初中數(shù)學(xué)輔助線生成的教學(xué)實(shí)踐與思考

高海軍

摘? 要：初中數(shù)學(xué)幾何推理是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，而有些幾何題需要添加輔助線，才能使題目中的隱含條件顯性化，學(xué)生才能推理順暢。添加輔助線是求解幾何題的常用方法，也是思維生成的難點(diǎn)和盲區(qū)。為了突破思維生成的難點(diǎn)，教師注重在題量和解題技巧上下功夫，供學(xué)生模仿理解，但是效果甚微。從淺層次來看，學(xué)生不能理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不能內(nèi)化為自己的思維;從深層次來看，教師要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，要善于借助轉(zhuǎn)化思想剖析輔助線生成的本質(zhì)，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：課后習(xí)題;輔助線;轉(zhuǎn)化思想;教學(xué)實(shí)踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，有很多幾何題不能直接反映題目所給條件與結(jié)論之間的關(guān)系，常常需要添加輔助線構(gòu)成新圖形，需要把分散條件集中化，隱性條件顯性化，在已知與未知之間架起橋梁，將不熟悉的幾何圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何圖形加以解決。學(xué)生要明確如何添輔助線，為什么添加，有什么作用，這是解決問題的關(guān)鍵。如果能培養(yǎng)學(xué)生借助轉(zhuǎn)化思想，把不熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)，深入思考輔助線生成的本質(zhì)，就可以找到解決問題的本源，有效突破難點(diǎn)。

一、原題呈現(xiàn)

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第十八章“平行四邊形”復(fù)習(xí)題第14題如下。

如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF = 90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F。求證：AE = EF。（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG。）

此題是學(xué)生在掌握了第十八章全部?jī)?nèi)容以后，進(jìn)行單元復(fù)習(xí)課時(shí)遇到的拓廣探索題。從內(nèi)容上看，此題涉及面廣，以正方形為主要背景知識(shí)，考查全等三角形的性質(zhì)與判定定理，以及等腰三角形、直角三角形的基礎(chǔ)知識(shí);從解題方法上看，主要考查全等三角形的應(yīng)用，通過角與線段的遷移，恰當(dāng)添加輔助線，尋找橋梁，把已有條件和目標(biāo)線段聯(lián)系起來，從而解決問題。但是，在實(shí)際教學(xué)中，這道題很多學(xué)生幾乎不會(huì)做，無從下手。筆者將教學(xué)策略分享于此，僅供參考。

二、解決策略

思考1：如何證明AE = EF？利用隱藏條件構(gòu)建這兩條線段所在的三角形全等。

方法1：引導(dǎo)學(xué)生分析除了已給的條件外，能發(fā)現(xiàn)幾何圖形中還有哪些隱藏條件。不難發(fā)現(xiàn)，利用同角的余角相等，可得∠1 = ∠2。因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以用添加輔助線的方法取AB的中點(diǎn)G，連接EG，如圖2所示。由條件可證AG = EC，∠AGE = ∠ECF = 135°，依據(jù)“ASA”定理易證明△AGE ≌ △ECF，從而得到AE = EF。

【反思】構(gòu)建∠1 = ∠2，AE = EF的全等三角形是關(guān)鍵。結(jié)合圖形，只能取AB的中點(diǎn)G，作輔助線連接GE，把隱性問題顯現(xiàn)出來。

方法2：如圖3，連接AC，結(jié)合圖形已有條件，引導(dǎo)學(xué)生分析還有哪些隱性條件。不難發(fā)現(xiàn)，利用等角的余角相等可得∠1 = ∠EFC。因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以添加輔助線，可以過點(diǎn)E作GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)G，構(gòu)造△AGE和△ECF全等。根據(jù)條件，學(xué)生容易證明∠1 = ∠EFC，∠2 = ∠3，GE = CE，依據(jù)“AAS”易證明△AGE ≌ △ECF，從而證明得出AE = EF。

【反思】合理添加輔助線，構(gòu)造△AGE和△ECF全等，是解決問題的關(guān)鍵。

思考2：如何證明AE = EF？利用軸對(duì)稱變換構(gòu)建等腰三角形。

方法3：由于直接證明AE = EF相等的條件不具備，則可以利用軸對(duì)稱變換的轉(zhuǎn)化思想，使△ECF ≌ △ECM。因此，構(gòu)建如圖4所示的輔助線，連接AC并延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使CM = CF，連接EM。依據(jù)條件易證明∠1 = ∠EFC，利用“SAS”證明△ECF ≌ △ECM，可得EF = EM，∠EFC = ∠M，推得∠1 = ∠M，所以AE = EM，最后可證明AE = EF。

【反思】利用等角對(duì)等邊和軸對(duì)稱的基本性質(zhì)，恰當(dāng)、合理添加輔助線，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化思維，形成合情合理的邏輯推理。

方法4：如何證明AE = EF？進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深入思考，利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)建全等三角形。以點(diǎn)B為中心，將△ABE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，連接EM，如圖5所示。由旋轉(zhuǎn)可得△ABE ≌ △CBM，可得AE = CM，BE = BM，∠1 = ∠3。因?yàn)椤螹BE = 90°，所以∠BEM = 45°;因?yàn)椤? = ∠2，所以∠2 = ∠3，所以EF∥MC。由∠BEM = 45°可得∠MEC = ∠ECF = 135°，所以ME∥CF，所以四邊形EMCF是平行四邊形，所以EF = CM，所以AE = EF。

【反思】利用旋轉(zhuǎn)和平行四邊形的性質(zhì)添加輔助線，幫助學(xué)生構(gòu)建熟悉的幾何圖形模型是解題的核心，能夠體現(xiàn)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的綜合能力。

三、教學(xué)實(shí)踐

從這道題的不同解法可以發(fā)現(xiàn)，之所以學(xué)生對(duì)這種問題掌握不扎實(shí)、理解不到位，一是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移和內(nèi)在轉(zhuǎn)化不到位;二是教師在平時(shí)的教學(xué)中，只注重教學(xué)方法，不注重學(xué)習(xí)方法;三是學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，不善于思考、反思和總結(jié)，只重結(jié)果，不重過程。添加輔助線，把隱含條件顯性化，對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來說本身就是一個(gè)難點(diǎn)。學(xué)生對(duì)此種方法的理解是一個(gè)螺旋上升的過程，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)規(guī)律，扎實(shí)有效地推進(jìn)教學(xué)。

1. 單元知識(shí)整體融合

此題融合了三角形、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平行四邊形的重要知識(shí)。在單元復(fù)習(xí)課中，教師如果深入挖掘和研究題目，則可以從不同角度幫助學(xué)生復(fù)習(xí)整章知識(shí)，而且還可以提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力。因此，在上單元復(fù)習(xí)課時(shí)，教師要認(rèn)真?zhèn)湔n，了解學(xué)情，深入挖掘教材復(fù)習(xí)題中蘊(yùn)含的各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，使其融合，提高知識(shí)容量，做到精講精練，提高課堂效率。

2. 開展深度教學(xué)

此類問題在教材上涉及少，但是中考中時(shí)常出現(xiàn)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。教師要把此類問題簡(jiǎn)單化、一般化，深入淺出，總結(jié)方法，才能激活學(xué)生的認(rèn)知思維，提高課堂效率。但是，在實(shí)際教學(xué)中，課堂教學(xué)有時(shí)往往是淺層的教學(xué)活動(dòng)，表現(xiàn)出來的是教師一講會(huì)，但學(xué)生一做不會(huì)，本質(zhì)是學(xué)生未能真正掌握問題的實(shí)質(zhì)和根源。為了避免這種課堂現(xiàn)象的出現(xiàn)，就必須要深度教學(xué)，離不開教師深入研究教材、研究教學(xué)方法，挖掘題目本源，也離不開教師精心地組織引導(dǎo)學(xué)生深度思考。因此，教師要認(rèn)真?zhèn)湔n、深度備題，做到心中有數(shù)，也必須克服教學(xué)過程中表面、表層、表演的局限，引導(dǎo)學(xué)生深層、深刻、深度思考，經(jīng)歷從理論到實(shí)踐的一整套思維方式和行為模式的轉(zhuǎn)化和訓(xùn)練，深度教學(xué)才能促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生。

3. 落實(shí)實(shí)踐教學(xué)

實(shí)踐教學(xué)尤為重要。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要精講精練，給予學(xué)生思考的時(shí)間，嘗試一道題用不同的解法。不同的學(xué)生有不一樣的思維模式，有復(fù)雜的、簡(jiǎn)單的，教師要學(xué)會(huì)分析不同方法，引導(dǎo)學(xué)生選擇最優(yōu)的解題思路，并不斷自我總結(jié)和反思，這樣才能內(nèi)化為學(xué)生自己的知識(shí)，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

四、深度思考

如圖6，當(dāng)點(diǎn)E在BC上（點(diǎn)B，C除外），其他條件不變，上面的結(jié)論是否仍然成立呢？試從“點(diǎn)E在BC上”“點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上”“點(diǎn)E在BC的反向延長(zhǎng)線上”三種情況中任選一種情況，畫出圖形并證明你的結(jié)論。此題的變式就是激活學(xué)生的思維應(yīng)變能力，如果前面提到的四種方法學(xué)生都能掌握，那么這道變式題就不會(huì)有很大困難。

【設(shè)計(jì)意圖】此題主要是讓學(xué)生深度思考，進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析問題和解決問題的綜合能力。

五、結(jié)束語

授之以魚，不如授之以漁。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要善于一題多解，激活學(xué)生的思維，使每名學(xué)生都有不同的收獲。添加輔助線的方法不是固定的，除了關(guān)注題目中的顯性條件外，還要挖掘題目中的隱性條件，通過合理添加輔助線，大膽進(jìn)行思維關(guān)聯(lián)與嘗試，從而提升思維素養(yǎng)，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性思維，這樣才能做到課堂教學(xué)高效率，學(xué)生學(xué)習(xí)高成效，教學(xué)難點(diǎn)才能真正實(shí)現(xiàn)突破。

參考文獻(xiàn)：

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