一類帶有奇異位勢(shì)的強(qiáng)奇性偏微分方程的正解的性質(zhì)*

唐露，雙震，孫義靜

(中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 北京 100049)

本文研究如下帶有奇異位勢(shì)的矩陣型強(qiáng)奇異偏微分方程

(1)

1 本文主要研究成果

眾所周知(參見文獻(xiàn)[7])，如下問題：

定理1.1設(shè)Ω是n(n≥3)中包含原點(diǎn)的具有光滑邊界的有界開集,M(x)是定義在Ω上的實(shí)對(duì)稱矩陣，滿足：存在正常數(shù)α,β使得M(x)ξ·ξ≥α|ξ|2,|detM(x)|≤β,?ξ∈n,?x∈Ω,-3<-p<-1,-n<-μ<0, 則方程

定理1.2設(shè)Ω是n(n≥3)中包含原點(diǎn)的具有光滑邊界的有界開集,M(x)是定義在Ω上的實(shí)對(duì)稱矩陣，滿足：存在正常數(shù)α,β使得則方程(1)的任一解u無界，即u?L∞(Ω)。

定理1.3設(shè)Ω是n(n≥3)中包含原點(diǎn)的具有光滑邊界的有界開集, -3<-p<-1, 如果-n<-μ<-2, 則方程

(2)

2 定理1.2的證明

其中β=(β1,β2,…,βn)為多元指標(biāo)，|β|=β1+…+βn,c(n,|β|)是與n,β有關(guān)的正參數(shù)，特別地，

由于u是方程(1)的解，有

(3)

其中c1是與α,β,n有關(guān)、與δ無關(guān)的正數(shù)值。估計(jì)(3)右邊值，有

其中c2是與α,β,n有關(guān)、與δ無關(guān)的正數(shù)值。于是得到

即

3 定理1.3的證明

用反證法證明。假設(shè)方程(2)的C2(Ω{0})-解u不滿足性質(zhì)

-Δu≡|x|-μu-p,?x∈Ω{0}.

(4)

令R=r2-n, 定義區(qū)域

=-x|x|-n,?x∈Ω(t),

Δg(x)=0,?x∈Ω(t).

由格林恒等式，有

即

計(jì)算A(t)的一階導(dǎo)數(shù)，

在Γ(t)中，有

則

上述等式最后一步根據(jù)散度定理而來。計(jì)算A(t)的二階導(dǎo)數(shù)，有

我們來估算A(t),A″(t)。

其中d1,d2,d3是與n,μ,p有關(guān)、與t無關(guān)的正數(shù)值。從而，得到關(guān)系式

(5)

(6)

(7)

下面分析當(dāng)t→∞,A(t),A′(t),A″(t)可能出現(xiàn)的情況。由A″(t)<0, 可知A′(t)單減：

定義函數(shù)F(t)

F′(t)=A(t)-γ·A′(t),

F″(t)=A(t)-γA″(t)-γA(t)-γ-1A′(t).

已知A′(t)≥0, 且由式(5)，有

F″(t)≤A(t)-γA″(t)

考慮函數(shù)sF″(s),s∈[R,t], 它的積分滿足

則有

-RF′(R)-F(t)≤-d4(lnt-lnR).