轉(zhuǎn)化思想在“三角函數(shù)”教學(xué)中的應(yīng)用

郭嬋萍

【摘要】? 轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中較基礎(chǔ)的一個(gè)數(shù)學(xué)思維，在三角函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用.轉(zhuǎn)化思想主要包括：將陌生轉(zhuǎn)化為熟知，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將普通轉(zhuǎn)化為獨(dú)特，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.學(xué)習(xí)一般需要經(jīng)歷在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷積累知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)、不斷面對(duì)學(xué)習(xí)中遇到的新知識(shí)和困難兩個(gè)過(guò)程，且兩者相互依存.要想實(shí)現(xiàn)兩個(gè)過(guò)程的聯(lián)系，就需要用到轉(zhuǎn)化思想.在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程的深度融合，加深學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的理解，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新能力和邏輯思維能力.本文以三角函數(shù)教學(xué)為例，首先闡述了在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的重要意義，然后重點(diǎn)論述了轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以期為中學(xué)階段三角函數(shù)教學(xué)的有效開(kāi)展提供一定的參考.

【關(guān)鍵詞】? 轉(zhuǎn)化思想;三角函數(shù);應(yīng)用

2017年新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)提出了增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣、培養(yǎng)學(xué)好數(shù)學(xué)自信心的要求.因此，為了實(shí)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)中學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中就要改變傳統(tǒng)的教學(xué)思想，重視基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的講解.

學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)一般需要經(jīng)歷兩個(gè)過(guò)程，一個(gè)是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷積累知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，另一個(gè)是不斷面對(duì)學(xué)習(xí)中遇到的新知識(shí)和困難.學(xué)生通過(guò)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的積累，有利于解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中面臨的困難，也有利于加深對(duì)新知識(shí)的理解和掌握程度.因此，教師需要將這兩個(gè)過(guò)程相聯(lián)系，以提升數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性.而要想實(shí)現(xiàn)兩個(gè)過(guò)程的聯(lián)系，就需要用到轉(zhuǎn)化思想.轉(zhuǎn)化思想的作用是將困難的知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成已知知識(shí)點(diǎn)，將復(fù)雜規(guī)律簡(jiǎn)單化.在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，可以加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)的信心和興趣，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新能力和邏輯思維能力.

轉(zhuǎn)化思想作為一種將未知知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知知識(shí)的重要方法，可以加深學(xué)生對(duì)于未知知識(shí)、困難知識(shí)的理解，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和自信心.以中學(xué)階段三角函數(shù)的教學(xué)為例，轉(zhuǎn)化思想可體現(xiàn)在三角函數(shù)應(yīng)用的多個(gè)方面，比如任意角與弧度制、任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)等內(nèi)容均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.但是，經(jīng)過(guò)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，部分教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中并不注重轉(zhuǎn)化思想的傳授，很多學(xué)生也并沒(méi)有掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用方法.本文以此為出發(fā)點(diǎn)，探討了在中學(xué)三角函數(shù)教學(xué)過(guò)程中對(duì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

一、轉(zhuǎn)化思想的概念及其應(yīng)用的重要性

轉(zhuǎn)化思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要的地位，運(yùn)用它能給我們的解題帶來(lái)很大的方便.它主要是把難以解決的問(wèn)題通過(guò)觀察、剖析、對(duì)比等過(guò)程，將其轉(zhuǎn)化為在已學(xué)知識(shí)范疇內(nèi)就可以處理的問(wèn)題.轉(zhuǎn)換思想主要包括：把陌生轉(zhuǎn)化為熟知，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將普通轉(zhuǎn)化為獨(dú)特，將實(shí)際提問(wèn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.轉(zhuǎn)化思想是一種借助已知知識(shí)和方法來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)和解決新問(wèn)題的一種方法.轉(zhuǎn)化思想靈活多變，在數(shù)學(xué)教學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用.目前，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)教師意識(shí)到了轉(zhuǎn)化思想的重要性，轉(zhuǎn)化思想逐漸發(fā)揮越來(lái)越重要的作用.其重要作用可以體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

1.可以有效提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，部分教師過(guò)于重視題海戰(zhàn)術(shù)，認(rèn)為只要學(xué)生通過(guò)大量的練習(xí)就能夠掌握解題的規(guī)律，提高解題的效率.但是這樣的教學(xué)模式會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的邏輯思維固化，只能針對(duì)某一類型的題目進(jìn)行解答，一旦題目改變形式，便無(wú)從下手.然而轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用就可以鍛煉學(xué)生靈活處理問(wèn)題的能力，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，通過(guò)利用已知知識(shí)探索未知知識(shí)的規(guī)律，從而解決實(shí)際的問(wèn)題.

2.有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和邏輯推理能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力提出了明確的要求，即要培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想及基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，其中基本思想就是指數(shù)學(xué)思想.大量的實(shí)踐研究表明，轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)踐中的應(yīng)用可以有效提升學(xué)生的邏輯推理能力和思維能力，從而有助于學(xué)生通過(guò)多種轉(zhuǎn)化方法，靈活多變地解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題.

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

轉(zhuǎn)化思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)思想在實(shí)際應(yīng)用中的重要體現(xiàn).利用轉(zhuǎn)化思想可以將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化? 成特殊問(wèn)題，從而探究問(wèn)題背后存在的規(guī)律，也可以通過(guò)反向推理培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，將抽象的知識(shí)具體化，鍛煉學(xué)生用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.可以為學(xué)生后期的學(xué)習(xí)和生活打下良好的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程.社會(huì)生活中有很多方面也與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)極為相似，而通過(guò)轉(zhuǎn)化思想來(lái)解決實(shí)際生活中遇到的困難和問(wèn)題，可以將復(fù)雜的、困難的問(wèn)題進(jìn)行拆分和轉(zhuǎn)化，變成我們所熟知的、能夠掌握的簡(jiǎn)單問(wèn)題，從而進(jìn)行處理.這種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用可以為學(xué)生日后的學(xué)習(xí)和生活奠定良好的基礎(chǔ).

二、轉(zhuǎn)化思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)問(wèn)題就好像大海，每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都只是大海中的一滴水.我們不可能解決每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，那么如何快速地解決陌生的問(wèn)題呢？我們可以嘗試將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，這樣便會(huì)很容易找到問(wèn)題的切入點(diǎn).轉(zhuǎn)化思維中的將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中較基礎(chǔ)的一個(gè)轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏曾提出，學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)什么機(jī)會(huì)去用，很快就忘了，然而，不管他們將來(lái)從事什么工作，深深銘刻在大腦中的數(shù)學(xué)研究精神、數(shù)理思維、研究方式等，卻能使他們終身受用.因此，數(shù)學(xué)教師要進(jìn)一步掌握和鉆研數(shù)學(xué)的思維方式.在課堂教學(xué)中不但注意數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播，同時(shí)重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式的鍛煉與養(yǎng)成.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思維滲透在各知識(shí)點(diǎn)之間，在教學(xué)的不同階段都起著不可或缺的作用.同時(shí)，由于轉(zhuǎn)換思想是數(shù)學(xué)思考的內(nèi)核與精華，是高中數(shù)學(xué)的靈魂，所以教師在課堂教學(xué)過(guò)程中應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生利用轉(zhuǎn)換思想解題的能力，讓學(xué)生充分體會(huì)這種數(shù)學(xué)思想的重要性.“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是做好中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的金鑰匙，尤其是對(duì)于某些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用轉(zhuǎn)化思想可化難為易、化繁為簡(jiǎn)，達(dá)到解題的目的.如果學(xué)生在練習(xí)中能夠把單一問(wèn)題與復(fù)雜問(wèn)題結(jié)合，把特殊問(wèn)題與普通問(wèn)題結(jié)合，把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，把抽象問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題，對(duì)學(xué)生快速處理數(shù)學(xué)問(wèn)題具有非常關(guān)鍵的意義.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，教師通常是通過(guò)大量的課內(nèi)外數(shù)學(xué)習(xí)題來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握，但是僅僅通過(guò)大量的練習(xí)，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)知識(shí)的重點(diǎn)，掌握解題的方法，長(zhǎng)此以往，學(xué)生的解題能力無(wú)法得到有效提升.轉(zhuǎn)化思想作為重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維與方法，運(yùn)用它的目的是幫助學(xué)生以未知知識(shí)為導(dǎo)向，將未知數(shù)學(xué)結(jié)果向已學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)? 點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想可以幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的突破口，從而有效提升學(xué)生的解題能力.在三角函數(shù)的教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確轉(zhuǎn)化的內(nèi)容、轉(zhuǎn)化的方向和轉(zhuǎn)化的方法.接下來(lái)，筆者將利用轉(zhuǎn)化思想介紹怎樣讓學(xué)生處理一個(gè)復(fù)雜的三角問(wèn)題.

1.明確轉(zhuǎn)化內(nèi)容

在三角函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，有很多題目是不能夠通過(guò)已知條件直接求解的，因此，就需要通過(guò)轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解決，對(duì)未知內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合已知條件求出結(jié)果.因此，在三角函數(shù)教學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想最重要的是明確轉(zhuǎn)化的內(nèi)容，因?yàn)椴煌膬?nèi)容其轉(zhuǎn)化得到的結(jié)果各不相同.在一些應(yīng)用中，通常要針對(duì)較為復(fù)雜的部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將已知和未知進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使得解題的條件更加豐富.轉(zhuǎn)化思想在三角函數(shù)內(nèi)容的轉(zhuǎn)化上可以通過(guò)三種模式實(shí)現(xiàn)：首先，可以由已知向未知轉(zhuǎn)化;其次，可以由未知向已知轉(zhuǎn)化;最后，將已知和未知同時(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，綜合后得到解題條件.

2.明確轉(zhuǎn)化方向

在明確了三角函數(shù)轉(zhuǎn)換內(nèi)容后，需要明確內(nèi)容轉(zhuǎn)換的方向，也就是要確定一個(gè)能夠?qū)⑽粗蛞阎獥l件轉(zhuǎn)化成解決實(shí)際問(wèn)題重要條件的方向.如果在三角函數(shù)實(shí)踐教學(xué)中無(wú)法找到正確的轉(zhuǎn)化方向，那么轉(zhuǎn)化思想這種方法本身的優(yōu)勢(shì)將會(huì)消失，從而無(wú)法有效解決實(shí)際問(wèn)題.因此，在三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，首先要明確已知和未知條件之間的聯(lián)系，然后遵循簡(jiǎn)單化原則、熟悉化原則、和諧統(tǒng)一性原則、具體化原則、形式標(biāo)準(zhǔn)化原則來(lái)確定一個(gè)正確的轉(zhuǎn)化方向，使得轉(zhuǎn)化的內(nèi)容更加清晰，目的更加明確，得到的轉(zhuǎn)化條件能夠有效解決實(shí)際問(wèn)題.

3.明確轉(zhuǎn)化方法

雖然明確了轉(zhuǎn)化的內(nèi)容和轉(zhuǎn)化的方向，但是如果沒(méi)有掌握相應(yīng)的轉(zhuǎn)化方法，還是無(wú)法有效地實(shí)現(xiàn)已知和未知條件的轉(zhuǎn)化.在三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化中，常用到的方法有兩種，即等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化.其中，等價(jià)轉(zhuǎn)化主要是通過(guò)將三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成與之相等價(jià)的問(wèn)題，通過(guò)解決轉(zhuǎn)化后的等價(jià)問(wèn)題，從而利用已知和未知條件解決實(shí)際問(wèn)題的方法.但是等價(jià)轉(zhuǎn)化需要確保等價(jià)性，也就是轉(zhuǎn)化邏輯和準(zhǔn)確性的保障.比如，在對(duì)某一個(gè)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，要確保轉(zhuǎn)化后的函數(shù)定義域不變，函數(shù)的性質(zhì)不變.而非等價(jià)轉(zhuǎn)化是通過(guò)增加一定的限制條件來(lái)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.使用非等價(jià)轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化后要驗(yàn)證轉(zhuǎn)化結(jié)果的準(zhǔn)確性.

三、總結(jié)

在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想就是指教師引導(dǎo)學(xué)生將未知的、陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)演繹歸納轉(zhuǎn)化為自己已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)或者概念，從而將問(wèn)題順利解決的一種符合當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)課改要求的教學(xué)方法.轉(zhuǎn)化方式有一般到特殊轉(zhuǎn)化、等價(jià)轉(zhuǎn)化、復(fù)雜到簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化、數(shù)形轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化、聯(lián)想轉(zhuǎn)化、類比轉(zhuǎn)化等.轉(zhuǎn)化思想涉及的轉(zhuǎn)化方式是靈活、多變的.對(duì)于中學(xué)學(xué)生而言，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解題的簡(jiǎn)單化，既能提高解題的時(shí)間效率，又能提升解題的準(zhǔn)確性.

轉(zhuǎn)化思想是高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中十分關(guān)鍵的思維方式，在三角函數(shù)的復(fù)雜問(wèn)題中發(fā)揮著十分關(guān)鍵的作用.它可以使我們對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題加以變換，使其化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化生僻為熟悉.對(duì)這些轉(zhuǎn)化方式的訓(xùn)練，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維.所以，作為高中數(shù)學(xué)教育者的我們更應(yīng)該在課堂中加強(qiáng)滲透這一思想.本文以三角函數(shù)教學(xué)為例，著重分析了在這一知識(shí)點(diǎn)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的重要性及其實(shí)際應(yīng)用.在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中，大部分知識(shí)點(diǎn)都可以通過(guò)應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)難點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握.

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