從經(jīng)歷到經(jīng)驗，巧用“數(shù)形結(jié)合”解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題

關(guān)少清

【摘要】“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是解決數(shù)學(xué)問題的有效策略。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，可以使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。本文主要圍繞“數(shù)形結(jié)合”思想，分別從以“數(shù)”解“形”、以“形”助“數(shù)”、“數(shù)形結(jié)合”三方面展開論述。旨在說明“數(shù)形結(jié)合”是學(xué)好數(shù)學(xué)的一把金鑰匙，可以促進(jìn)學(xué)生問題解決策略的形成，逐步提高解決問題教學(xué)的有效性，全面提高小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);問題解決;數(shù)形結(jié)合;策略;思想

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“解決問題”的總體目標(biāo)上指出要“形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神?！毙W(xué)作為學(xué)習(xí)的啟蒙和基礎(chǔ)階段，教師應(yīng)該以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)為主，數(shù)學(xué)思想為重。而數(shù)學(xué)思想有很多，數(shù)形結(jié)合就是其中一種重要的思想方法，同時也是一種解決問題的有效辦法，它是通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相輔相成來解決數(shù)學(xué)問題的一種思維策略，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，抽象的問題具體化。

數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微?！币虼耍谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該滲透以及應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”策略，借助圖形的形象性和直觀性研究數(shù)學(xué)問題，有助于小學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，從小培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)素質(zhì)，為初中、高中的學(xué)習(xí)打好扎實的基礎(chǔ)，作好銜接的準(zhǔn)備。下面，筆者就“數(shù)形結(jié)合”在解決小學(xué)數(shù)學(xué)問題中的重要地位作簡單的探討。

一、以“數(shù)”解“形”，培養(yǎng)學(xué)生觀察力

以“數(shù)”助“形”是數(shù)形結(jié)合思想的其中一種運(yùn)用方式，即借助所給的圖形，仔細(xì)觀察，從而得出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，尋找有規(guī)律的數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生多角度、多方面洞察問題的思考習(xí)慣，提高解決問題的能力。對于低年級的小學(xué)生而言，他們開始接觸數(shù)學(xué)的時候都是借助大量的圖畫、形狀、實物作為學(xué)習(xí)背景，支撐他們更好地理解數(shù)學(xué)知識。比如，一年級的解決問題，根據(jù)小學(xué)生的年齡特征和思維特點采用各種各樣的小動物、圖形等作為解決問題的直觀材料，讓小學(xué)生一看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，可以切實、有效、直接地幫助他們正解理解加減法的意義。通過這樣培養(yǎng)學(xué)生對圖形數(shù)量關(guān)系的觀察和分析能力，為以后掌握解決問題的技巧和本領(lǐng)打好基礎(chǔ)。

二、以“數(shù)”解“形”，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)性

下面試著列舉巧數(shù)圖形的例子，只想說明一點就是以“數(shù)”助“形”不但能使計數(shù)結(jié)果更周全、更嚴(yán)密，在一定程度上還可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。在小學(xué)階段數(shù)圖形的類型有很多，包括數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)長方形、數(shù)三角形、數(shù)平行四邊形等。而圖1、圖2、圖3都屬于有明顯規(guī)律的數(shù)圖形，像圖4是屬于規(guī)律不明顯的數(shù)圖形。其實不管什么樣的圖形，都必須掌握數(shù)數(shù)的方法，從數(shù)學(xué)角度來說就是要“數(shù)形結(jié)合”。像圖1數(shù)線段時，可以根據(jù)左端點進(jìn)行分類。以A為左端點的線段為AB、AC、AD，共有3條;以B點為左端點的線段為BC、BD，共2條;以C點為左端點的線段有CD，共1條，以D點為左端點的線段不存在。因此共有3+2+1=6（條）線段。圖2數(shù)角的個數(shù)和圖3數(shù)三角形的個數(shù)同樣需要按一定的順序去數(shù)，可以采用與數(shù)線段類似的方法，在這里就不作詳細(xì)說明了。像圖4可以采用按基本圖形組合的方法來數(shù)平行四邊形，把圖中一個平行四邊形看作1個單位的基本圖形。由1個單位構(gòu)成的平行四邊形有5個;由2個單位構(gòu)成的平行四邊形有5個;由3個單位構(gòu)成的平行四邊形有1個;由4個單位構(gòu)成的平行四邊形也有1個;由5個單位或以上構(gòu)成的平行四邊形不存在。所以圖4共有5+5+1+1=12（個）平行四邊形。當(dāng)然前面提到的用以“數(shù)”論“形”的方法來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律需要教師和學(xué)生共同去摸索和推導(dǎo)。在教學(xué)活動中，教師可通過小組合作學(xué)習(xí)的形式讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的思考過程，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維的同時，讓學(xué)生們真正體會到學(xué)數(shù)學(xué)的趣味和價值所在。

三、以“形”助“數(shù)”，把數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化

小學(xué)生正處在以形象思維向抽象思維過渡的發(fā)展期。在問題解決過程中，學(xué)生通過作一些線段圖、集合圖、路線圖、立體圖形等，可有效把數(shù)學(xué)問題直觀化、形象化。畫圖作為輔助工具，在小學(xué)數(shù)學(xué)中例子有很多。從教材內(nèi)容來看，如，三年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”的集合問題：班上的學(xué)生每人參加一個課外小組，有21人參加了歌唱組，有28人參加了書法組，有6個學(xué)生兩個小組都參加了，求班上有多少個學(xué)生？

借助畫圖，數(shù)學(xué)問題一下子變簡單多了，圖中學(xué)生會容易看到中間的6人是重復(fù)計算的部分，求班上的總?cè)藬?shù)時應(yīng)該減去那部分人數(shù)，所以算式為21+28-6=43（人）。在教師的引領(lǐng)下，讓學(xué)生自主地利用以“形”助“數(shù)”的方法去解決不同的數(shù)學(xué)問題，比起教師苦口婆心地解說、分析，效果要好得多?；蛟S一開始學(xué)生會不習(xí)慣利用作圖來解答，但只要教師耐心地多創(chuàng)造一些機(jī)會讓他們體驗數(shù)形結(jié)合的樂趣，相信學(xué)生們會很快就喜歡上這種解決問題的策略辦法。

此外，像四年級的烙餅問題，五年級下冊求物體表面積、體積、路程問題，及至六年級的數(shù)學(xué)問題——“雞兔同籠”等都可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖來幫助思考，這樣對于正確理解和分析問題的數(shù)量關(guān)系也有很大的幫助。

四、以“形”助“數(shù)”，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系

“數(shù)形結(jié)合”除了能使問題的數(shù)量關(guān)系變得直觀，在分析問題的過程中，把“數(shù)量問題”轉(zhuǎn)化為“圖形問題”，更有助于學(xué)生正確分析數(shù)量關(guān)系。

如，遼寧省撫順市民主小學(xué)的王麗紅教師在教學(xué)《植樹問題》一課時，充分引導(dǎo)學(xué)生主動尋找解決問題的策略——數(shù)形結(jié)合，有效突破了這節(jié)課的重難點。下面與大家分享一下王老師在課上所做的一些有益的嘗試：（1）滲透數(shù)學(xué)思想，埋下伏筆。一開始，王老師引入右邊的植樹情題圖，并出示例題，與教材相比隱去了“兩端都要栽”的提示，為學(xué)生開放性思考提供了很好的平臺。在學(xué)生嘗試解決這一問題的過程中，果然出現(xiàn)了多種不同的做法。有的認(rèn)為100÷5=20（棵），有的認(rèn)為100÷5+1=21（棵），有的認(rèn)為100÷5+2=22（棵），他們都據(jù)理力爭。在王老師的鼓勵和引導(dǎo)下，學(xué)生想到了運(yùn)用畫圖幫助自己說明理由，可見在第一環(huán)節(jié)的教學(xué)中已滲透了數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法。由于在前面的爭論中，學(xué)生已經(jīng)對植樹問題有了一個整體的認(rèn)識，所以，當(dāng)王老師完整呈現(xiàn)例題，補(bǔ)充了條件（兩端都要栽）以后，學(xué)生很快就做出了完美的解答。（2）引導(dǎo)學(xué)生主動尋找解決問題的策略——數(shù)形結(jié)合。在教學(xué)過程中，畫圖的方法都不是教師直接給出的任務(wù)，更多起源于學(xué)生思考的需要，當(dāng)拓展到敲鐘問題時，教師同樣不失時機(jī)地又一次引導(dǎo)學(xué)生回想前面用過的策略——畫圖，學(xué)生借助畫線段圖1個點表示敲一下，兩點的間隔表示鐘敲響后延長的時間。通過這樣分析，學(xué)生思路清晰了，難題也就不攻自破了。

學(xué)生真實地體驗到畫圖能有效幫助自己分析題意，難道還愁學(xué)生在以后解決問題過程中不用這個方法嗎？只要學(xué)生體會到數(shù)形結(jié)合思想在解決問題過程中所發(fā)揮的重要作用，相信學(xué)生在今后將更有動力、更有信心學(xué)好其它數(shù)學(xué)思想方法，使他們受益終生。

五、深化“數(shù)形結(jié)合”，拓展學(xué)生的思維能力

從研究來看，數(shù)形結(jié)合思想同時運(yùn)用了人體大腦左、右半腦的功能，能有效培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維能力，促進(jìn)邏輯思維能力的發(fā)展。在教學(xué)過程中，教師要深化“數(shù)形結(jié)合”策略就要讓學(xué)生充分領(lǐng)略策略的價值和意義，如果學(xué)生只是了解到運(yùn)用策略能夠解決一些典型問題，顯然這樣的體驗是不夠的。在教學(xué)策略時，教師可設(shè)計一些一題多解、具有探索性的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在解決的過程中進(jìn)一步明白到策略思想背后有著更強(qiáng)大的現(xiàn)實意義。筆者在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)四年級上冊第3單元“積的變化規(guī)律”時，充分利用教材提供的習(xí)題進(jìn)行一題多變，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)結(jié)合，結(jié)果思路很快就理順了，收到了很好的教學(xué)效果。題目是這樣的：

2.下面這塊長方形綠地的寬要增加到24米，長不變。擴(kuò)大后的綠地面積是多少？

當(dāng)時，學(xué)生自主閱讀完題目后，幾乎一下子都想不出辦法來。經(jīng)過引導(dǎo)，部分學(xué)生根據(jù)題意能夠?qū)κ疽鈭D作進(jìn)一步補(bǔ)充，如下圖所示。

結(jié)合圖形來思考，多數(shù)學(xué)生的思路都清晰了，并能分析長方形綠地的長由始至終都不變，變化的是寬的長度增加到原來的3倍，與原來花圃面積相比，擴(kuò)大后的面積就是原來面積的3倍。學(xué)生很快就能結(jié)合新知識——“積的變化規(guī)律”列出算式：24÷8=3，560×3=1680（平方米），有的學(xué)生還是利用舊知識先求出長方形的長：560÷8=70（米），再求擴(kuò)大后的面積：70×（8×3）=1680（平方米），當(dāng)時兩種做法教師都充分肯定了，大家也知道第一種方法更優(yōu)化。小結(jié)了一番后，學(xué)生們都有所感悟，難能可貴的是他們在反思中體驗到畫圖策略的價值，學(xué)習(xí)興趣和熱情因此而變得更濃厚了。

接著，教師繼續(xù)變換情境，讓學(xué)生試做：“公路邊原來有一個長方形魚池，長4米。因為修建公路的需要，魚池的長增加到原來的2倍，這樣魚池的面積就增加了32平方米。求原來魚池的面積是多少平方米？”與教材的習(xí)題相比，這題屬于拓展題，目的在于讓學(xué)生感悟畫圖策略在解決有挑戰(zhàn)性問題中發(fā)揮的作用。果然學(xué)生在草稿紙上作出如圖后，難題就迎刃而解了。

當(dāng)然，面對不同的數(shù)學(xué)問題要選擇不同的解決策略，“數(shù)形結(jié)合”雖然很實用，但它也不一定都適用于各類型數(shù)學(xué)問題。像猜想、類比、倒推、列表、驗證等都是重要的思想策略方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中教師都可以適當(dāng)點拔和引導(dǎo)學(xué)生嘗試采用。

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開解決問題，但解決問題不是最終目的，它是為了學(xué)生能夠加深對知識的理解，提高問題解決的策略意識，提高思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力。以上對小學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決策略——數(shù)形結(jié)合思想的分析研究旨在說明“數(shù)形結(jié)合”是學(xué)好數(shù)學(xué)的一把“金鑰匙”，教師要從數(shù)學(xué)發(fā)展的全局著眼，從具體的教學(xué)過程著手，有目的、有計劃地在教學(xué)過程中滲透各種數(shù)學(xué)思想方法，逐步提高數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的有效性，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙繼敏，陳樹宇.“植樹問題”教學(xué)實錄與評析[J].廣西教育，2006（12A）：2.

[2]楊佩.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].讀與寫：教育教學(xué)刊， 2018（6）：1.

責(zé)任編輯? 劉? 勇