大學(xué)物理教材中的“差錯(cuò)圖”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

黃品文 蔡亦良 黃世娟

摘要：由于某些視覺(jué)或其他特殊原因，部分大學(xué)物理教材中的圖片存在著一些可能讓學(xué)生產(chǎn)生誤會(huì)的“小差錯(cuò)”，這些“小差錯(cuò)”為學(xué)生學(xué)習(xí)大學(xué)物理課程帶來(lái)了一些困擾。作者同時(shí)從事大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)兩門課程教學(xué)工作多年，在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)這些物理教材圖片“小差錯(cuò)”可以用于構(gòu)建高等數(shù)學(xué)相應(yīng)章節(jié)的應(yīng)用題。學(xué)生對(duì)這類因“差錯(cuò)”產(chǎn)生的數(shù)學(xué)例題興趣濃厚，對(duì)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)效果也得到明顯的提高。

關(guān)鍵詞：“差錯(cuò)圖”、大學(xué)物理、高等數(shù)學(xué)、常數(shù)變異法、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

大學(xué)物理和高等數(shù)學(xué)是工科本科專業(yè)學(xué)生必修的兩門非常重要的基礎(chǔ)通識(shí)課程。這兩門數(shù)學(xué)與自然科學(xué)類通識(shí)教育課程對(duì)培養(yǎng)工科學(xué)生基礎(chǔ)的計(jì)算、建模、分析、推理能力具有非常重要的意義。這兩門課也關(guān)系到學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，對(duì)大學(xué)生畢業(yè)后的職業(yè)深度發(fā)展具有非常重要的作用。事實(shí)上，不管從事哪些工程技術(shù)類專業(yè)工作，高等數(shù)學(xué)、大學(xué)物理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)建模、計(jì)算分析能力都深深影響了相關(guān)工作的深入開(kāi)展。高等數(shù)學(xué)與大學(xué)物理兩門課程之間聯(lián)系密切，相互依托，貫通協(xié)調(diào)。其中，高等數(shù)學(xué)（上）是大學(xué)物理的先修課，缺少一元微積分的知識(shí)儲(chǔ)備，大學(xué)物理課程第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的學(xué)習(xí)就將處處受限。另一方面，高等數(shù)學(xué)課程理論性強(qiáng)，工科學(xué)生普遍對(duì)其定義、定理的理解、推導(dǎo)、證明缺乏足夠的興趣。相對(duì)于定義、定理的推導(dǎo)證明，工科生普遍喜歡應(yīng)用數(shù)學(xué)定理開(kāi)展直接的運(yùn)算和應(yīng)用。由此，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)也大量使用其在物理學(xué)上的應(yīng)用[1]。例如，現(xiàn)在通行的經(jīng)典高等數(shù)學(xué)教材都有專門的章節(jié)講解面積分、線積分在計(jì)算物體質(zhì)量中心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上面的應(yīng)用等等[2]。

但是，上述高等數(shù)學(xué)在大學(xué)物理題目中的應(yīng)用案例非常少，且非?！敖?jīng)典”。而且，這些例題已經(jīng)數(shù)十年未發(fā)生變化，顯得不夠“創(chuàng)新”。這可能與高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立、體系發(fā)展非常完善有關(guān)，也可能與相對(duì)“完美”、契合度高的大學(xué)物理案例較少有關(guān)。因此，為了豐富高等數(shù)學(xué)課程中大學(xué)物理題目數(shù)量和新穎性，對(duì)傳統(tǒng)大學(xué)物理課程和教材的“挖掘”非常重要[3]。在教學(xué)工作中發(fā)現(xiàn)，大學(xué)物理教材中的一些教學(xué)用圖并非百分百合理，容易造成學(xué)生的誤會(huì)和理解困難。這些圖片對(duì)學(xué)生理解大學(xué)物理知識(shí)造成了一些障礙，但是細(xì)心發(fā)掘、將錯(cuò)就錯(cuò)可以構(gòu)建出適合高等數(shù)學(xué)教學(xué)的很好的題目。下文以作者挖掘的一道大學(xué)物理教材“錯(cuò)圖”引出的高等數(shù)學(xué)題目為例進(jìn)行說(shuō)明。

在大學(xué)物理《牛頓運(yùn)動(dòng)定理》章節(jié)，有這么一道練習(xí)題：

“光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，其摩擦系數(shù)為μ，開(kāi)始時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)速率為v0，求：（1）t時(shí)刻物體的速率;（2）當(dāng)物體速率從v0減少到0.5v0時(shí)，物體經(jīng)歷的時(shí)間和路程?！?/p>

該題的題意是讓學(xué)生分析水平光滑桌面上運(yùn)動(dòng)的物體貼圓環(huán)內(nèi)測(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)。分析清楚題意得同學(xué)可以非?？斓亓谐鑫矬w在切向方向運(yùn)動(dòng)方程，和法向方程，然后根據(jù)摩擦力與正壓力之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)得出一個(gè)可分離變量的常微分方程進(jìn)行求解。但是，不少教材給該習(xí)題配了圖1所示的題圖。嚴(yán)格意義上講，圖1可以反映題目中物體的運(yùn)動(dòng)狀況，并不能算做差錯(cuò)圖。但是這是副俯視圖，非常多的同學(xué)錯(cuò)誤地把圓環(huán)看成是豎直放置的，物體緊貼圓環(huán)內(nèi)側(cè)在豎直方向做圓周運(yùn)動(dòng)。由此列出了較為復(fù)雜的非齊次常微分方程，大部分學(xué)生都很難進(jìn)行解答。這一影響牛頓運(yùn)動(dòng)定律相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)的“差錯(cuò)圖”，可以構(gòu)建為講解高等數(shù)學(xué)中非齊次常微分方程知識(shí)的例題，并將題目的“緣起”告訴學(xué)生，以激起他們的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到非常好的教學(xué)效果。下面是重新構(gòu)建后的高數(shù)例題。

“如圖2所示，豎直放置的一半徑為R的固定圓環(huán)，物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)做豎直方向的圓周運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)與物體之間的摩擦系數(shù)為μ。開(kāi)始時(shí)，物體在圓環(huán)底部，初始的運(yùn)動(dòng)速率為v0，求：t時(shí)刻物體的速率。

該題的物理背景較濃，在高等數(shù)學(xué)課上講授時(shí)，作者幫助學(xué)生進(jìn)行了受力分析（如圖2），并列出了動(dòng)力學(xué)方程：

根據(jù)摩擦力與正壓力之間的關(guān)系和變量變換，可以將上述兩個(gè)方程轉(zhuǎn)換成：

自此，一道大學(xué)物理牛頓運(yùn)動(dòng)定律題目的“差錯(cuò)圖”便轉(zhuǎn)化成了高等數(shù)學(xué)中的一階非齊次常微分方程求解的例題。具體上課時(shí)，便可以引導(dǎo)學(xué)生先求解一階齊次的常微分方程：

再用常數(shù)變異法和初始條件（）完成上述題目的最終求解。

綜上，適當(dāng)挖掘大學(xué)物理教材中的各種元素，特別是教學(xué)用圖。利用其中含有的造成誤解的相關(guān)知識(shí)，可以構(gòu)建出較為有趣且應(yīng)用型明顯的高等數(shù)學(xué)例題，再輔以題目的“差錯(cuò)圖”緣起，可以很好地調(diào)度學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的積極性，從而提高學(xué)習(xí)效果，收到意想不到的效果。

本文為浙江省水利廳一般科技項(xiàng)目（RC1991）、浙江水利水電學(xué)院校級(jí)課程思政教學(xué)改革項(xiàng)目的研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 鄧文武，大學(xué)物理學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接研究[J]，教育現(xiàn)代化，2019年第6期.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M]，高等教育出版社，2014年第七版.

[3] 吳王杰，楊軍，融合教學(xué)案例建設(shè)一流大學(xué)物理教材[J]，中國(guó)大學(xué)教學(xué)，2020年第6期.

[4] 陳慶東，鞏曉陽(yáng)，大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程[M]，機(jī)械工業(yè)出版社，2013年第2版.