理論力學(xué)教具DIY系列(二)十字軸萬向節(jié)及轉(zhuǎn)角差異的演示模型

高云峰

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

十字軸萬向節(jié)是一種在工程中應(yīng)用較為廣泛的傳動系統(tǒng)，它的主動軸與從動軸可以存在一定的夾角。十字軸萬向節(jié)具有制造簡單、可靠耐用等優(yōu)勢，但存在主動軸與從動軸轉(zhuǎn)速不等的情況。在主動軸旋轉(zhuǎn) 360°的過程中，雖然從動軸也同樣旋轉(zhuǎn) 360°，但兩者的轉(zhuǎn)角、角速度并不總是相等，這就是十字軸萬向節(jié)的不等速性。

在理論力學(xué)的運(yùn)動學(xué)教學(xué)中，十字軸萬向節(jié)是如何運(yùn)動的，以及兩軸轉(zhuǎn)動的角度關(guān)系是一個難點(diǎn)。在實(shí)驗室中通常將兩軸轉(zhuǎn)動的差異用電信號進(jìn)行轉(zhuǎn)換處理，學(xué)生感到不夠直觀。為了解決這一問題，本文首先設(shè)計制作出一個簡單的萬向節(jié)模型，然后導(dǎo)出萬向節(jié)的轉(zhuǎn)角差異關(guān)系，最后設(shè)計制作出了一個改進(jìn)的萬向節(jié)模型，可以讓學(xué)生直觀地看出兩軸轉(zhuǎn)動角度的差異。

1 簡化版的萬向節(jié)設(shè)計及制作

十字軸萬向軸的要點(diǎn)是：主動軸與從動軸的夾角可以在一定范圍內(nèi)變化，十字軸繞其中心點(diǎn)做定點(diǎn)運(yùn)動。因此在設(shè)計時要考慮這兩個因素。

利用 AutoCAD軟件進(jìn)行設(shè)計，利用激光切割機(jī)對密度板進(jìn)行加工，可以很快獲得十字軸的零部件(圖1)。設(shè)計中考慮了接口的過盈配合，不需要膠水就可以把框架拼好(圖2)。

十字軸的連接軸也用密度板來實(shí)現(xiàn)，框架與連接軸之間留有微小縫隙，拼裝好后可以靈活轉(zhuǎn)動(圖3)。萬向節(jié)的底板分為兩大塊，兩者可相對做圓周運(yùn)動且始終保持接觸，以方便圓弧邊緣有刻度顯示主動軸與從動軸的夾角；底板上可以插上立柱，而立柱可與十字軸連接(圖4)。

圖1 十字軸的零部件

圖2 軸的拼裝

圖3 十字軸的連接

用2根鐵軸分別連接十字軸兩端的邊框，并分別插到底板立柱的孔中，就做好了一個簡版的十字軸萬向節(jié)，它可以實(shí)現(xiàn)兩軸平行(圖5)以及兩軸有偏角(圖6)時的運(yùn)動演示，很直觀。

圖4 可以改變角度的底座

圖5 兩軸平行情況

圖6 兩軸有偏角情況

激光切割的精度很高，誤差在0.1 mm以內(nèi)，所以整個裝置拼好后，精度還是比較高的。當(dāng)然以后如果可以用金屬來加工，誤差可以更小，摩擦也更小，演示效果也會更好。

2 萬向節(jié)的轉(zhuǎn)動角度關(guān)系

結(jié)合簡易版的萬向節(jié)模型，可以做運(yùn)動分析，下面特別關(guān)注兩軸的轉(zhuǎn)角差異問題。

萬向節(jié)的運(yùn)動坐標(biāo)系如圖7所示，所有坐標(biāo)原點(diǎn)均在O點(diǎn)，但為了方便觀看，圖中原點(diǎn)放在不同的位置。固定坐標(biāo)系x0y0z0，初始時刻動坐標(biāo)系x1y1z1與x0y0z0重合，且主動軸OM固連，OM軸沿x1方向，OA沿y1方向；動坐標(biāo)系x2y2z2與從動軸ON固連，ON軸沿x2方向，OB沿z2方向；假設(shè)OMN始終在x0y0平面內(nèi)，OM軸與ON軸的夾角為偏角α；OM軸轉(zhuǎn)動φ1后A到了A′，動坐標(biāo)系變?yōu)閤3y3z3；ON軸轉(zhuǎn)動φ2后B到B′，動坐標(biāo)系變?yōu)閤4y4z4。

圖7 萬向節(jié)的運(yùn)動分析

在這種假設(shè)條件下，A01是單位矩陣，其余各坐標(biāo)系之間的方向余弦矩陣為

設(shè)rA′表示從O到A′的矢量，而表示rA′在坐標(biāo)系xiyizi中的列陣，根據(jù)矢量的列陣在不同坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，則有

因為OA′垂直于OB′，有rA′·rB′=0，或，代入式(1)和式(2)后有

從而得到

由此可見萬向節(jié)兩軸的轉(zhuǎn)動角度是不同的，設(shè)Δφ=φ2-φ1，式(3)可以變化為

圖 8顯示了不同偏角情況下兩軸轉(zhuǎn)角的差異。偏角α越大，兩軸轉(zhuǎn)角的差異就越大。

圖8 不同偏角時兩軸差異的關(guān)系

進(jìn)一步對式(3)兩邊求導(dǎo)，可以得到

即兩軸角速度之比也隨時間周期性變化。

通常在理論力學(xué)求解萬向節(jié)角速度的習(xí)題中，會有意識地讓φ1=0或φ1=π/2，就是為了避免復(fù)雜的運(yùn)動學(xué)分析，但這也容易讓學(xué)生誤解，以為兩軸角速度之比是常數(shù)。

3 改進(jìn)版的萬向節(jié)的設(shè)計及制作

為了直觀看出萬向節(jié)兩軸轉(zhuǎn)角的差異，可以巧妙利用錐齒輪，把兩個非平行的轉(zhuǎn)軸變?yōu)閮蓚€平行的轉(zhuǎn)軸，再類似鐘表的處理方式，把兩個平行軸變?yōu)楣草S的“分針”和“秒針”轉(zhuǎn)動，這樣就可以通過“分針”和“秒針”的夾角，直接看出兩軸轉(zhuǎn)角的差異。

具體設(shè)計中的要點(diǎn)是：在裝置示意的俯視圖(圖 9)和正視圖 (圖 10)中，齒輪C通過錐齒輪與OM軸連接，然后與齒輪D1連接；齒輪E通過錐齒輪與ON軸連接，然后與齒輪D2連接。而齒輪D1和D2共軸且軸的延長線過O點(diǎn)。

圖9 齒輪的位置安排(俯視圖)

圖10 齒輪連接關(guān)系(正視圖)

這樣的設(shè)計保證了當(dāng)ON軸和OM軸保持不同的偏角α?xí)r，齒輪E總可以與齒輪D2嚙合。共軸設(shè)計將OM和ON的轉(zhuǎn)角同時在齒輪D1和D2中反映出來，再將指針分別與D1和D2齒輪固接，就可以通過看兩指針夾角的變化，直觀地看出萬向節(jié)兩軸轉(zhuǎn)角的差異。

圖11和圖12是改進(jìn)后的裝置，其中C，D，E齒輪的齒數(shù)還可以適當(dāng)改變，目的是將兩軸轉(zhuǎn)動的差異進(jìn)行放大。

圖11 把水平軸變?yōu)樨Q直軸

圖12 變?yōu)楣草S運(yùn)動