誤差傳遞公式的教學(xué)探索

蔡丹 楊濤 陳國華

摘要：誤差分析是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的一個重要環(huán)節(jié)，但學(xué)生常因?qū)φ`差傳遞公式的理解不透徹而無法正確的對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行誤差分析。針對這一問題，本文在結(jié)合具體學(xué)情的基礎(chǔ)上，對誤差傳遞公式這一知識點(diǎn)的教學(xué)方法進(jìn)行了探索研究。

關(guān)鍵詞：誤差傳遞公式;教學(xué)探索

前言：在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，最終的測量目標(biāo)都是間接測量量。間接測量的結(jié)果是由直接測量結(jié)果按照一定的表達(dá)式計(jì)算出來的。因此，直接測量結(jié)果的誤差（或不確定度）就必然影響到間接測量結(jié)果，這種影響的大小也可以通過相應(yīng)的表達(dá)式計(jì)算出來，即誤差傳遞公式（注：誤差傳遞公式（error propagation formula）是2019年經(jīng)全國科學(xué)技術(shù)名詞審定委員會審定發(fā)布的物理學(xué)名詞）。

誤差傳遞公式是誤差分析的基礎(chǔ)，同時也是教學(xué)過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。理工類專業(yè)的學(xué)生，學(xué)習(xí)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的目標(biāo)不應(yīng)局限于僅僅掌握相關(guān)的實(shí)驗(yàn)操作技能以及正確的測量數(shù)據(jù)方法，還應(yīng)該能夠正確的進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和誤差分析，給出合理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，明確主要誤差的來源。從而在后續(xù)的設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行誤差分配，正確選擇儀器。

一、學(xué)情分析

大部分國內(nèi)高校開設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程在第一次授課時，都會專門安排一節(jié)緒論課，對物理實(shí)驗(yàn)中的基本操作常識、儀器用法和誤差理論進(jìn)行講解。由于誤差傳遞公式是誤差分析必不可少的工具，也被放到了緒論課中。但在后續(xù)進(jìn)入具體實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目之后，教師們一般都不會再花時間對相應(yīng)實(shí)驗(yàn)中所用的誤差計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)或解釋。因此，如何在上緒論課時就將這個貫穿始終的知識點(diǎn)講解明白，就顯得十分的重要。

然而作者在多年教學(xué)過程中感受到，很多學(xué)生并沒有很好的理解和掌握誤差傳遞公式，即便記住了公式卻也“知其然，不知其所以然”。相應(yīng)的，在學(xué)生所上交的實(shí)驗(yàn)總結(jié)報告中，誤差分析部分通?？偸峭瓿傻米畈焕硐氲牟糠??？梢?，如何改進(jìn)教學(xué)方法，使學(xué)生學(xué)得好，教師容易教，便是迫切需要解決的問題。

本校選修大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的通常都是大一下學(xué)期及大二上學(xué)期的理工科專業(yè)學(xué)生，作者通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在講解緒論課時大多數(shù)專業(yè)的學(xué)生正在或者剛剛學(xué)完高等數(shù)學(xué)課程中關(guān)于多變量微積分的章節(jié)。俗話說：“數(shù)理不分家”，于是作者嘗試在講解誤差傳遞公式時，將數(shù)學(xué)知識與物理實(shí)驗(yàn)更緊密的聯(lián)系起來，讓學(xué)生從多個角度去認(rèn)識和理解誤差傳遞公式，從而更好的掌握這個重要的知識點(diǎn)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

我們不著急按照教材推導(dǎo)誤差傳遞公式，而是首先通過一個簡單的例子來說明，直接測量的誤差（或不確定度）是為何，以及如何傳遞到間接測量的結(jié)果上。

[例1] 圓柱體的體積，為了測量，需要先測量出和，即圓柱體的底面半徑和高。

這里把體積寫成自變量為R和h的二元函數(shù)，即。顯然，和的實(shí)際值決定了的實(shí)際值;而若和的測量值偏離了它們的實(shí)際值，也會引起的計(jì)算值偏離其實(shí)際值。我們知道，為了考察自變量的微小變化如何影響因變量，可以通過求微分來實(shí)現(xiàn)，由于這里的是二元函數(shù)，所以應(yīng)該用全微分，即：

在高等數(shù)學(xué)中，微分代表的是變量的變化量。而在物理實(shí)驗(yàn)中，某個變量在一定的范圍之內(nèi)變化又可以理解為其真實(shí)值存在著一定的不確定度，或者說誤差。因此，我們將上式中的微分號替換為代表不確定度的，即

如此，我們就建立了一種把直接測量的不確定度與間接測量的不確定度相關(guān)聯(lián)的表達(dá)式，也即誤差傳遞公式。但是，若用上式進(jìn)行不確定度的計(jì)算，可能會因?yàn)橛叶烁黜?xiàng)之間正負(fù)抵消，導(dǎo)致對測量結(jié)果不確定度的估計(jì)過于樂觀。因此，很多教材中將誤差傳遞公式定義為：

可見，和的不確定度都會對的測量結(jié)果產(chǎn)生影響，而兩者的影響力取決于各自偏導(dǎo)數(shù)的大小。

結(jié)語

數(shù)理結(jié)合的教學(xué)設(shè)計(jì)，在一定程度上降低了學(xué)生對于誤差傳遞公式的理解難度。問卷調(diào)查顯示，超過80%的學(xué)生表示理解并容易接受上述“三步走”的推導(dǎo)過程。對比分析后發(fā)現(xiàn)，采用新教法授課的學(xué)生，其實(shí)驗(yàn)總結(jié)報告中誤差分析部分的正確率有了明顯的提高。當(dāng)然，學(xué)生的學(xué)情、課程設(shè)置、課程要求等都是動態(tài)變化的，需要在教學(xué)過程中不斷地進(jìn)行探索和創(chuàng)新。

參考文獻(xiàn)

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