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    隨機種群模型的平穩(wěn)分布和數值模擬

    2021-01-13 04:46:38魏麗莉
    東北師大學報(自然科學版) 2020年4期
    關鍵詞:食餌確定性捕食者

    付 靜,魏麗莉,陳 巖

    (長春師范大學數學學院,吉林 長春 130031)

    1 預備知識

    20世紀40年代,Leslie[1]提出:捕食者的環(huán)境容納量與食餌的數量成正比;捕食者和食餌的增長率都有一個上限,對于捕食者來說,當食餌與捕食者的比例充分大時達到上限,對于食餌來說,當捕食者的數量充分小時達到上限;給出了著名的捕食-食餌模型

    (1)

    其中α1是正常數.給出了:系統(tǒng)(1)存在唯一的正平衡點;如果其是局部漸近穩(wěn)定的,那么它是全局漸近穩(wěn)定的.

    為了方便計算,Huang等[13]將模型轉化為如下形式:

    (2)

    由于現(xiàn)實環(huán)境中會受到很多因素的影響,越來越多的學者研究了隨機種群模型,而生物種群模型的確定性忽視了環(huán)境噪聲的干擾,依據中心極限定理知,這種擾動可以由均值為零的正態(tài)分布來刻畫[14].本文根據文獻[15]的方法添加了隨機因素

    其中:B1(t),B2(t)是獨立的白噪聲;σi>0(i=1,2)代表噪聲強度.得到了如下隨機捕食-食餌模型:

    (3)

    因為隨機種群模型沒有內部平衡點,所以不能像確定性模型那樣通過討論內部平衡點的穩(wěn)定性來確定隨機種群的持久性.隨機系統(tǒng)的平穩(wěn)分布是一種弱穩(wěn)定性,遍歷性表示時間均值意義下隨機系統(tǒng)是持久的.因此研究隨機系統(tǒng)的平穩(wěn)分布和遍歷性具有非常重要的意義.本文研究了隨機系統(tǒng)(3)的平穩(wěn)分布,并且將結果與確定性模型進行了比較,給出了兩種模型的數值模擬.

    下面給出文中需要的幾個重要結論:

    定理1(伊滕公式)[16-17]設X(t)(t≥t0=0)是方程(13)的解,V∈C2,1(Rn×R+;R).則V(X(t),t)仍是一伊滕過程,且滿足隨機微分方程:

    (4)

    稱此公式為伊滕公式.

    定理2(隨機比較定理)[16-18]設Xi(t)(i=1,2)是隨機微分方程

    dXi(t)=fi(Xi(t),t)dt+ɡ(Xi(t),t)dB(t)

    的解,其中:f(X,t)∈C([0,∞)×R),ɡ(X,t)∈C([0,∞)×R).如果:

    |ɡ(X,t)-ɡ(Y,t)|≤ρ(|X-Y|),X,Y∈R,t≥0;

    (2)f1(X,t)≤f2(X,t),X∈R,t≥0;

    (3)X1(0)≤X2(0).

    則對t≥0有

    X1(t)≤X2(t),a.s..

    定理3(隨機系統(tǒng)的平穩(wěn)分布)[19]設X(t)是El中的一自治Markov過程,滿足下面的隨機微分方程:

    (5)

    其擴散陣為

    假設存在具有正則邊界的有界區(qū)域U?El滿足下列條件:

    (A1)在U和它的一些鄰域內,擴散陣Λ(x)的最小特征值是非零的;

    令f(·)是關于測度μ可積的函數,則對所有的x∈El,有下面的公式成立:

    驗證(A1)成立,只需證明F在U中是一致橢圓的,其中Fu=b(x)·ux+1/2tr(A(x)uxx),即證存在正數M,滿足

    驗證(A2)成立,只需證明存在非負C2類函數和鄰域U使得對任意EU,LV是負的.

    2 隨機系統(tǒng)(3)的遍歷性

    假設(Ω,F(xiàn),P)是完備的概率空間.考慮F的部分σ-代數構成的類{Ft}t≥0,如果下列條件成立:

    (1) 當s≤t時,F(xiàn)s?Ft;

    則稱這個類是(Ω,F(xiàn),P)上的一個流.若它是單調遞增右連續(xù)的,且F0包含所有的零測集,則稱流{Ft}t≥0滿足通常條件.在本文中所有研究都在賦予流{Ft}t≥0的概率空間進行.

    由于系統(tǒng)的解表示捕食者和食餌的密度,因此只考慮正解的存在性.對于任何給定的初始條件,方程的系數需要滿足線性增長條件和局部Lipschitz條件[16],這是方程存在唯一全局解的必要條件.然而系統(tǒng)(3)的系數既不滿足線性增長條件,也不是局部Lipschitz連續(xù)的.首先通過下面引理1,利用伊滕公式和隨機微分方程比較原理,可得到系統(tǒng)(3)的解是全局非負的.

    證明考慮如下擴散過程:

    (6)

    由于方程(6)的系數是局部Lipschitz連續(xù)的,則對于任意給定的初始條件u(0)=lnx(0),v(0)=lny(0),在t∈[0,τe)中存在一個唯一的局部解,其中τe是爆破時間[16].則系統(tǒng)(6)存在一個唯一的局部解x(t)=eu(t),y(t)=ev(t),只需證明其是全局的.考慮如下兩個隨機微分方程:

    (7)

    (8)

    設其滿足初始條件Φ(0)=φ(0)=x(0)和Ψ(0)=ψ(0)=y(0),則方程(7)和(8)的解分別為

    利用隨機微分方程的比較原理,得到

    φ(t)≤x(t)≤Φ(t),ψ(t)≤y(t)≤Ψ(t) a.s.,

    對于t≥0成立,則唯一局部正解是全局的.

    證明

    得到擴散矩陣

    從而定理3的條件(A1)成立.下面需要證明定理3的條件(A2)成立.為了方便,把(x(t),y(t))記為(x,y).定義一個C2-函數V:R2→R+如下:

    V(x,y)=1/x+q/y+x+Qlogy-Qlogq/Q,

    (9)

    考慮有界集

    其中:

    (10)

    (11)

    (12)

    (13)

    K在后面被定義.下面分4種情況進行討論:

    情況1當(x,y)∈D1時,得到

    其中

    (14)

    由(10)式得LV≤-1.

    情況2如果(x,y)∈D2,則

    由(11)式得LV≤-1.

    情況3如果(x,y)∈D3,有

    由(12)式得LV≤1.

    由(13)式得LV≤-1.

    從而證明了定理3的條件(A2)成立,因此隨機系統(tǒng)(3)有唯一的平穩(wěn)分布μ(·),且是遍歷的.定理證畢.

    3 隨機系統(tǒng)(3)的滅絕性

    4 隨機系統(tǒng)(3)的數值模擬

    這里用文獻[22]中的方法,借助于Matlab軟件來驗證本文的結果.隨機系統(tǒng)(3)的離散化方程為

    其中ξk和ηk(k=1,2,…,n)是服從N(0,1)分布的獨立Gaussian隨機變量.根據文獻13]中引理2.1,將分3種情況討論噪聲對種群的影響.

    情況1選取適當的參數,使得確定性系統(tǒng)(2)中的Δ>0,那么確定性系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點,白噪聲只要足夠小,那么隨機系統(tǒng)存在遍歷的平穩(wěn)分布.

    圖1 給定初始值(x0,y0)=(0.5,0.5),取參數d1=8,m1=-5,δ=3,β=3,σ1=0.1,σ2=0.1

    圖2 給定初始值(x0,y0)=(0.5,0.5),取參數d1=8,m1=-5,δ=3,β=3,σ1=0.01,σ2=1.8

    圖3 給定初始值(x0,y0)=(0.5,0.5),取參數d1=8,m1=-5,δ=3,β=3,σ1=1.05,σ2= 0.01

    (a)隨機模型 (b)確定性模型

    (a)確定性模型

    (b)隨機模型

    (c)密度函數

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