雙螺桿真空泵新型變速螺線型轉(zhuǎn)子的研究

魏蜀紅，趙 峰，夏明川，王 君

（1.中國石油大學(xué)（華東）化學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266580；2.中國石化青島煉油化工有限責(zé)任公司，山東 青島 266580）

1 引言

雙螺桿真空泵因其抽氣腔干式無油、運(yùn)行平穩(wěn)可靠和適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于石油化工、食品制藥、真空熱處理、納米制造和國防技術(shù)等領(lǐng)域[1]。雙螺桿真空泵的主要部件是相互嚙合的兩個(gè)螺桿轉(zhuǎn)子，螺桿轉(zhuǎn)子及其轉(zhuǎn)子截面型線的設(shè)計(jì)是其核心技術(shù)。目前傳統(tǒng)的截面型線為擺線-漸開線型，采用圓漸開線和擺線連接齒頂和齒根圓弧[2]。然而，該型線存在尖點(diǎn)不能完全嚙合，螺桿轉(zhuǎn)子空間接觸線存在斷點(diǎn)，有明顯的泄漏通道。為了改善該問題，文獻(xiàn)[3-5]采用圓弧與擺線的等距曲線修正圓弧和圓漸開線連接處，并且在爪尖處也采用圓弧光滑連接，實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的全嚙合，但型線組成復(fù)雜。文獻(xiàn)[6]為了消除泄漏通道提高密封性，采用多段圓弧及其包絡(luò)線連接齒頂與齒根圓弧，增加曲線設(shè)計(jì)難度。文獻(xiàn)[7]繪制了變螺距螺桿轉(zhuǎn)子的嚙合線和空間接觸線。文獻(xiàn)[8]研究了螺桿轉(zhuǎn)子的熱力變形和最大間隙變化情況。

針對(duì)以上問題，為了實(shí)現(xiàn)截面型線的光滑連接和簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，提出了一種變速螺線的構(gòu)建理論，可用一條曲線光滑連接齒頂和齒根圓弧，推導(dǎo)了截面型線方程，對(duì)比了現(xiàn)有轉(zhuǎn)子和所提出的新型螺桿轉(zhuǎn)子的空間接觸線和應(yīng)力分布，對(duì)提高雙螺桿真空泵的工作性能具有重要的意義。

2 型線理論

2.1 曲線嚙合原理

螺桿轉(zhuǎn)子截面型線的共軛曲線指的是在同步異向回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，另一轉(zhuǎn)子截面型線上與已知截面型線完全嚙合的曲線，假定第一截面型線上某一組成曲線的矩陣方程為r1（t），該曲線在運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的曲線族可以通過坐標(biāo)變換得到，曲線族的公式為：

式中：M12—?jiǎng)幼鴺?biāo)系xO1y 到動(dòng)坐標(biāo)系xO2y 的變換矩陣：

式中：φ—截面型線的旋轉(zhuǎn)角；求解t 與φ 的關(guān)系：

將式（3）帶入坐標(biāo)變換公式（1），即得到共軛曲線的方程。

2.2 變速螺線的構(gòu)建理論

阿基米德螺線亦稱為等速螺線，即一點(diǎn)P 沿動(dòng)射線O1P 以等速率運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，該射線又以等角速度繞點(diǎn)O1旋轉(zhuǎn)，在圖1 中表示為 v（t）=c1，ω（t）=c2。但由此不能光滑連接齒頂圓弧與齒根圓弧，通過改變點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)方式，可以實(shí)現(xiàn)螺線在曲線交點(diǎn)處的光滑連接。

圖1 變速螺線生成原理Fig.1 Generation Principle of Variable Speed Spiral

點(diǎn)P 的初始位置在半徑為R3的齒根圓弧點(diǎn)A 處，終止位置在半徑為R1的齒頂圓弧點(diǎn)C 處，如圖1 所示。點(diǎn)P 沿射線O1P 做徑向速度v（t）運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，射線又以角速度ω（t）繞點(diǎn)O1旋轉(zhuǎn)。且vA（t）=vC（t）=0，也就是在A 點(diǎn)和C 點(diǎn)處極徑O1P 的增長(zhǎng)速率為0，曲線曲率分別為R3和R1。

根據(jù)點(diǎn)P 在射線O1P 方向先加速后減速的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，設(shè)徑向速度v（t）為正弦函數(shù)：

則點(diǎn) P 徑向位移為：R（t）= ∫v（t）dt，將 R（0）=R3，R（θ）=R1帶入上式，得到點(diǎn)P 位移方程為：

式中：θ—角度參數(shù)。

角速度ω（t）決定了點(diǎn)P 轉(zhuǎn)過角度的快慢，點(diǎn)P 的旋轉(zhuǎn)角函數(shù)為 φ（t）= ∫ω（t）dt。則得到變速螺線的方程：

圖2 不同旋轉(zhuǎn)角函數(shù)對(duì)應(yīng)的變速螺線Fig.2 Variable Speed Spirals Corresponding to Different Rotational Functions

φ（t）可選取不同的函數(shù)，取 φ（t）分別為一次、二次、三次多項(xiàng)式時(shí)，且均通過點(diǎn)A 和點(diǎn)B，生成的三種變速螺線，如圖2 所示。分別對(duì)應(yīng)螺線 ABC1，ABC2，ABC3。由圖中看出 φ（t）可以影響螺線圓心角和掃過的面積，可以對(duì)提高螺桿轉(zhuǎn)子截面面積利用率提供一種途徑。

3 新型截面型線

3.1 傳統(tǒng)截面型線

傳統(tǒng)截面型線，如圖3 所示。由圓漸開線AB、齒頂圓弧BC、擺線CD 和齒根圓弧DA 組成。其在點(diǎn)A、點(diǎn)B 和點(diǎn)C 處存在尖點(diǎn)，容易引起應(yīng)力集中；在A 點(diǎn)附近嚙合不完全，存在如陰影所示的泄漏通道，造成壓力損失和流量減小。

圖3 傳統(tǒng)截面型線Fig.3 Traditional Cross-Section Profile

3.2 變速螺線型截面型線

根據(jù)嚙合原理和所構(gòu)建的變速螺線，提出了一種變速螺線型轉(zhuǎn)子截面型線，采用變速螺線替代圓漸開線，圓弧和擺線等距曲線代替擺線。為了使左右轉(zhuǎn)子截面型線完全相同，AB 段采用變速螺線，BC 段采用變速螺線包絡(luò)線。截面型線由6 條曲線組成：變速螺線 AB，變速螺線包絡(luò)線 BC，三段圓?。–D、DE、FA）和擺線EF，如圖4 所示。

圖4 新型截面型線Fig.4 New Cross-Section Profile

3.2.1 變速螺線及其包絡(luò)線方程

變速螺線在構(gòu)成截面型線時(shí)需順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得點(diǎn)B 位于節(jié)圓和與橫軸交點(diǎn)處，旋轉(zhuǎn)角度的求解：

變速螺線AB 的方程可由式（6）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)φ（θ/2）得到：

式中：M3—旋轉(zhuǎn)矩陣：

變速螺線包絡(luò)線BC 方程由式（1）～式（3）求得：

3.2.2 旋轉(zhuǎn)角函數(shù)的影響

點(diǎn)劃線1、實(shí)線2 和虛線3 表示旋轉(zhuǎn)角函數(shù)φ（t）為一次多項(xiàng)式t、二次多項(xiàng)式t+t2、三次多項(xiàng)式t+t2+t3對(duì)應(yīng)的變速螺線AB 和變速螺線包絡(luò)線BC，如圖4 所示。三種螺線構(gòu)成的型線面積明顯不同，其各自的面積利用率，如表1 所示。隨著旋轉(zhuǎn)角函數(shù)φ（t）次冪的增加，變速螺線及其包絡(luò)線組成的截面型線面積利用率逐漸增加。

表1 不同旋轉(zhuǎn)角函數(shù)對(duì)應(yīng)的面積利用率Tab.1 Area Utilization Ratios Corresponding to Different Functions

4 性能對(duì)比

在以下對(duì)比中變速螺線的旋轉(zhuǎn)角函數(shù)均為φ（t）=t+t2+t3。

4.1 嚙合特性分析

各段曲線的嚙合線求解：

式中：M01—從動(dòng)坐標(biāo)系xO1y 到靜坐標(biāo)系XO1Y 的變換方程：

得到傳統(tǒng)截面嚙合線和變速螺線型截面嚙合線，如圖5（a）、圖5（b）所示。

圖5 截面嚙合線Fig.5 The Meshing Lines of Cross-Section Profiles

4.2 空間接觸線

空間接觸線是雙螺桿真空泵的主要泄漏通道之一，是由螺桿轉(zhuǎn)子與轉(zhuǎn)子之間非接觸式嚙合，轉(zhuǎn)子與泵腔之間留有的間隙產(chǎn)生的。接觸線兩側(cè)是壓力不均的氣體介質(zhì)，如果接觸線不連續(xù)，高壓側(cè)氣體通過接觸線缺口向低壓側(cè)泄漏，并且一般認(rèn)為其長(zhǎng)度越短螺桿轉(zhuǎn)子的密封性越好。使傳統(tǒng)截面型線轉(zhuǎn)子和變速螺線型轉(zhuǎn)子具有相同的轉(zhuǎn)子齒厚，兩種轉(zhuǎn)子的空間接觸線，如圖6 所示。

圖6 螺桿轉(zhuǎn)子空間接觸線Fig.6 Contact Linesof Screw Rotors

空間接觸線是嚙合線在螺桿轉(zhuǎn)子曲面上的投影。嚙合線不連續(xù)，如圖5（a）所示。造成空間接觸線在齒根和齒頂處有斷點(diǎn)，如圖6（a）所示。導(dǎo)致如圖3 陰影處所示的泄漏通道。而變速螺線的嚙合線和空間接觸線是光滑連續(xù)的，如圖5（b）、圖6（b）所示。左右轉(zhuǎn)子完全嚙合，不存在泄漏通道，因而具有較好的級(jí)間密封效果。

4.3 應(yīng)力分布

在雙螺桿真空泵工作狀態(tài)下，對(duì)傳統(tǒng)螺桿轉(zhuǎn)子和變速螺線型螺桿轉(zhuǎn)子施加相同的邊界條件。入口壓力為3kPa，出口壓力為100kPa，入口溫度300K，出口溫度370K，轉(zhuǎn)速2940r/min。兩種轉(zhuǎn)子的應(yīng)力分布，如圖7 所示。

圖7 螺桿轉(zhuǎn)子的應(yīng)力分布Fig.7 Stress Distributions of Screw Rotors

應(yīng)力多集中于齒根處，最大應(yīng)力值位于出口端齒根處。傳統(tǒng)截面型轉(zhuǎn)子最大應(yīng)力值為35.26MPa，局部放大圖處齒根應(yīng)力集中明顯，取一點(diǎn)值為7.73MPa，如圖7（a）所示。變速螺線型轉(zhuǎn)子最大應(yīng)力值為32.76MPa，較傳統(tǒng)截面型轉(zhuǎn)子減小7.09%，局部放大圖處沒有應(yīng)力集中，應(yīng)力分布更為平緩，取相同的點(diǎn)應(yīng)力值為5.55MPa，也小于傳統(tǒng)截面型轉(zhuǎn)子，如圖7（b）所示。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)截面型轉(zhuǎn)子齒根面與斜齒面之間過渡曲率突變較大，變速螺線型轉(zhuǎn)子能夠完全光滑過渡。

5 結(jié)論

（1）提出了一種變速螺線的構(gòu)建理論，求解了其方程形式，該螺線可光滑連接齒根和齒頂圓弧，此理論對(duì)爪式真空泵、羅茨風(fēng)機(jī)和滑片真空泵等流體機(jī)械有一定的應(yīng)用價(jià)值。

（2）提出了一種變速螺線型轉(zhuǎn)子截面型線，采用變速螺線及其包絡(luò)線替代傳統(tǒng)截面型線的圓漸開線，解決了截面存在尖點(diǎn)的問題，旋轉(zhuǎn)角函數(shù)次冪增加時(shí)，轉(zhuǎn)子截面的面積利用率有所提高。

（3）變速螺線型轉(zhuǎn)子相比于傳統(tǒng)截面轉(zhuǎn)子具有光滑連續(xù)的嚙合線和空間接觸線，不存在泄漏通道，因而具有較好的級(jí)間密封效果；齒根應(yīng)力分布更為平緩，最大應(yīng)力值減小7.09%，轉(zhuǎn)子受力情況好。