位置優(yōu)化軌跡。仿真結(jié)果驗證該優(yōu)化策略能有效緩解關(guān)節(jié)運動的變化幅度，減小主動調(diào)控下產(chǎn)生的振動與沖擊，為解決深海浮式平臺因面內(nèi)軸向轉(zhuǎn)動帶來的不穩(wěn)定問題、提高平臺的可控性及位后續(xù)控制策略的研究提供必要的理論借鑒。

當(dāng)然，實際海況下的TLP平臺面內(nèi)轉(zhuǎn)動軌跡的控制幅度取決于環(huán)境載荷影響及所采取的主動控制策略。后續(xù)在平臺位置軌跡控制方面的工作擬采取電液驅(qū)動、柔索牽引并行協(xié)同調(diào)節(jié)策略，通過對系統(tǒng)耦合動力響應(yīng)分析、柔索索力協(xié)同優(yōu)化進行研究，以實現(xiàn)對平臺的回穩(wěn)控制。