例談線段2倍關(guān)系的證明策略

蘇明海 茍述珍

[摘要]平面幾何作為初中課程內(nèi)容四大板塊之一，一直是中考考查的重點(diǎn)，分析線段關(guān)系是解決平面幾何問(wèn)題的必備能力.文章通過(guò)對(duì)一道例題的分析與求解，談?wù)劸€段2倍關(guān)系的證明策略

[關(guān)鍵詞]2倍;線段關(guān)系;證明策略

作者簡(jiǎn)介：蘇明海（1968-），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，重慶市骨千教師，重慶教育學(xué)會(huì)教育管理常務(wù)理事，從教31年，一直從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作和教學(xué)管理工作，論文《初中數(shù)學(xué)目標(biāo)教學(xué)有效途徑和方法》獲全國(guó)目標(biāo)教學(xué)論文評(píng)比一等獎(jiǎng);茍述珍（1992-），碩士研究生，中學(xué)二級(jí)教師從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將初中課程內(nèi)容分為四個(gè)板塊，圖形與幾何”作為其中之一，足見(jiàn)其分量.平面幾何在發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力方面有著非常重要的作用，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是全國(guó)各省市中考必考內(nèi)容線段2倍關(guān)系是平面幾何的考查熱點(diǎn)，但學(xué)生在問(wèn)題解決上的表現(xiàn)差強(qiáng)人意則源于題目本身難度，另則源于學(xué)生方法和思維的局限性.筆者希望以本文總結(jié)線段2倍關(guān)系的證明策略，拓寬解題思路，增強(qiáng)學(xué)生靈活應(yīng)變的能力.

例題呈現(xiàn)

（2019重慶模擬）已知平行四邊形ABCD中，DE⊥BC于E，點(diǎn)F是DE上點(diǎn)，滿足BA⊥BF，連接CF

（1）如圖1，連接AF，若BF=2V5DC=4V5，∠DAF=30°，求AD

（2）如圖2，延長(zhǎng)CF，交AD于點(diǎn)G，若BA=BF，求證：AC=2EF

分析：（1）略.（2）證明線段2倍關(guān)系，關(guān)鍵在于問(wèn)題轉(zhuǎn)化.可從長(zhǎng)線段或短線段著手將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段相等問(wèn)題，可借助相似或面積關(guān)系證明線段關(guān)系，亦可直接求線段長(zhǎng)度以達(dá)目的.切入點(diǎn)不同，研究視角則不同.

策略分析

（1）短線段或其等線段加倍，證明加倍所得線段與原長(zhǎng)線段相等

（2）長(zhǎng)線段折半，證明折半所得短線段與原短線段相等;

（3）線段成2倍關(guān)系，即線段相似比為2，借助線段所在三角形的相似比證明

（4）利用“截長(zhǎng)”思想，在長(zhǎng)線段上截取一段等于短線段，證明剩余部分也等于短線段

（5）日標(biāo)變形，另辟蹊徑6）計(jì)算長(zhǎng)度，直接證明;

（7）利用線段所在三角形面積關(guān)系，證線段關(guān)系.

解法及分析

解法1（短線段加倍）如圖3，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P，使得PE=CE，則PC=2EC，再證明AC=PC即可.由平行四邊形對(duì)邊相等及等式的性質(zhì)，可證明BP=CD.由平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角相等，以及條件BA⊥BF，DE⊥BC，易得∠1=∠2，結(jié)合BF=BA=CD，易證△BFE≌△DCE.從而△EFC，△DFG均為等腰直角三角形.因此證明BP=CD即證明BP=DF，通過(guò)△BPF≌△DFC可解.

解法1通過(guò)將短線段加倍，然后證明加倍后所得線段PC與原長(zhǎng)線段AG相等，結(jié)合圖3中陰影部分的旋轉(zhuǎn)全等結(jié)構(gòu)，以及平行四邊形的性質(zhì)為問(wèn)題轉(zhuǎn)化提供途徑.線段2倍關(guān)系是a+b=c，即兩條短線段之和等于長(zhǎng)線段的特殊形式

短線段加倍的實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短”，AB=BF，BA⊥BF，隱含了等腰直角的背景和旋轉(zhuǎn)全等的結(jié)構(gòu)，因?yàn)镋F=EC，構(gòu)造2EC即構(gòu)造2EF，因此有如下解法2.

解法2（短線段的等線段加倍）如

圖4，延長(zhǎng)EF到點(diǎn)の，使得EF=EQ，則FQ=2EF=2EC，因此證明AG=FQ即可.而證明AG=FQ，可通過(guò)A4G，PQ分別所在三角形全等得證，即如圖5，△ABG≌△FBQ;也可借助DG=DF，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明DA=DQ，此問(wèn)題可通過(guò)證明△DAQ為等腰三角形來(lái)解決，如圖6;或通過(guò)證明△BAD≌△BQD來(lái)解決，如圖7，詳細(xì)過(guò)程不再贅述

解法2和解法1的實(shí)質(zhì)為同一方法均以加倍的方式將證明線段2倍關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問(wèn)題，結(jié)合圖形背景，便有通過(guò)圖形全等證線段相等，即圖5;通過(guò)等腰三角形及等式的基本性質(zhì)證線段相等，即圖6;通過(guò)全等及等式的基本性質(zhì)證線段相等，即圖7.解法1將短線段自身直接加倍，解法2則是將短線段的等線段加倍，均為直接加倍.在解題過(guò)程中，結(jié)合題目背景還可間接加倍，如利用中位線的性質(zhì)，短線段作為中位線，其所對(duì)第三邊即為其2倍.直角三角形斜邊中線定理，含30°的直角三角形邊之間關(guān)系定理，也是2倍線段的生長(zhǎng)根基.

解法3（長(zhǎng)線段折半）如圖8，連接BD，BG，由解法1知，BE⊥DE，BE=DE則∠BDE=45°，而△GDF為等腰直角三角形，易得BD為GF的垂直平分線，因此BC=BF，而B(niǎo)F=BA，故△ABG為等腰三角形，長(zhǎng)線段AC作為等腰三角形的底邊，對(duì)其折半，自然聯(lián)想“三線合一”，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AG，則H為AG中點(diǎn)，AH=HG=AC，借助△ABH≌△CDE，從而得證.

解法3將長(zhǎng)線段折半，證明一半與短線段相等的方式也是證明線段2倍關(guān)系的常用方法.若長(zhǎng)線段是等腰三角形的底邊，作“三線合一”是常用思路，當(dāng)然，亦可直接取長(zhǎng)線段的中點(diǎn).

解法4（相似）如圖9，連接AF，根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等，可得∠BAD=∠DCB，而△ABF，△EFC，△GDF為等腰直角三角形，因此∠BAF=∠ECF=∠EFC=∠DCF=45°，故∠GAF=∠FCD，∠AGF=∠CFD，因此△AGF～△CFD，所AGGAV2，則AG=V2CF=CFFD2EC，從而得證.

線段的倍數(shù)關(guān)系即為線段的比例關(guān)系，由比例聯(lián)想相似，這是借助相似解決倍數(shù)關(guān)系的出發(fā)點(diǎn)

解法5（等式的基本性質(zhì)）如圖10在AC上截取AM=EC，連接BM.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，知AB=CD，∠A=∠DCE，因此截取AM=EC，即有△AMB≌△CED再證明MC=EC即可.由解法1知DE⊥BE且DE=BE，易得四邊形MBED為正方形，根據(jù)MD=ED，GD=FD，結(jié)合等式的性質(zhì)，顯然MG=EFE因此AG=AM+MG=EC+EF=2EC，得證.

正如前文所說(shuō)，線段2倍關(guān)系是a+b=c即兩條短線段之和等于長(zhǎng)線段的特殊形式，因此可用解決a+b=c的方法來(lái)解決此問(wèn)題，解法1的實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)短”，解法5的實(shí)質(zhì)則為“截長(zhǎng)”，在長(zhǎng)線段AG上先截取一段等于短線段EC，再證明剩余部分MG也等于短線段EC，是一般方法在特殊背景下的應(yīng)用

解法6（日標(biāo)變形）證明AG=2EC即證明A4C=V2EC.如圖1，過(guò)點(diǎn)B作V2BN⊥BC交FG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN，則△NBC為等腰直角三角形，結(jié)合BA⊥BF且BA=BF，得“手拉手”型全等，即△ANB≌△FCB，則AN=FC，同時(shí)進(jìn)而可推出∠NAG=∠NCGA=45°，△ANG為等腰直角三角形，因此M=CFC=V2EC，則AG=2EC，得證.

任何線段關(guān)系的證明問(wèn)題，都可以將目標(biāo)式子進(jìn)行等價(jià)變形，證明變形后的式子即可.變形方式應(yīng)結(jié)合題目背景及條件而定，比如解法6依據(jù)圖中暗含的多處45°，易構(gòu)或證明V2倍，因此做如上變形，變形后的式子可給學(xué)生新的解題構(gòu)圖方向，從而另辟蹊徑，解決問(wèn)題

解法7（計(jì)算長(zhǎng)度）如圖12，由解法1知△EFC，△DFG均為等腰直角三角形，不妨設(shè)EC=EF=a，DC=DF=b，則DE=BE=n+b，因此BC=BE+EC=a+b+a=2a+b根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等，故AD=BC=2a+b，所以AG=AD-DG=（2a+b）-b=2o=2EC，得證.

解法7借助條件中線段之間的關(guān)系，直接求出線段AG，EC的長(zhǎng)度，從而證明線段2倍關(guān)系.不僅是線段2倍關(guān)系的問(wèn)題，任何線段和差倍分問(wèn)題，只要能將線段長(zhǎng)度求出，或者用同一字母進(jìn)行表示，均可得以解決

解法8（利用面積）如圖13，連接BD，則S。8m=SBE，由解法3知BD為CF的垂直平分線，因此Smc=Smr，故SABeSBE+S2me，即S=S2+S3，由解法1的分析知S，=S，所以S，=2S3，而△ABG與△CDE等高，面積之比等于底之比，從而得到AG-2EC通常，依據(jù)等高的兩個(gè)三角形面積之比等于底之比，或者等底的兩個(gè)角形面積之比等于高之比，將線段的倍數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積的倍數(shù)問(wèn)題，從而啟發(fā)學(xué)生新的解題思路，解法8即是如此.

結(jié)語(yǔ)

線段2倍關(guān)系問(wèn)題是平面幾何的考査熱點(diǎn)，學(xué)生經(jīng)常因?yàn)榉椒ǖ木窒扌?，致使解題受阻，因此建立方法體系很有必要.除上述方法之外，在直角三角形中可通過(guò)證明銳角為30°，從而證明斜邊為短直角邊的2倍，也可通過(guò)證明三角形為直角三角形，從而證明斜邊是斜邊上的中線的2倍.筆者希望學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟以及態(tài)度、情感的熏陶逐漸形成正確的價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.折半、加倍以及一般形式的“截長(zhǎng)補(bǔ)短”是解決此類問(wèn)題的通法，教學(xué)中教師應(yīng)用好課堂這個(gè)主渠道，特別加以引導(dǎo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容落實(shí)四基，培養(yǎng)四能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.