高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維的有效應(yīng)用

宋茹

【摘 要】本文論述類比思維在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生認(rèn)知世界、內(nèi)化新知的重要作用，提出教師在高中數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)適時(shí)地采用不同方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，使學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)新知，提升數(shù)學(xué)綜合能力，構(gòu)建高效、精彩的高中數(shù)學(xué)課堂。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 課堂教學(xué) 類比思維

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）30-0102-02

類比思維指的是根據(jù)兩個(gè)具有相同或相似特征事物之間的對(duì)比，從某一事物的某些已知特征去推測(cè)另一事物的相應(yīng)特征，通常是在兩個(gè)特殊事物之間進(jìn)行分析和比較。數(shù)學(xué)有著完整的體系與結(jié)構(gòu)，很多知識(shí)要點(diǎn)之間都存在著一定的類似性，因此，教師可以用類比思維引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知。高中數(shù)學(xué)屬于數(shù)學(xué)教育的高級(jí)階段，教師要積極運(yùn)用類比思維，指導(dǎo)學(xué)生高效學(xué)習(xí)，幫助他們構(gòu)建完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

一、利用新舊知識(shí)類比，助推學(xué)生學(xué)習(xí)

從小學(xué)、初中到高中，數(shù)學(xué)知識(shí)的前后間存在著一定的聯(lián)系，前者往往是后者的鋪墊與基礎(chǔ)，后者又是前者的延伸與拓展。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要想有效運(yùn)用類比思維，教師首先要意識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)整體，可利用新舊知識(shí)展開(kāi)類比教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合舊知識(shí)的某些特征來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)，使其由舊及新地探索數(shù)學(xué)原理，從而能順利學(xué)習(xí)新知識(shí)。

如在進(jìn)行“空間直角坐標(biāo)系”教學(xué)中，教師先帶領(lǐng)學(xué)生回憶數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生知道數(shù)軸上的任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)x來(lái)表示，建立平面直角坐標(biāo)系后，平面上任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）來(lái)表示。接著，教師提問(wèn)：在初中階段大家學(xué)過(guò)數(shù)軸，那么什么是數(shù)軸？決定數(shù)軸的因素有哪些？數(shù)軸上的點(diǎn)怎樣表示？此外，大家也學(xué)過(guò)平面直角坐標(biāo)系，那么如何建立平面直角坐標(biāo)系？決定平面直角坐標(biāo)系的因素有哪些？平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)怎樣表示？在空間中，是否可以建立一個(gè)坐標(biāo)系，使空間中的任意一點(diǎn)都可用對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組表示出來(lái)呢？鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合個(gè)人認(rèn)知與知識(shí)基礎(chǔ)自由討論，及時(shí)給予點(diǎn)撥與引導(dǎo)，使其在一個(gè)正方體中建立空間直角坐標(biāo)系，總結(jié)繪制過(guò)程中需要注意的問(wèn)題。

如此，教師由數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系過(guò)渡至空間直角坐標(biāo)系，讓學(xué)生用類比的數(shù)學(xué)思想方法探索空間直角坐標(biāo)系的建立方法，可使其進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)概念和方法產(chǎn)生及發(fā)展的過(guò)程。

二、結(jié)合生活現(xiàn)象類比，輔助學(xué)生理解

高中數(shù)學(xué)知識(shí)與小學(xué)、初中相比，雖然更加抽象難懂，深度與難度有所增加，但其與現(xiàn)實(shí)生活仍然有著密切聯(lián)系，不僅教材中蘊(yùn)含著不少生活化元素，生活中更是廣泛存在各種數(shù)學(xué)現(xiàn)象，且應(yīng)用范圍廣。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比思維時(shí)，教師要事先認(rèn)真研究與分析教材內(nèi)容，找準(zhǔn)所授內(nèi)容同實(shí)際生活之間的銜接點(diǎn)，結(jié)合生活現(xiàn)象進(jìn)行類比，帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)生活素材學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助他們透徹理解新知識(shí)。

在開(kāi)展“集合”教學(xué)時(shí)，教師可采用談話的方式引入課題。如軍訓(xùn)前學(xué)校通知：明天上午8點(diǎn)，高一年級(jí)在操場(chǎng)集合進(jìn)行軍訓(xùn)動(dòng)員，試問(wèn)這個(gè)通知的對(duì)象是全體高一學(xué)生還是個(gè)別學(xué)生？學(xué)生知道是全體高一學(xué)生，并指出這里的集合是生活中常用的一個(gè)詞語(yǔ)，大家感興趣的是問(wèn)題中某些特定（是高一而不是高二、高三）對(duì)象的總體，并非個(gè)別對(duì)象，借此引出新的概念——集合，即是一些研究對(duì)象的總體。接著，教師講述集合的概念，要求學(xué)生羅列一些生活中常見(jiàn)的集合實(shí)例，如班內(nèi)整體學(xué)生、男生、女生，高一階段所學(xué)科目，文具盒中的筆，一張課桌上的兩個(gè)人，口袋中的錢等，用生活實(shí)例與數(shù)學(xué)中的集合作類比，嘗試列出集合中的元素，研究元素的特征，使其發(fā)現(xiàn)元素具有確定性、互異性和無(wú)序性的特征。

在上述案例中，教師緊密結(jié)合生活實(shí)例引入類比思維，引領(lǐng)學(xué)生從生活現(xiàn)象中構(gòu)建出集合模型，使其通過(guò)實(shí)例了解集合與元素的含義及基本性質(zhì)，同時(shí)培養(yǎng)他們認(rèn)識(shí)事物的能力。

三、同類知識(shí)滲透類比，強(qiáng)化學(xué)生記憶

高中數(shù)學(xué)主要分為函數(shù)、數(shù)列、概率、解析幾何、立體幾何、排列組合等知識(shí)，這些同類知識(shí)之間通常含有一定的類似特征，因此，高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)同類知識(shí)間的相似性或者聯(lián)系滲透類比思想，引領(lǐng)學(xué)生在類比中學(xué)習(xí)和探索新知識(shí)，使其形成更為深刻的記憶，牢固掌握知識(shí)，并增強(qiáng)類比意識(shí)。

以“對(duì)數(shù)函數(shù)”的教學(xué)為例。教師在本節(jié)課中要緊緊抓住指數(shù)、對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化和指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用同類知識(shí)運(yùn)用類比的方法講授新課。教師先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，多媒體課件中同步顯示指數(shù)函數(shù)01的圖象，讓學(xué)生觀察圖象分析：對(duì)于y的任意一個(gè)值，是否有唯一的x值和它對(duì)應(yīng)呢？用問(wèn)題引領(lǐng)思維，著眼于函數(shù)的概念和指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，學(xué)習(xí)新知識(shí)。接著，教師設(shè)疑：把指數(shù)函數(shù)中的y當(dāng)成自變量，x作為函數(shù)值，是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系呢？將y=ax（a>0，且a≠1）寫成對(duì)數(shù)形式是怎樣的？學(xué)生寫成x=logay（a>0，且a≠1），得出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。

教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生借鑒已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察、分析、類比發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，使其結(jié)合指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)，有利于他們對(duì)知識(shí)的理解和掌握。

四、深入類比數(shù)學(xué)對(duì)象，促進(jìn)學(xué)生思考

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師應(yīng)該充分利用好類比思維的相似性，指引學(xué)生比較兩個(gè)既有所區(qū)別又存在一定聯(lián)系的數(shù)學(xué)對(duì)象，找到相似之處，為他們的研究指明正確的方向。而且高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行深入類比并得出結(jié)論，使其理解數(shù)學(xué)對(duì)象的類似性，進(jìn)而訓(xùn)練學(xué)生的類比思維。

在“等比數(shù)列”教學(xué)實(shí)踐中，教師先用談話導(dǎo)入：之前，大家已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及其有關(guān)性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用這些知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下等差數(shù)列的基本知識(shí)和性質(zhì)。帶領(lǐng)學(xué)生回憶等差數(shù)列的定義、等差中項(xiàng)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等知識(shí)，使其知道等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列。接著，教師要求學(xué)生觀察教材中的幾個(gè)例子，并提出問(wèn)題：在現(xiàn)實(shí)生活中，除等差數(shù)列以外，還有一類特殊數(shù)列，這些數(shù)列有怎樣的共同規(guī)律？讓學(xué)生仔細(xì)觀察并找出這幾個(gè)數(shù)列的共同特征，他們發(fā)現(xiàn)其共同特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，第一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。之后，教師組織學(xué)生在小組內(nèi)進(jìn)行合作探究，總結(jié)類比等差數(shù)列的性質(zhì)，并嘗試給等比數(shù)列下定義，用類比等差數(shù)列推導(dǎo)出等比數(shù)列的性質(zhì)。

教師通過(guò)深入類比等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，讓學(xué)生用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行類比推導(dǎo)，探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系。

五、注重圖形特征類比，增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)知

立體幾何也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的一大重點(diǎn)，最能考驗(yàn)學(xué)生的邏輯思維能力，對(duì)其空間想象能力與抽象思維也有較高要求。為做好立體幾何知識(shí)的教學(xué)，高中數(shù)學(xué)教師可以主動(dòng)應(yīng)用類比思維，注重圖形之間特征的類比，引導(dǎo)學(xué)生尋找這些幾何圖形中的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，使其在類比總結(jié)差異點(diǎn)的過(guò)程中，強(qiáng)化自身對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與記憶，最終幫助他們認(rèn)清知識(shí)的特征，有效增強(qiáng)數(shù)學(xué)認(rèn)知。

在“空間幾何體的表面積與體積”教學(xué)中，教師先提出問(wèn)題：大家已經(jīng)接觸過(guò)一些幾何體面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？引導(dǎo)學(xué)生回憶、交流與歸納，設(shè)疑：幾何體的表面積等于它的展開(kāi)圖的面積，那么柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面展開(kāi)圖是怎樣的？你能否計(jì)算？這些問(wèn)題與學(xué)生的固有認(rèn)知發(fā)生沖突，使其對(duì)新課的學(xué)習(xí)充滿期待。接著，教師講述：大家學(xué)過(guò)正方體和長(zhǎng)方體的表面積及展開(kāi)圖，其展開(kāi)圖與表面積有什么關(guān)系？課件中同步出示正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖，讓學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)回答，然后引出新問(wèn)題：棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算表面積？如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？使其運(yùn)用類比思維利用學(xué)過(guò)的圖形研究新圖形。

教師從學(xué)生熟悉的正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖入手，分析其與表面積的關(guān)系，讓學(xué)生運(yùn)用類比思維，通過(guò)正方體、長(zhǎng)方體的表面積來(lái)討論棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積問(wèn)題，可以強(qiáng)化個(gè)人認(rèn)知。

六、關(guān)注數(shù)形之間類比，發(fā)展學(xué)生思維

數(shù)學(xué)知識(shí)主要由代數(shù)與幾何兩大部分構(gòu)成，前者與“數(shù)”對(duì)應(yīng)，后者則與“形”對(duì)應(yīng)，不僅數(shù)與數(shù)、形與形之間有著或多或少的類似性，數(shù)與形之間同樣存著相似性。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為進(jìn)一步應(yīng)用類比思維，教師應(yīng)當(dāng)格外關(guān)注數(shù)與形之間的類比，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，使學(xué)生學(xué)會(huì)采用“以數(shù)解形”與“以形助數(shù)”的方法分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象，探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，改善他們的思維水平。

例如，在進(jìn)行“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)時(shí)，教師先提問(wèn)：大家在初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，在直角△POM中，∠M是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，∠O的正弦、余弦和正切分別是什么？學(xué)生根據(jù)描述畫出相應(yīng)的圖形，初步實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)類比，幫助他們回顧銳角三角函數(shù)的定義。接著，教師講述：通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，已把角的概念推廣到任意角，現(xiàn)在所說(shuō)的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角，那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義？引領(lǐng)學(xué)生把銳角三角函數(shù)推廣至任意角三角函數(shù)，然后設(shè)疑：能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？將銳角的概念推廣到任意角時(shí)，是把角放在哪里進(jìn)行研究的？讓學(xué)生通過(guò)畫圖的方式在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)，同時(shí)討論具體如何定義。

上述案例中，教師關(guān)注數(shù)形之間的類比，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖，借助單位圓理解任意角的三角函數(shù)的定義，培養(yǎng)學(xué)生類比、分析以及研究問(wèn)題的能力，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想。

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師要充分認(rèn)識(shí)到類比思維的實(shí)用性，在日常教學(xué)中善于發(fā)現(xiàn)和制造教學(xué)契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合類比思維學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，使其深入體會(huì)新舊數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，幫助他們高效率地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，繼而增強(qiáng)其數(shù)學(xué)認(rèn)知。

【參考文獻(xiàn)】

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【作者簡(jiǎn)介】宋 茹，女，漢族，河北房山人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，現(xiàn)就職于寧夏回族自治區(qū)青銅峽市第一中學(xué)，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 劉穎恩）